29.2: Matriz diagonalizable

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En clase estaremos usando la diagonalización matricial para resolver algunos problemas.

Matrix\(A\) es diagonalizable si existe una matriz diagonal\(D\) que es similar a\(A\):

\[ D = C^{-1}AC \nonumber \]

Si matrix\(A\) tiene vectores propios linealmente independientes (\(v_1, \ldots, v_n\)) entonces\(A\) es diagonalizable con la siguiente solución:

\[C = \left[ v_1^T, \ldots, v_n^T \right] \nonumber \]

En otras palabras, cada columna de\(C\) es un autovector linealmente independiente de\(A\). La matriz diagonal\(D\) es

\ [\ begin {split} D =
\ left [
\ begin {matrix}
\ lambda_1 & 0 & 0\\
0 &\ ddots & 0\\\
0 & 0 &\ lambda_n
\ end {matrix}
\ derecha]
\ end {split}\ nonumber\]

En otras palabras,\(D\) consiste en los valores propios correspondientes.

%matplotlib inline
import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np
import sympy as sym
from urllib.request import urlretrieve

urlretrieve('https://raw.githubusercontent.com/colbrydi/jupytercheck/master/answercheck.py', 
            'answercheck.py');
sym.init_printing(use_unicode=True)

Hacer esto

Usando numpy, diagonaliza (es decir, calcular\(C\) y\(D\)) la siguiente matriz:

A = np.matrix([[5, -2, 2], [4, -3, 4], [4,-6,7]])
sym.Matrix(A)

# Put your answer here

from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(D,'56821475223b52e0b6e751da444a1441');

Hacer esto

Verifica que de hecho\(A\) sea Diagonalizable calculándolo\(D2 = C^{-1} AC\) y comparándolo con tu original\(D\) usando np.allclose.

#Put your verificaiton code here.

np.allclose(D,D2)

Diagonalización de Matrices Simétricas

Un caso especial es Matrices Simétricas. Se puede demostrar que las Matrices simétricas son diagonalizables y los vectores propios resultantes no solo son linealmente independientes sino también ortogonales. Como esto es cierto, la ecuación cambia a:

\[ D = C^{T}AC \nonumber \]

Pregunta

¿Por qué nos importa si\(C\) es ortogonal? ¿Qué ventajas nos da la ecuación anterior?