Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

30.2: Diagonalización

  • Page ID
    115490
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)
    %matplotlib inline
    import matplotlib.pylab as plt
    import numpy as np
    import sympy as sym
    from urllib.request import urlretrieve
    
    sym.init_printing()
    urlretrieve('https://raw.githubusercontent.com/colbrydi/jupytercheck/master/answercheck.py', 
                'answercheck.py');
    Recordatorio

    Los valores propios de las matrices triangulares (superior e inferior) y diagonales son fáciles:

    • Los valores propios de las matrices triangulares son los elementos diagonales.
    • Los valores propios para las matrices diagonales son los elementos diagonales.

    Diagonalización

    Definición

    Se dice que una matriz cuadrada\(A\) es diagonalizable si existe una matriz\(C\) tal que\(D=C^{-1}AC\) es una matriz diagonal.

    Definición

    \(B\)es una matriz similar de\(A\) si podemos encontrar\(C\) tal que\(B=C^{-1}AC\).

    Dada una\(n \times n\) matriz\(A\), ¿podemos encontrar otra matriz\(n \times n\) invertible\(C\) tal que cuando\(D=C^{-1}AC\) es diagonal, es decir,\(A\) es diagonalizable?

    • Porque\(C\) es invertible, tenemos

    \[C^{-1}AC=D \nonumber \]

    \[CC^{-1}AC = CD \nonumber \]

    \[ AC = CD \nonumber \]

    • Generar\(C\) como las columnas de vectores\(n\) linealmente independientes\((x_1 \ldots x_n)\) Podemos computar de la\(AC=CD\) siguiente manera:

    \[ A\begin{bmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ { x }_{ 1 } & { x }_{ 2 } & \dots & { x }_{ n } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix}=AC=CD=\begin{bmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ { x }_{ 1 } & { x }_{ 2 } & \dots & { x }_{ n } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix}\begin{bmatrix} { \lambda }_{ 1 } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & { \lambda }_{ 2 } & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & { \dots } & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & { \lambda }_{ n } \end{bmatrix} \nonumber \]

    • Después revisamos las columnas correspondientes de ambos lados. Tenemos

    \[Ax_1 = \lambda_1x_1 \\ \vdots \\ Ax_n=\lambda x_n \nonumber \]

    • \(A\)tiene vectores propios\(n\) lineales independientes.
    • \(A\)se dice que es similar a la matriz diagonal\(D\), y la transformación de\(A\) en\(D\) se denomina transformación de similitud.

    Un ejemplo sencillo

    Considera lo siguiente:

    \[ A = \begin{bmatrix}7& -10\\3& -4\end{bmatrix},\quad C = \begin{bmatrix}2& 5\\1& 3\end{bmatrix} \nonumber \]

    Hacer esto

    Encuentra la matriz similar\(D=C^{-1}AC\) de\(A\).

    #Put your answer to the above question here.
    from answercheck import checkanswer
    
    checkanswer.matrix(D, '8313fe0f529090d6a8cdb36248cfdd6c');
    Hacer esto

    Encuentra los valores propios y los vectores propios de\(A\). Establece las variables e1 y vec1 para que sean el valor propio más pequeño y está asociado a autovector y e2, vec2 para representar el mayor.

    #Put your answer to the above question here.
    from answercheck import checkanswer
    checkanswer.float(e1, "e4c2e8edac362acab7123654b9e73432");
    from answercheck import checkanswer
    checkanswer.float(e2, "d1bd83a33f1a841ab7fda32449746cc4");
    from answercheck import checkanswer
    checkanswer.eq_vector(vec1, "d28f0a721eedb3d5a4c714744883932e", decimal_accuracy = 4)
    from answercheck import checkanswer
    checkanswer.eq_vector(vec2, "09d9df5806bc8ef975074779da1f1023", decimal_accuracy = 4)
    Teorema

    Matrices similares tienen los mismos valores propios.

    Prueba

    Supongamos que\(B=C^{-1}AC\) es una matriz similar de\(A\), y\(\lambda\) es un valor propio de\(A\) con el vector propio correspondiente\(x\). Es decir,\(Ax=\lambda x\). Entonces tenemos\(B(C^{-1}x) = C^{-1}AC(C^{-1}x) = C^{-1}Ax = C^{-1}(\lambda x) = \lambda (C^{-1}x)\). Es decir,\(C^{-1}x\) es un vector propio de\(B\) con valor propio\(\lambda\).

    Un segundo ejemplo

    Hacer esto

    Considerar\( A = \begin{bmatrix}-4& -6\\3& 5\end{bmatrix} \).

    Encuentra una matriz\(C\) tal que\(C^{-1}AC\) sea diagonal.

    Pista: usa la función diagonalizar en sympy.

    #Put your answer to the above question here. 
    #Check the output type
    assert(type(C)==sym.Matrix)
    from answercheck import checkanswer
    checkanswer.matrix(C,'ba963b7fef354b4a7ddd880ca4bac071')

    El tercer ejemplo

    Hacer esto

    Considerar\( A = \begin{bmatrix}5& -3\\3& -1\end{bmatrix} \).

    ¿Podemos encontrar una matriz\(C\) tal que\(C^{-1}AC\) sea diagonal?

    Pista: encontrar valores propios y vectores propios usando sympy.

    #Put your answer to the above question here. 

    Dimensiones de los espacios propios y diagonalización

    Definición

    El conjunto de todos los vectores propios de una\(n \times n\) matriz correspondiente a un valor propio\(\lambda\), junto con el vector cero, es un subespacio de\(R^n\). A estos espacios subespaciales se le llama espacio propio.

    • Para el tercer ejemplo, tenemos esa la ecuación característica\((\lambda - 2)^2 = 0\).
    • El valor propio\(\lambda = 2\) tiene multiplicidad 2, pero el espacio propio tiene dimensión 1, ya que no podemos encontrar dos líneas son autovector independientes para\(\lambda = 2\).

    La dimensión de un espacio propio de una matriz es menor o igual a la multiplicidad del valor propio correspondiente como raíz de la ecuación característica.

    Una matriz es diagonalizable si y sólo si la dimensión de cada espacio propio es igual a la multiplicidad del valor propio correspondiente como raíz de la ecuación característica.

    El cuarto ejemplo

    Hacer esto

    Considerar\( A = \begin{bmatrix}2& -1\\1& 2\end{bmatrix} \).

    ¿Podemos encontrar una matriz\(C\) tal que\(C^{-1}AC\) sea diagonal?

    #Put your answer to the above question here. 

    This page titled 30.2: Diagonalización is shared under a CC BY-NC 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Dirk Colbry via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.