30.2: Diagonalización

%matplotlib inline
import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np
import sympy as sym
from urllib.request import urlretrieve

sym.init_printing()
urlretrieve('https://raw.githubusercontent.com/colbrydi/jupytercheck/master/answercheck.py', 
            'answercheck.py');

Recordatorio

Los valores propios de las matrices triangulares (superior e inferior) y diagonales son fáciles:

• Los valores propios de las matrices triangulares son los elementos diagonales.
• Los valores propios para las matrices diagonales son los elementos diagonales.

Diagonalización

Definición

Se dice que una matriz cuadrada\(A\) es diagonalizable si existe una matriz\(C\) tal que\(D=C^{-1}AC\) es una matriz diagonal.

Definición

\(B\)es una matriz similar de\(A\) si podemos encontrar\(C\) tal que\(B=C^{-1}AC\).

Dada una\(n \times n\) matriz\(A\), ¿podemos encontrar otra matriz\(n \times n\) invertible\(C\) tal que cuando\(D=C^{-1}AC\) es diagonal, es decir,\(A\) es diagonalizable?

• Porque\(C\) es invertible, tenemos

\[C^{-1}AC=D \nonumber \]

\[CC^{-1}AC = CD \nonumber \]

\[ AC = CD \nonumber \]

• Generar\(C\) como las columnas de vectores\(n\) linealmente independientes\((x_1 \ldots x_n)\) Podemos computar de la\(AC=CD\) siguiente manera:

\[ A\begin{bmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ { x }_{ 1 } & { x }_{ 2 } & \dots & { x }_{ n } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix}=AC=CD=\begin{bmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ { x }_{ 1 } & { x }_{ 2 } & \dots & { x }_{ n } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix}\begin{bmatrix} { \lambda }_{ 1 } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & { \lambda }_{ 2 } & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & { \dots } & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & { \lambda }_{ n } \end{bmatrix} \nonumber \]

• Después revisamos las columnas correspondientes de ambos lados. Tenemos

\[Ax_1 = \lambda_1x_1 \\ \vdots \\ Ax_n=\lambda x_n \nonumber \]

• \(A\)tiene vectores propios\(n\) lineales independientes.
• \(A\)se dice que es similar a la matriz diagonal\(D\), y la transformación de\(A\) en\(D\) se denomina transformación de similitud.

Un ejemplo sencillo

Considera lo siguiente:

\[ A = \begin{bmatrix}7& -10\\3& -4\end{bmatrix},\quad C = \begin{bmatrix}2& 5\\1& 3\end{bmatrix} \nonumber \]

Hacer esto

Encuentra la matriz similar\(D=C^{-1}AC\) de\(A\).

#Put your answer to the above question here.

from answercheck import checkanswer

checkanswer.matrix(D, '8313fe0f529090d6a8cdb36248cfdd6c');

Hacer esto

Encuentra los valores propios y los vectores propios de\(A\). Establece las variables e1 y vec1 para que sean el valor propio más pequeño y está asociado a autovector y e2, vec2 para representar el mayor.

#Put your answer to the above question here.

from answercheck import checkanswer
checkanswer.float(e1, "e4c2e8edac362acab7123654b9e73432");

from answercheck import checkanswer
checkanswer.float(e2, "d1bd83a33f1a841ab7fda32449746cc4");

from answercheck import checkanswer
checkanswer.eq_vector(vec1, "d28f0a721eedb3d5a4c714744883932e", decimal_accuracy = 4)

from answercheck import checkanswer
checkanswer.eq_vector(vec2, "09d9df5806bc8ef975074779da1f1023", decimal_accuracy = 4)

Teorema

Matrices similares tienen los mismos valores propios.

Prueba

Supongamos que\(B=C^{-1}AC\) es una matriz similar de\(A\), y\(\lambda\) es un valor propio de\(A\) con el vector propio correspondiente\(x\). Es decir,\(Ax=\lambda x\). Entonces tenemos\(B(C^{-1}x) = C^{-1}AC(C^{-1}x) = C^{-1}Ax = C^{-1}(\lambda x) = \lambda (C^{-1}x)\). Es decir,\(C^{-1}x\) es un vector propio de\(B\) con valor propio\(\lambda\).

Un segundo ejemplo

Hacer esto

Considerar\( A = \begin{bmatrix}-4& -6\\3& 5\end{bmatrix} \).

Encuentra una matriz\(C\) tal que\(C^{-1}AC\) sea diagonal.

Pista: usa la función diagonalizar en sympy.

#Put your answer to the above question here. 

#Check the output type
assert(type(C)==sym.Matrix)

from answercheck import checkanswer
checkanswer.matrix(C,'ba963b7fef354b4a7ddd880ca4bac071')

El tercer ejemplo

Hacer esto

Considerar\( A = \begin{bmatrix}5& -3\\3& -1\end{bmatrix} \).

¿Podemos encontrar una matriz\(C\) tal que\(C^{-1}AC\) sea diagonal?

Pista: encontrar valores propios y vectores propios usando sympy.

#Put your answer to the above question here. 

Dimensiones de los espacios propios y diagonalización

Definición

El conjunto de todos los vectores propios de una\(n \times n\) matriz correspondiente a un valor propio\(\lambda\), junto con el vector cero, es un subespacio de\(R^n\). A estos espacios subespaciales se le llama espacio propio.

• Para el tercer ejemplo, tenemos esa la ecuación característica\((\lambda - 2)^2 = 0\).
• El valor propio\(\lambda = 2\) tiene multiplicidad 2, pero el espacio propio tiene dimensión 1, ya que no podemos encontrar dos líneas son autovector independientes para\(\lambda = 2\).

La dimensión de un espacio propio de una matriz es menor o igual a la multiplicidad del valor propio correspondiente como raíz de la ecuación característica.

Una matriz es diagonalizable si y sólo si la dimensión de cada espacio propio es igual a la multiplicidad del valor propio correspondiente como raíz de la ecuación característica.

El cuarto ejemplo

Hacer esto

Considerar\( A = \begin{bmatrix}2& -1\\1& 2\end{bmatrix} \).

¿Podemos encontrar una matriz\(C\) tal que\(C^{-1}AC\) sea diagonal?

#Put your answer to the above question here.