35.1: Productos internos
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Definición: Un producto interno sobre un espacio vectorial\(V\) (Recuerde que\(R^n\) es solo una clase de espacios vectoriales) es una función que asocia un número, denotado como\(\langle u,v \rangle\), con cada par de vectores\(u\) y\(v\) de\(V\). Esta función satisface las siguientes condiciones para vectores\(u,v,w\) y escalar\(c\):
- \(\langle u,v \rangle = \langle v,u \rangle\)(axioma de simetría)
- \(\langle u+v,w \rangle = \langle u,w \rangle + \langle v,w \rangle\)(axioma aditivo)
- \(\langle cu,v \rangle = c\langle v,u \rangle\)(axioma de homogeneidad)
- \(\langle u,u \rangle \ge 0 \text{ and } \langle u,u \rangle = 0 \text{ if and only if } u = 0\)(axioma definido positivo)
El producto punteado de\(R^n\) es un producto interno. Tenga en cuenta que podemos definir nuevos productos internos para\(R^n\).
Norma de un vector
Definición: Dejar\(V\) ser un espacio interior de producto. La norma de un vector\(v\) se denota por\(\| v \|\) y se define por:
\[\| v \| = \sqrt{\langle v,v \rangle}. \nonumber\]
Ángulo entre dos vectores
Definición: Dejar\(V\) ser un verdadero espacio interior de producto. El ángulo\(\theta\) entre dos vectores distintos de cero\(u\) e\(v\) in\(V\) viene dado por:
\[\cos(\theta) = \frac{\langle u,v \rangle}{\| u \| \| v \|}. \nonumber\]
Vectores ortogonales
Definición: Dejar\(V\) ser un espacio interior de producto. Dos vectores\(u\) e\(v\) in\(V\) son ortogonales si su producto interno es cero:
\[\langle u,v \rangle = 0. \nonumber\]
Distancia
Definición: Dejar\(V\) ser un espacio interior de producto. La distancia entre dos vectores (puntos)\(u\) e\(v\) in\(V\) se denota por\(d(u,v)\) y se define por:
\[d(u,v) = \| u-v \| = \sqrt{\langle u-v, u-v \rangle} \nonumber\]
Ejemplo:
Dejar\(R^2\) tener un producto interno definido por:\(\langle (a_1,a_2),(b_1,b_2)\rangle = 2a_1b_1 + 3a_2b_2.\)
¿Cuál es la norma de (1, -2) en este espacio?
¿Cuál es la distancia entre (1, -2) y (3,2) en este espacio?
¿Cuál es el ángulo entre (1, -2) y (3,2) en este espacio?
Determinar si (1, -2) y (3,2) son ortogonales en este espacio?