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18 Asignación Pre-Clase: Producto Interno

Un producto interno sobre un espacio vectorial real\(V\) es una función que asocia un número, denotado como\(\langle u,v \rangle\), con cada par de vectores\(u\) y\(v\) de\(V\). Esta función satisface las siguientes condiciones para vectores\(u,v,w\) y escalar\(c\):

\[\langle u,v \rangle = \langle v,u \rangle \text{ symmetry axiom} \nonumber\]

\[\langle u+v,w \rangle = \langle u,w \rangle + \langle v,w \rangle \text{ additive axiom} \nonumber\]

\[\langle cu,v \rangle = c\langle v,u \rangle \text{ homogeneity axiom} \nonumber\]

\[\langle u,v \rangle = \langle v,u \rangle \text{ Symmetry axiom} \nonumber\]

\[\langle u,u \rangle \ge 0 \text{ and } \langle u,u \rangle = 0 \text{ if and only if } u = 0 \text{ positive definite axiom} \nonumber\]

El producto punto de\(R^n\) es un producto interno. Sin embargo, podemos definir muchos otros productos internos.

Norma de un vector

Definición: Dejar\(V\) ser un espacio interior de producto. La norma de un vector\(v\) se denota por\(\| v \|\) y se define por:

\[\| v \| = \sqrt{\langle v,v \rangle}. \nonumber\]

Ángulo entre dos vectores

Definición: Dejar\(V\) ser un verdadero espacio interior de producto. El ángulo\(\theta\) entre dos vectores distintos de cero\(u\) e\(v\) in\(V\) viene dado por:

\[cos(\theta) = \frac{\langle u,v \rangle}{\| u \| \| v \|}. \nonumber\]

Vectores ortogonales

Definición: Dejar\(V\) ser un espacio interior de producto. Dos vectores\(u\) e\(v\) in\(V\) son ortogonales si su producto interno es cero:

\[\langle u,v \rangle = 0. \nonumber\]

Distancia

Definición: Dejar\(V\) ser un espacio interior de producto. La distancia entre dos vectores (puntos)\(u\) e\(v\) in\(V\) se denota por\(d(u,v)\) y se define por:

\[d(u,v) = \| u-v \| = \sqrt{\langle u-v, u-v \rangle} \nonumber\]