36.2: Geometría Minkowski

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 115519

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Considere el siguiente pseudo producto interno que se utiliza para modelar la relatividad especial en\(R^4\):

\[\langle X,Y \rangle = -x_1y_1 - x_2y_2 -x_3y_3 + x_4y_4 \nonumber \]

Cuenta con las siguientes normas y distancias:

\[\lVert X \rVert = \sqrt{|\langle X,X \rangle|} \nonumber \]

\[ d(X,Y) = \lVert X - Y \rVert = \lVert ( x_1 - y_1, x_2-y_2, x_3 - y_3, x_4 - y_4) \rVert \nonumber \]

\[ = \sqrt{|-(x_1 - y_1)^2 - (x_2-y_2)^2 - (x_3 - y_3)^2 + (x_4 - y_4)^2|} \nonumber \]

Pregunta

La Geometría Minkowski se llama pseudo producto interno porque viola uno de los axiomas del producto interno. Discuta los axiomas en tu grupo y decide cuál viola.

La interpretación física de la geometría de Minkowski

La distancia entre dos puntos en la trayectoria de un observador en geometría Minkowski corresponde al tiempo registrado por ese observador al viajar entre los dos puntos.

Suponemos que Alpha Centauri yace en la\(x_1\) dirección de la Earch. El gemelo en la Tierra avanza en el tiempo\(x_4\). No hay movimiento ni en las direcciones ni en las\(x_2\)\(x_3\) direcciones. Twin 2 a bordo del cohete avanza en el tiempo y se mueve hacia Alpha Centauri y de regreso a la Tierra.

Vamos\(P=(0,0,0,0)\),\(R=(4,0,0,5)\), y\(Q=(0,0,0,10)\).

\(d(P,Q)=10\)significa que Twin 1 edades 10 años desde\(P\) hasta\(Q\). Porque\(x_1\) no cambia y solo\(x_4\) cambia el tiempo. Twin 1 no viaja y permanece en la Tierra por 10 años.
\(d(P,R)=3\)significa que Twin 2 edades 3 años en viajar de\(P\) a\(R\). Cuando Twin 2 llega al\(R\), el tiempo en la tierra ha pasado 55 años, aunque el tiempo recuperado por Twin 2 es de solo 33 años.
\(d(R,Q)=3\)significa taht Twin 2 edades 3 años en viajar de\(R\) a\(Q\). Cuando Twin 2 viaja de regreso a la Tierra\(P\), registra 3 años pero el tiempo en la Earch ha pasado 5 años.
El tiempo desde\(P \rightarrow R \rightarrow Q\) es más corto que\(P \rightarrow Q\).

Pregunta

El cúmulo estelar Pléyades en la constelación Tauro se encuentra a 410 años luz de la Tierra. Una nave espacial generacional al racimo que viaja a velocidad constante envejece 850 años en un viaje de ida y vuelta. Para cuando la nave espacial regrese a la Tierra, ¿cuántos siglos habrán pasado en la Tierra?

Pregunta

¿Qué tan rápido iba la nave espacial con relación a la tierra?