36.3: Aproximación de funciones

Definición

Dejar\(C[a,b]\) ser un espacio vectorial de todas las funciones continuas posibles a lo largo del intervalo\([a,b]\) con producto interno:\(\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x) dx.\)

Ahora dejemos\(f\) ser un elemento de\(C[a,b]\), y\(W\) ser un subespacio de\(C[a,b]\). La función\(g \in W\) tal que\(\int_a^b \left[ f(x) - g(x) \right]^2 dx\) es un mínimo se llama la aproximación de mínimos cuadrados a\(f\).

La aproximación de mínimos cuadrados a\(f\) en el subespacio se\(W\) puede calcular como la proyección de\(f\) sobre\(W\):

\[g = proj_Wf \nonumber \]

Si\(\{g_1, \ldots, g_n\}\) es una base ortonormal para\(W\), podemos reemplazar el producto punto de\(R^n\) por un producto interno del espacio funcional y obtener:

\[prog_Wf = \langle f,g_1 \rangle g_1 + \ldots + \langle f,g_n \rangle g_n \nonumber \]

Aproximaciones polinomiales

Se\(n\) pueden calcular bases ortogonales para todos los polinomios de grado menor o igual a mediante el proceso de ortogonalización Gram-schmidt. Primero comenzamos con los siguientes vectores de base estándar en\(W\)

\[ \{ 1, x, \ldots, x^n \} \nonumber \]

El proceso Gram-Schmidt puede ser utilizado para hacer estos vectores ortogonales. Los polinomios resultantes\([−1,1]\) son llamados polinomios de Legendre. Las seis primeras bases polinómicas de Legendre son:

\[1 \nonumber \]

\[x \nonumber \]

\[x^2 -\frac{1}{3} \nonumber \]

\[x^3 - \frac{3}{5}x \nonumber \]

\[x^4 - \frac{6}{7}x^2 + \frac{3}{35} \nonumber \]

\[x^5 - \frac{10}{9}x^3 + \frac{5}{12}x \nonumber \]

Pregunta

¿Cuáles son las aproximaciones lineales de mínimos cuadrados a\(f(x)=e^x\) lo largo del intervalo\([−1,1]\)? En otras palabras, lo que es la proyección\(f\) sobre\(W\), donde\(W\) es un polinomal de primer orden con vectores base\(\{1, x\} (\textit{i.e. } n=1)\).

(Pista: Se puede dar la respuesta en integrales sin computar las integrales. Tenga en cuenta que los polinomios de Legendre no están normalizados).

Aquí hay una gráfica de la ecuación\(f(x)=e^x\):

%matplotlib inline
import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np

#px = np.linspace(-1,1,100)
#py = np.exp(px)
#plt.plot(px,py, color='red');
import sympy as sym
from sympy.plotting import plot
x = sym.symbols('x')
f = sym.exp(x)
plot(f,(x,-1,1))

Podemos usar sympy para calcular la integral. El siguiente código computa la integral definida de\(\int_{-1}^1 e^x dx\). De hecho, sympy también puede calcular la integral indefinida eliminando el intervalo.

sym.init_printing()
x = sym.symbols('x')
sym.integrate('exp(x)',(x, -1, 1))
#sym.integrate('exp(x)',(x))

Usa sympy para calcular el polinomio de primer orden que se aproxima a la función\(e^x\). A continuación se calcula la aproximación anterior escrita en sympy:

g_0 = sym.integrate('exp(x)*1',(x, -1, 1))/sym.integrate('1*1',(x,-1,1))*1
g_1 = g_0 + sym.integrate('exp(x)*x',(x,-1,1))/sym.integrate('x*x',(x,-1,1))*x
g_1

Trazar la función original\(f(x)=e^x\) y su aproximación.

p2 = plot(f, g_1,(x,-1,1))

#For fun, I turned this into a function:
x = sym.symbols('x')

def lsf_poly(f, gb = [1,  x], a =-1, b=1):
    proj = 0
    for g in gb:
#        print(sym.integrate(g*f,(x,a,b)))
        proj = proj + sym.integrate(g*f,(x,a,b))/sym.integrate(g*g,(x,a,b))*g
    return proj

lsf_poly(sym.exp(x))

Pregunta

¿Cómo sería una aproximación de segundo orden para esta función? ¿Qué tal una aproximación de quinto orden?

#####Start your code here #####
x = sym.symbols('x')
g_2 = 
g_2
#####End of your code here#####

p2 = plot(f, g_2,(x,-1,1))