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36.3: Aproximación de funciones

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

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$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$
Definición

Dejar$$C[a,b]$$ ser un espacio vectorial de todas las funciones continuas posibles a lo largo del intervalo$$[a,b]$$ con producto interno:$$\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)g(x) dx.$$

Ahora dejemos$$f$$ ser un elemento de$$C[a,b]$$, y$$W$$ ser un subespacio de$$C[a,b]$$. La función$$g \in W$$ tal que$$\int_a^b \left[ f(x) - g(x) \right]^2 dx$$ es un mínimo se llama la aproximación de mínimos cuadrados a$$f$$.

La aproximación de mínimos cuadrados a$$f$$ en el subespacio se$$W$$ puede calcular como la proyección de$$f$$ sobre$$W$$:

$g = proj_Wf \nonumber$

Si$$\{g_1, \ldots, g_n\}$$ es una base ortonormal para$$W$$, podemos reemplazar el producto punto de$$R^n$$ por un producto interno del espacio funcional y obtener:

$prog_Wf = \langle f,g_1 \rangle g_1 + \ldots + \langle f,g_n \rangle g_n \nonumber$

Aproximaciones polinomiales

Se$$n$$ pueden calcular bases ortogonales para todos los polinomios de grado menor o igual a mediante el proceso de ortogonalización Gram-schmidt. Primero comenzamos con los siguientes vectores de base estándar en$$W$$

$\{ 1, x, \ldots, x^n \} \nonumber$

El proceso Gram-Schmidt puede ser utilizado para hacer estos vectores ortogonales. Los polinomios resultantes$$[−1,1]$$ son llamados polinomios de Legendre. Las seis primeras bases polinómicas de Legendre son:

$1 \nonumber$

$x \nonumber$

$x^2 -\frac{1}{3} \nonumber$

$x^3 - \frac{3}{5}x \nonumber$

$x^4 - \frac{6}{7}x^2 + \frac{3}{35} \nonumber$

$x^5 - \frac{10}{9}x^3 + \frac{5}{12}x \nonumber$

Pregunta

¿Cuáles son las aproximaciones lineales de mínimos cuadrados a$$f(x)=e^x$$ lo largo del intervalo$$[−1,1]$$? En otras palabras, lo que es la proyección$$f$$ sobre$$W$$, donde$$W$$ es un polinomal de primer orden con vectores base$$\{1, x\} (\textit{i.e. } n=1)$$.

(Pista: Se puede dar la respuesta en integrales sin computar las integrales. Tenga en cuenta que los polinomios de Legendre no están normalizados).

Aquí hay una gráfica de la ecuación$$f(x)=e^x$$:

%matplotlib inline
import matplotlib.pylab as plt
import numpy as np

#px = np.linspace(-1,1,100)
#py = np.exp(px)
#plt.plot(px,py, color='red');
import sympy as sym
from sympy.plotting import plot
x = sym.symbols('x')
f = sym.exp(x)
plot(f,(x,-1,1))

Podemos usar sympy para calcular la integral. El siguiente código computa la integral definida de$$\int_{-1}^1 e^x dx$$. De hecho, sympy también puede calcular la integral indefinida eliminando el intervalo.

sym.init_printing()
x = sym.symbols('x')
sym.integrate('exp(x)',(x, -1, 1))
#sym.integrate('exp(x)',(x))

Usa sympy para calcular el polinomio de primer orden que se aproxima a la función$$e^x$$. A continuación se calcula la aproximación anterior escrita en sympy:

g_0 = sym.integrate('exp(x)*1',(x, -1, 1))/sym.integrate('1*1',(x,-1,1))*1
g_1 = g_0 + sym.integrate('exp(x)*x',(x,-1,1))/sym.integrate('x*x',(x,-1,1))*x
g_1

Trazar la función original$$f(x)=e^x$$ y su aproximación.

p2 = plot(f, g_1,(x,-1,1))
#For fun, I turned this into a function:
x = sym.symbols('x')

def lsf_poly(f, gb = [1,  x], a =-1, b=1):
proj = 0
for g in gb:
#        print(sym.integrate(g*f,(x,a,b)))
proj = proj + sym.integrate(g*f,(x,a,b))/sym.integrate(g*g,(x,a,b))*g
return proj

lsf_poly(sym.exp(x))
Pregunta

¿Cómo sería una aproximación de segundo orden para esta función? ¿Qué tal una aproximación de quinto orden?

#####Start your code here #####
x = sym.symbols('x')
g_2 =
g_2
#####End of your code here#####
p2 = plot(f, g_2,(x,-1,1))

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