41.4: Sistemas indeterminados

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import numpy as np
import sympy as sym

Cuando tenemos más incógnitas que ecuaciones, tenemos el sistema subdeterminado\(Ax=b\). En esta asignación, asumimos que la matriz\(A\) tiene rango de fila completa. Este sistema tiene infinitamente muchas soluciones, es decir, no podemos encontrar una única\(x\) tal que\(Ax=b\). Entonces queremos encontrar al más pequeño\(x\) (por más pequeño, nos referimos al más pequeño\(\|x\|^2\)) tal que\(Ax=b\), que también es el problema de mínimos cuadrados.

En esta tarea, mostramos que también podemos resolverlo por QR decomposion.

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\begin{split}\begin{bmatrix}5&-2&2 & 1 \\ 4 & -3 &4 &2 \\ 4& -6 &7 & 4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}\end{split} \nonumber \]

Hacer esto

Resolvemos el problema de mínimos cuadrados en los siguientes pasos

Encuentra la descomposición QR de la matriz\(A^{\top}\) tal que\(R\) sea una matriz cuadrada superior triangular.
Utilice la función forward_subst definida a continuación para resolver\(x = Q (R^\top)^{-1}b\)

A = np.matrix([[5, -2, 2, 1], [4, -3, 4, 2], [4,-6,7, 4]])
b = np.matrix([[1],[2],[3]])
display(sym.Matrix(A))
display(sym.Matrix(b))

def forward_subst(L,b):  # This function solves $L x= b$ when $L$ is the lower-trigular matrix
    n = L.shape[0]; x = np.zeros(n);
    for i in range(n):
        x[i] = b[i]
        for j in range(i):
            x[i] = x[i] - L[i,j]*x[j]  
        x[i] = x[i]/L[i,i]
    return np.matrix(x).T

## Your code starts ##
x =  
## Your code ends ##
print(type(x))   # x is a column vector in the np.matrix type
print(x)

No podemos usar el np.linalg.solve porque la matriz no\(A\) es una matriz cuadrada. Sin embargo, podemos usar la función np.linalg.lstsq para encontrar la solución de mínimos cuadrados para minimizar\(\|Ax-b\|^2\) con sistemas subdeterminados. La siguiente celda compara el resultado de lstsq y nuestro resultado de la descomposición QR. (Si todo es correcto, esperarás un resultado True.)

np.allclose(x, np.linalg.lstsq(A,b)[0])

Hacer esto

Explique por qué podemos usar la descomposición QR para resolver el problema de mínimos cuadrados.

(SUMINISTRO: es posible que necesite la descomposición orhogonal a los cuatro espacios fundamentales de\(Q\).)