Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

4: Valores propios y vectores propios

  • Page ID
    116288
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    A menudo hemos explorado nuevas ideas en álgebra matricial haciendo conexiones con nuestra experiencia algebraica anterior. Agregar dos números,\(x + y\), nos llevó a agregar vectores\(\vec{x}+\vec{y}\) y agregar matrices\(A + B\). Exploramos la multiplicación, que luego nos llevó a resolver la ecuación matricial\(A\vec{x}=\vec{b}\), que era una reminiscencia de resolver la ecuación de álgebra\(ax = b\).

    Este capítulo está motivado por otra analogía. Considera: cuando multiplicamos un número desconocido\(x\) por otro número como\(5\), ¿qué sabemos del resultado? A menos que\(x = 0\),, sabemos que en algún sentido\(5x\) va a ser “\(5\)veces más grande que”\(x\). Aplicando esto a los vectores, fácilmente estaríamos de acuerdo en que\(5\vec{x}\) da un vector que es “\(5\)veces más grande que”\(\vec{x}\). Cada entrada en\(\vec{x}\) se multiplica por\(5\).

    Sin embargo, dentro del contexto de álgebra matricial, tenemos dos tipos de multiplicación: la multiplicación escalar y la multiplicación matricial. ¿Qué pasa\(\vec{x}\) cuando lo multiplicamos por una matriz\(A\)? Nuestra primera respuesta es probable en la línea de “Simplemente obtienes otro vector. No hay relación definible”. Podríamos preguntarnos si alguna vez existe el caso en el que una multiplicación de matriz —vector— es muy similar a una multiplicación vectorial escalar. Es decir, ¿alguna vez tenemos el caso dónde\(A\vec{x}=a\vec{x}\), dónde\(a\) está algún escalar? Esa es la cuestión motivadora de este capítulo.

    Miniatura: Una matriz 2×2 real y simétrica representa un estiramiento y cizallamiento del plano. Los vectores propios de la matriz (líneas rojas) son las dos direcciones especiales de tal manera que cada punto sobre ellas simplemente se deslizará sobre ellas. (CC0; Jacopo Bertolotti vía Wikipedia)


    This page titled 4: Valores propios y vectores propios is shared under a CC BY-NC 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Gregory Hartman et al. via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.