4: Valores propios y vectores propios
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Este capítulo está motivado por otra analogía. Considera: cuando multiplicamos un número desconocido\(x\) por otro número como\(5\), ¿qué sabemos del resultado? A menos que\(x = 0\),, sabemos que en algún sentido\(5x\) va a ser “\(5\)veces más grande que”\(x\). Aplicando esto a los vectores, fácilmente estaríamos de acuerdo en que\(5\vec{x}\) da un vector que es “\(5\)veces más grande que”\(\vec{x}\). Cada entrada en\(\vec{x}\) se multiplica por\(5\).
Sin embargo, dentro del contexto de álgebra matricial, tenemos dos tipos de multiplicación: la multiplicación escalar y la multiplicación matricial. ¿Qué pasa\(\vec{x}\) cuando lo multiplicamos por una matriz\(A\)? Nuestra primera respuesta es probable en la línea de “Simplemente obtienes otro vector. No hay relación definible”. Podríamos preguntarnos si alguna vez existe el caso en el que una multiplicación de matriz —vector— es muy similar a una multiplicación vectorial escalar. Es decir, ¿alguna vez tenemos el caso dónde\(A\vec{x}=a\vec{x}\), dónde\(a\) está algún escalar? Esa es la cuestión motivadora de este capítulo.
- 4.2: Propiedades de los valores propios y vectores propios
- En esta sección exploraremos cómo los valores propios y los vectores propios de una matriz se relacionan con otras propiedades de esa matriz. Esta sección es esencialmente una confusión de datos interesantes sobre los valores propios; el objetivo aquí no es memorizar diversos hechos sobre álgebra matricial, sino asombrarse nuevamente por las muchas conexiones entre conceptos matemáticos.
Miniatura: Una matriz 2×2 real y simétrica representa un estiramiento y cizallamiento del plano. Los vectores propios de la matriz (líneas rojas) son las dos direcciones especiales de tal manera que cada punto sobre ellas simplemente se deslizará sobre ellas. (CC0; Jacopo Bertolotti vía Wikipedia)