11.1: Operadores autoadherentes o hermitianos

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Deje\(V\) ser un espacio de producto interior de dimensiones finitas sobre\(\mathbb{C}\) el producto interno\(\inner{\cdot}{\cdot}\). Un operador lineal\(T\in\mathcal{L}(V)\) está determinado únicamente por los valores de

\[ \inner{Tv}{w}, \quad \text{for all \(v,w\in V\).} \]

Esto significa, en particular, que si\(T,S\in\mathcal{L}(V)\) y

\ begin {equation*}
\ inner {Tv} {w} =\ inner {Sv} {w}\ quad\ text {para todos\(v,w \in V\),}
\ end {ecuación*}

entonces\(T=S\). Para ver esto,\(w\) tomar como elementos de una base ortonormal de\(V\).

Definición 11.1.1. Dado\(T\in\mathcal{L}(V)\), el adjunto (también conocido como conjugado hermitiano) de\(T\) is defined to be the operator \(T^*\in\mathcal{L}(V)\) para el cual

\[ \inner{Tv}{w} = \inner{v}{T^*w}, \quad \text{for all \(v,w\in V\)} \]

Por otra parte, c todos\(T\) auto- colindantes (a.k.a. hermitian}) si\(T=T^*\).

La singularidad de\(T^*\) is clear by the previous observation.

Ejemplo 11.1.2. Dejar\(V=\mathbb{C}^3\), y dejar\(T \in \cal{L}(\mathbb{C}^3)\) ser definido por\(T(z_1,z_2,z_3)=(2z_2+iz_3,iz_1,z_2)\). Entonces
\ comienza {ecuación*}
\ comienza {dividir}
\ interior {(y_1, y_2, y_3)} {T^* (z_1, z_2, z_3)} &=\ inner {T (y_1, y_2, y_3)} {(z_1, z_2, z_3)}\\
&=\ inner {(2y_2+iy_3, iy_1, y_2)} {(z_1, z_2, z_3)}\\
&= 2y_2\ overline {z_1} + iy_3\ overline {z_1} +iy_1\ overline {z_2} + y_2\ overline {z_3}\\
&=\ inner {(y_1, y_2, y_3)} {(-iz_2,2z_1+z_3, -iz_1)}
\ end {split}
\ end {ecuación*}

para que\(T^*(z_1,z_2,z_3)=(-iz_2,2z_1+z_3,-iz_1)\). Escribiendo la matriz para\(T\) en términos de la base canónica, vemos que
\ begin {ecuation*}
M (T) =\ begin {bmatrix} 0&2&i\\ i&0&0\\ 0&1&0\ end {bmatrix}\ quad\ text {and}\ quad
M (T^*) =\ begin {bmatrix} 0&-i&0\ 2&0&1\\ -i&0& amp; 0\ end {bmatrix}.
\ end {ecuación*}

Obsérvese que\(M(T^*)\) puede ser o bfound fro m\(M(T)\) por ta king el complejo conjugado de cada elemento y luego transposición. Esta operación se denomina transposición conjugada de\(M(T)\), and we denote it b y\((M(T))^{*}\).

Recopilamos varias propiedades elementales de la operación conjunta en la siguiente proposición. Debes proporcionar una prueba de estos resultados para tu propia práctica.

Proposición 11.1.3. Le t\(S,T\in \mathcal{L}(V)\) y\(a\in \mathbb{F}\).

1. \((S+T)^* = S^*+T^*\).
2. \((aT)^* = \overline{a} T^*\).
3. \((T^*)^* = T\).
4. \(I^* = I\).
5. \((ST)^* = T^* S^*\).
6. \(M(T^*) = M(T)^*\).

Cuando\(n=1\), tenga en cuenta que la transposición conjugada de una\(1\times 1\) matriz\(A\) es solo el conjugado complejo de su entrada única. De ahí que\(A\) exigir ser autoadjoint (\(A=A^*\)) equivale a decir que esta única entrada es real. Sin embargo, debido a la transposición, la realidad no es lo mismo que la autounión cuando\(n > 1\), pero la analogía no obstante se traspasa a los valores propios de los operadores autoadheridos.

Proposición 11.1.4. Cada valor propio de un operador autoadjunto es real.

Prueba. Supongamos que\(\lambda\in\mathbb{C}\) es un valor propio de\(T\) y que\(0\neq v\in V\) es un autovector correspondiente tal que\(Tv=\lambda v\). Entonces

\ begin {ecuation*}
\ begin {split}
\ lambda\ norm {v} ^2 &=\ inner {\ lambda v} {v} =\ inner {tv} {v} =\ inner {v} {t^*v}\\
&=\ inner {v} {Tv} =\ inner {v} {\ lambda v} =\ overline {\ lambda}\ inner {v} {v}
\ overline {\ lambda}\ norma {v} ^2.
\ end {split}
\ end {ecuación*}

Esto implica que\(\lambda=\overline{\lambda}\).

Ejemplo 11.1.5. El operador\(T\in \mathcal{L}(V)\) definido por\(T(v) = \begin{bmatrix} 2 & 1+i\\ 1-i & 3 \end{bmatrix} v\) es autoadjunto, y se puede verificar (por ejemplo, usando el polinomio característico) que los valores propios de\(T\) son\(\lambda=1,4\).

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