11.2: Operadores normales
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Los operadores normales son aquellos que conmutan con sus propios anexos. Como veremos, esto incluye muchos ejemplos importantes de operaciones.
Definición 11.2.1. Llamamos\(T\in\mathcal{L}(V)\) normal si\(TT^*=T^*T\).
Dado un operador arbitrario\(T \in \mathcal{L}(V)\), tenemos eso\(TT^*\neq T^*T\) en general. Sin embargo, ambos\(TT^*\) y\(T^*T\) son autoadjoint, y cualquier operador autoadjoint\(T\) es normal. Ahora damos una caracterización diferente para los operadores normales en términos de normas.
Proposición 11.2.2. Dejar\(V\) ser un espacio de producto interno complejo, y supongamos que\(T\in\mathcal{L}(V)\) satisface
\ begin {ecuación*}
\ inner {Tv} {v} = 0,\ quad\ texto {para todos\(v\in V\).}
\ end {ecuación*}
Entonces\(T=0\).
Prueba. Deberías poder verificar que
\ begin {equation*}
\ begin {split}
\ inner {Tu} {w} =\ frac {1} {4} &\ left\ {\ inner {T (u+w)} {u+w} -\ inner {T (u-w)} {u-w}\ right. \\
&\ izquierda. +i\ interior {T (u+iw)} {u+iw} - i\ interior {T (u-iw)} {u-iw}\ derecho\}.
\ end {split}
\ end {equation*}
Dado que cada término del lado derecho es de la forma\(\inner{Tv}{v}\), obtenemos 0 para cada uno\(u,w\in V\).
De ahí\(T=0\).
Proposición 11.2.3. Vamos\(T\in \mathcal{L}(V)\). Entonces\(T\) es normal si y solo si
\ begin {ecuación*}
\ norma {Tv} =\ norma {T^* v},\ quad\ texto {para todos\(v\in V\).}
\ end {ecuación*}
Prueba. Tenga en cuenta que
\ begin {ecuation*}
\ begin {split}
\ text {\(T\)es normal} &\ Longleftrightarrow T^*T-TT^* =0\
&\ Longleftrightarrow\ inner {(T^*T-TT^*) v} {v} = 0,\ quad\ text {para todos\(v\in V\)}\\
&\ Longleftrightarrow\ inner {TT^* v} {v} =\ interior {T^*T v} {v},\ quad\ text {para todos\(v\in V\)}\\
&\ Longleftrightarrow\ norm {Tv} ^2 =\ norm {t^*v} ^2,\ quad\ text {para todos\(v\in V\).}
\ end {split}
\ end {ecuación*}
Corolario 11.2.4. Dejar\(T \in \mathcal{L}(V)\) ser un operador normal.
- \(\kernel(T) = \kernel(T^*)\).
- Si\(\lambda\in\mathbb{C}\) es un valor propio de\(T\), entonces\(\overline{\lambda}\) es un valor propio de\(T^*\) con el mismo vector propio.
- Si\(\lambda,\mu\in\mathbb{C}\) son valores propios distintos de\(T\) con vectores propios asociados\(v,w\in V\), respectivamente, entonces\(\inner{v}{w}=0\).
Para probar la Parte~2, primero verificar que si\(T\) es normal, entonces también\(T-\lambda I\) es normal con\((T-\lambda I)^* = T^* - \overline{\lambda} I\). Por lo tanto, por la Proposición 11.2.3, tenemos
\ begin {ecuación*}
0 =\ norm {(T-\ lambda I) v} =\ norm {(T-\ lambda I) ^* v} =\ norm {(T^*-\ overline {\ lambda} I) v},
\ end {ecuación*}
y así\(v\) es un vector propio de\(T^*\) con valor propio\(\overline{\lambda}\).
Usando Parte~2, tenga en cuenta que
\ begin {ecuation*}
(\ lambda-\ mu)\ inner {v} {w} =\ inner {\ lambda v} {w} -\ inner {v} {\ overline {\ mu} w}
=\ inner {Tv} {w} -\ inner {v} {T^* w} = 0.
\ end {ecuación*}
Ya que\(\lambda-\mu\neq 0\) se deduce que\(\inner{v}{w}=0\), demostrando Parte~3.