11.3: Operadores normales y la descomposición espectral

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Recordemos que un operador\(T \in \mathcal{L}(V)\) es diagonalizable si existe una base\(B\) para\(V\) tal que\(B\) consiste enteramente en vectores propios para\(T\). Los operadores más agradables\(V\) son aquellos que son diagonalizables con respecto a alguna base ortonormal para\(V\). En otras palabras, estos son los operadores para los que podemos encontrar una base ortonormal para\(V\) que consiste en vectores propios para\(T\). El Teorema Espectral para espacios de productos internos complejos de dimensiones finitas establece que esto se puede hacer precisamente para operadores normales.

Teorema 11.3.1. Dejar\(V\) ser un espacio de producto interior finito-dimensional sobre\(\mathbb{C}\) y\(T\in\mathcal{L}(V)\). Entonces\(T\) es normal si y solo si existe una base ortonormal para\(V\) consistir en vectores propios para\(T\).

Comprobante. \(( "\Longrightarrow" )\)Supongamos que eso\(T\) es normal.
Combinando Teorem7.5.3~\ ref {THM:ComplexLineArmapSupperTriangularWrtSomeBasis} y Corolary9.5.5~\ ref {thm:ComplexLineArmapSupperTriangularWrtSomeOrthonOrmalBasis}, existe una base ortonormal\(e=(e_1,\ldots,e_n)\) para la cual la matriz\(M(T)\) es triangular superior, es decir,
\ begin {ecuación*}
M (T) =\ begin {bmatrix} a_ {11} &\ cdots & a_ {1n}\\ &\ ddots&\ vdots\\ 0&& a_ {nn}\ end {bmatrix}.
\ end {equation*}
Vamos a mostrar que\(M(T)\) es, de hecho, diagonal, lo que implica que los elementos de base\(e_1,\ldots,e_n\) son vectores propios de\(T\).

Ya que\(M(T)=(a_{ij})_{i,j=1}^n\) con\(a_{ij}=0\) para\(i>j\), tenemos\(Te_1=a_{11}e_1\) y\(T^*e_1=\sum_{k=1}^n \overline{a}_{1k} e_k\). Así, por el Teorema de Pitágoras y Proposición11.2.3~\ ref {prop:norma adjoint},
\ begin {ecuación*}
|a_ {11} |^2 =\ norm {a_ {11} e_1} ^2 =\ norm {Te_1} ^2 =\ norm {t^*e_1} ^2
=\ norm {\ sum_ {k=1} ^overn\ línea {a} _ {1k} e_k} ^2 =\ suma_ {k=1} ^n |a_ {1k} |^2,
\ end {ecuación*}
de lo que se deduce que\(|a_{12}| = \cdots = |a_{1n}| = 0\). Repitiendo este argumento,\(\norm{Te_j}^2=|a_{jj}|^2\) y\(\norm{T^*e_j}^2 = \sum_{k=j}^n |a_{jk}|^2\) así eso\(a_{ij}=0\) para todos\(2\le i<j\le n\). De ahí,\(T\) es diagonal con respecto a la base
\(e\), y\(e_1,\ldots,e_n\) son vectores propios de\(T\).

\(( "\Longleftarrow" )\)Supongamos que existe una base ortonormal\((e_1,\ldots,e_n)\) para\(V\) que consiste en vectores propios para\(T\). Entonces la matriz\(M(T)\) con respecto a esta base es diagonal. Además,\(M(T^*)=M(T)^*\) respecto a esta base también debe haber una matriz diagonal.
De ello se deduce que\(TT^*=T^*T\) desde sus matrices correspondientes conmutan:
\ begin {equation*}
M (TT^*) = M (T) M (T^*) = M (T^*) M (T) = M (T^*T).
\ end {ecuación*}

El siguiente corolario es la mejor descomposición posible de un espacio vectorial complejo\(V\) en subespacios que son invariantes bajo un operador normal\(T\). En cada subespacio\(\kernel(T-\lambda_i I)\), el operador\(T\) actúa igual que multiplicación por escalar\(\lambda_i\). En otras palabras,

\[ T|_{\kernel(T-\lambda_i I)} = \lambda_{i}I_{\kernel(T-\lambda_i I)}. \]

Corolario 11.3.2. Dejar\(T\in\mathcal{L}(V)\) ser un operador normal, y denotar por\(\lambda_1,\ldots,\lambda_m\) los distintos valores propios de\(T\).

1. \(V = \kernel(T-\lambda_1 I) \oplus \cdots \oplus \kernel(T-\lambda_m I)\).
2. Si\(i\neq j\), entonces\(\kernel(T-\lambda_i I)\bot \kernel(T-\lambda_j I)\).

Como veremos en la siguiente sección, podemos usar el Corolario 11.3.2 para descomponer la matriz canónica para un operador normal en una llamada “diagonalización unitaria”.

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