11.6: Descomposición polar

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Continuando con la analogía entre\(\mathbb{C}\) y\(\mathcal{L}(V)\), recordar la forma polar de un número complejo\(z=|z|e^{i\theta}\), donde\(|z|\) está el valor absoluto o módulo de\(z\) y\(e^{i\theta}\) se encuentra en el círculo unitario en\(\mathbb{R}^{2}\). En términos de un operador\(T\in \mathcal{L}(V)\), donde\(V\) hay un espacio interno complejo de productos, un operador unitario\(U\) toma el papel de\(e^{i\theta}\), y\(|T|\) toma el papel del módulo. Al igual que en la Sección 11.5,\(T^*T\ge 0\) así que eso\( |T|:=\sqrt{T^*T}\) existe y satisface\(|T|\ge 0\) también.

Teorema 11.6.1. Para cada uno\(T\in \mathcal{L}(V)\), existe una unidad\(U\) tal que

\[ T = U |T|. \]

A esto se le llama la descomposición polar de\(T\).

Comprobante. Comenzamos por señalar que

\[ \norm{Tv}^2 = \norm{\,|T|\,v}^2, \]

ya que\(\inner{Tv}{Tv} = \inner{v}{T^*Tv} = \inner{\sqrt{T^*T}v}{\sqrt{T^*T}v}\). Esto implica que\(\kernel(T) = \kernel(|T|)\). By the Dimension Formula, this also means that\(\dim(\range(T)) = \dim(\range(|T|))\). Además, podemos definir una isometría\(S: \range(|T|) \to \range(T)\) configurando

\[ S( |T|v) = Tv. \]

El truco es ahora definir un operador unitario\(U\) en todos los de\(V\) tal manera que la restricción de\(U\) en el rango de\(|T|\) es\(S\), es decir,
\[ U|_{\range(|T|)} = S. \]

Tenga en cuenta que\(\kernel(|T|) \bot \range(|T|)\), es decir, para\(v\in \kernel(|T|)\) y\(w=|T|u \in \range(|T|)\),

\[ \inner{w}{v} = \inner{|T|u}{v} = \inner{u}{|T|v} = \inner{u}{0} = 0 \]

desde\(|T|\) is self-adjoint.

Escoger una base ortonormal\(e=(e_1,\ldots,e_m)\) de base\(\kernel(|T|)\) and an ortonormal\(f=(f_1,\ldots,f_m)\) de\((\range(T))^\bot\). Set \(\tilde{S} e_i = f_i\), and extend \(\tilde{S}\) to all of \(\kernel(|T|)\) by linearity. Since \(\kernel(|T|)\bot \range(|T|)\), any \(v\in V\) can be uniquely written as \(v=v_1+v_2\), where \(v_1\in \kernel(|T|)\) and \(v_2\in \range(|T|)\). Now define \(U:V\to V\) by setting \(Uv = \tilde{S} v_1 + S v_2\). Después la\(U\) is an isometría. Por otra parte, aplicación de\(U\) is also unitary, as shown by the following cálculo del teorema de Pitágoras:

\ begin {ecuación*}
\ comenzar {dividir}
\ norma {Uv} ^2 &=\ norma {\ tilde {S} v_1 + S v_2} ^2 =\ norma {\ tilde {S} v_1} ^2 +\ norma {S v_2} ^2\\
&=\ norma {v_1} ^2 +\ norma {v_2} ^2 =\ norma {v} ^2.
\ end {split}
\ end {ecuación*}

También, tenga en cuenta que\(U|T|=T\) by construction since \(U|_{\kernel(|T|)}\) is irrelevant.

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