12.4: Matrices y mapas lineales

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Como se discute en el Capítulo 1, la maquinaria del Álgebra Lineal puede ser utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales que involucran un número finito de incógnitas. Esta sección está dedicada a ilustrar cómo los mapas lineales son una de las herramientas más fundamentales para conocer las soluciones a dichos sistemas. Además, al involucrar estas funciones especiales, podemos trabajar en un
número arbitrariamente alto de dimensiones con poco más trabajo que el requerido para dos dimensiones.

A.4.1 La matriz canónica de un mapa lineal

Dejar\(m, n \in \mathbb{Z}_+\) ser enteros positivos. Entonces, dada una elección de bases para los espacios vectoriales\(\mathbb{F}^n\) y\(\mathbb{F}^m\), hay una dualidad entre matrices y mapas lineales. En otras palabras, como se discute en la Sección 6.6, cada mapa lineal en el conjunto corresponde de\(\cal{L} (\mathbb{F}^n , \mathbb{F}m ) \) manera única a exactamente una\(m \times n\) matriz en\(\mathbb{F}^{m \times n} \). Sin embargo, no se debe tomar esto en el sentido de que las matrices y los mapas lineales son ideas intercambiables o indistinguibles. Por sí misma, una matriz en el conjunto no\(\mathbb{F}^{m \times n} \) es más que una colección de mn escalares que se han dispuesto en forma rectangular. Es sólo cuando una matriz aparece como parte de algún contexto más amplio que la teoría de los mapas lineales se vuelve aplicable. En particular, uno puede obtener información sobre las soluciones de ecuaciones matriciales cuando la matriz coeciente se ve como la matriz asociada a un mapa lineal bajo una conveniente elección de bases para\(\mathbb{F}^n\) y\(\mathbb{F}^m .\)

Dado un número entero positivo\(k \in\mathbb{Z}_+\),, una elección particularmente conveniente de base para\(\mathbb{F}^k\) es la llamada base estándar (también conocida como la base canónica)\(e_1 , e_2 , \ldots , e_k ,\) donde cada uno\(e_i\) es la\(k\) -tupla que tiene ceros para cada uno de sus componentes distintos de en el \(i^{\rm{th}}\)posición:

\[e_i = (0, 0, \ldots , 0, 1, 0, \ldots , 0). \\ ~~~~~ ~~~\uparrow \\ ~~~ ~~~~~i \]

Entonces, tomando los espacios vectoriales\(\mathbb{F}^n\) y\(\mathbb{F}^m\) bajo sus bases canónicas, decimos que la matriz\(A \in \mathbb{F}^{m \times n}\) asociada al mapa lineal\(T \in \cal{L} (\mathbb{F}^n , \mathbb{F}^m )\) es la matriz canónica por\(T.\) Una razón de esta elección de base es que nos da la fórmula particularmente agradable

\[T (x) = Ax, \forall x \in \mathbb{F}^n . \tag{A.4.1} \]

En otras palabras, se puede calcular la acción del mapa lineal sobre cualquier vector en\(\mathbb{F}^n\) simplemente multiplicando el vector por la matriz canónica asociada\(A.\) Hay muchas circunstancias en las que uno podría desear usar bases no estándar para cualquiera\(\mathbb{F}^n\) o\(\mathbb{F}^m\), pero el comercio es que la Ecuación (A.4.1) ya no se mantendrá como se indica. (Para modificar la Ecuación (A.4.1) para su uso con bases no estándar, es necesario usar vectores de coordenadas como se describe en el Capítulo 10.)

No se puede enfatizar demasiado la utilidad de la Ecuación (A.4.1). Para tener una idea de esto, considere una vez más la ecuación matricial genérica (Ecuación (A.1.3))

\[Ax = b,\]

que involucra una matriz dada\(A = (a_{ij} ) \in \mathbb{F}^{m \times n}\), un vector\(b \in \mathbb{F}^m\) dado y la\(n\) -tupla de incógnitas\(x\). Proporcionar una solución a esta ecuación significa proporcionar un vector\(x \in \mathbb{F}^n\) para el cual el producto de la matriz\(Ax\) es exactamente el vector\(b\). A la luz de la Ecuación (A.4.1), la cuestión de si\(x \in \mathbb{F}^n\) existe tal vector equivale a preguntar si el vector\(b\) está o no en el rango del mapa lineal\(T\).

Si bien la codificación del Sistema (A.1.1) en la Ecuación (A.1.3) podría considerarse una cuestión de mera equívoco notacional, la reinterpretación anterior de la Ecuación (A.1.3) utilizando mapas lineales es un cambio genuino de punto de vista. Resolver System (12.3) (y por lo tanto la Ecuación (12.5)) esencialmente equivale a comprender cómo m objetos distintos interactúan en un espacio ambiental que tiene\(n\) -dimensiones. (En particular, las soluciones al Sistema (A.1.1) corresponden a los puntos de intersección de\(m\) hiperplanos en\(\mathbb{F}^n\).) Por otro lado, las preguntas sobre un mapa lineal implican genuinamente comprender un solo objeto, es decir, el mapa lineal mismo. Tal punto de vista es a la vez extremadamente flexible y extremadamente fructífero, como ilustramos en la siguiente sección.

A.4.2 Uso de mapas lineales para resolver sistemas lineales

Codificar un sistema lineal como una ecuación matricial es más que un simple truco de notación. Quizás lo más fundamental es que el punto de vista del mapa lineal resultante se pueda usar para proporcionar una visión incomparable de la estructura exacta de las soluciones al sistema lineal original. (En general, cuanto más se pueda decir con absoluta certeza a la hora de resolver un problema, mejor.) Esto lo ilustramos en la siguiente serie de ejemplos revisados.

Ejemplo A.4.1. Considere el siguiente sistema lineal no homogéneo del Ejemplo 1.2.1:

\[ \left. \begin{array}{ccccc} 2x_1 &+ &x_2& =& 0 \\ x_1& -& x_2 &=& 1 \end{array} \right\}, \]

donde\(x_1\) y\(x_2\) se desconocen los números reales. Para resolver este sistema, podemos primero formar la matriz\(A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\) y el vector de columna de\(b \in \mathbb{R}^2 \) tal manera que

\[ A\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]= b, \]

En otras palabras, hemos reinterpretado resolver el sistema lineal original como preguntar cuándo el vector de columna

\[ \left[ \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} 2x_1+x_2 \\ x_1-x_2 \end{array} \right] \]

es igual al vector de columna\(b\). Equivalentemente, esto corresponde a preguntar qué vector de entrada da como resultado\(b\) ser un elemento del rango del\(T : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\) mapa lineal definido por

\[ T\left( \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right]\right )= \left[ \begin{array}{c} 2x_1+x_2 \\ x_1-x_2 \end{array} \right]. \]

Más precisamente,\(T\) es el mapa lineal que tiene matriz canónica\(A.\)

Debe quedar claro que\(b\) está en el rango de\(T\), ya que, a partir del Ejemplo 1.2.1,

\[ T\left( \left[ \begin{array}{c} 1/3 \\ -2/3 \end{array} \right]\right )= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]. \]

Además, tenga en cuenta que\(T\) es una función a biyectiva. (Esto se puede probar, por ejemplo, al señalar que la matriz canónica\(A\) para\(T\) es invertible.) Dado que\(T\) es biyectiva, esto significa que

\[ x= \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{c} 1/3 \\ -2/3 \end{array} \right] \]

es el único vector de entrada posible que puede dar como resultado el vector de salida\(b\), por lo que hemos comprobado que\(x\) es la solución única para el sistema lineal original. Además, esta técnica puede generalizarse trivialmente a cualquier número de ecuaciones.

Ejemplo A.4.2. Considere la matriz\(A\) y los vectores de columna\(x\) y\(b\) del Ejemplo A.3.5:

\[ A= \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 5 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 8 \end{array} \right],x= \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right], \rm{~and~} b= \left[ \begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ 9 \end{array} \right]. \]

Aquí, preguntar si la ecuación matricial\(Ax = b\) tiene una solución corresponde equivale a preguntar si\(b\) es un elemento del rango del\(T : \mathbb{F}^3 \rightarrow \mathbb{F}^3\) mapa lineal definido por

\[ T\left( \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array} \right]\right )= \left[ \begin{array}{c} 2x_1+5x_2+3x_3 \\ x_1+2x_2 +3x_3\\ 2x_1+8x_3\end{array} \right]. \]

Para responder a esta pregunta correspondiente respecto al rango de\(T\), echamos un vistazo más de cerca a la siguiente expresión obtenida en el Ejemplo A.3.5:

\[A = E_0^{-1} E_1^{-1} \cdots E_7^{-1} ,\]

Aquí, hemos factorizado\(A\) en el producto de ocho matrices elementales. Desde el punto de vista del mapa lineal, esto significa que se pueden aplicar los resultados de la Sección 6.6 para obtener la factorización

\[T = S_0 \circ S_1 \circ \cdots \circ S_7 ,\]

donde\(S_i\) está el mapa lineal (invertible) que tiene matriz canónica\(E_i^{-1}\) para\(i = 0, \ldots , 7.\)

Esta factorización del mapa lineal\(T\) en una composición de mapas lineales invertibles implica además que\(T\) en sí mismo es invertible. En particular,\(T\) es suryectiva, y así b debe ser un elemento del rango de\(T\). Además, también\(T\) es inyectivo, y así b tiene exactamente una pre-imagen. Así, la solución que se encontró\(Ax = b\) en el Ejemplo A.3.5 es única.

En los ejemplos anteriores, se utilizó la bijectividad de un mapa lineal para demostrar la singularidad de las soluciones a los sistemas lineales. Como se discute en la Sección A.3, sin embargo, muchos sistemas lineales que no tienen soluciones únicas. En cambio, hay exactamente otras dos posibilidades:
si un sistema lineal no tiene una solución única, entonces o no tendrá solución o tendrá indefinidamente muchas soluciones. Fundamentalmente, esto se debe a que encontrar soluciones a un sistema lineal equivale a describir la pre-imagen (también conocida como pullback) de un elemento en el codominio de un mapa lineal.

En particular, con base en la discusión en la Sección A.3.2, debe quedar claro que resolver un sistema lineal homogéneo corresponde a describir el espacio nulo de algún mapa lineal correspondiente. En otras palabras, dada cualquier matriz\(A \in \mathbb{F}^{m \times n}\), encontrar el espacio de solución\(N\) a la ecuación matricial\(Ax = 0\) (como se define en la Sección A.3.2) es lo mismo que encontrar\(null(T ),\) dónde\(T \in \cal{L} (\mathbb{F}^n , \mathbb{F}^m )\) está el mapa lineal que tiene matriz canónica\(A\). (Recordemos de la Sección 6.2 que\(null(T )\) es un subespacio de\(\mathbb{F}^n .)\) Así, el hecho de que cada sistema lineal homogéneo tenga la solución trivial entonces es equivalente al hecho de que la imagen del vector cero bajo cualquier mapa lineal siempre da como resultado el vector cero, y determinar si el trivial solución es única se puede ver como una cuestión de dimensionalidad sobre el espacio nulo de un mapa lineal correspondiente.

Cerramos esta sección ilustrándolo, junto con el caso de los sistemas no homogéneos, en los siguientes ejemplos.

Ejemplo A.4.3. Los siguientes ejemplos utilizan las mismas matrices que en el Ejemplo A.3.10.

1. Considere la ecuación matricial\(Ax = b,\) donde\(A\) está la matriz dada por

\[ A= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \]

y\(b \in \mathbb{F}^4\) es un vector de columna. Aquí, preguntar si esta ecuación matricial tiene una solución corresponde a preguntar si\(b\) es un elemento del rango del\(T : \mathbb{F}^3 \rightarrow \mathbb{F}^4\) mapa lineal definido por

\[ T\left( \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array} \right]\right )= \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ 0\end{array} \right]. \]

Desde el punto de vista del mapa lineal, debe quedar sumamente claro que\(Ax = b\) tiene una solución si y sólo si el cuarto componente de\(b\) es cero. En particular, no\(T\) es suryectiva, por lo que\(Ax = b\) no puede tener una solución para cada elección posible de\(b\).

No obstante, también debe quedar claro que\(T\) es inyectivo, a partir del cual\(null(T ) = \{0\}.\) Así, cuando\(b = 0,\) la ecuación de matriz homogénea\(Ax = 0\) tiene sólo la solución trivial, y así podemos aplicar el Teorema A.3.12 con el fin de verificar que\(Ax = b\) tiene una solución única para cualquiera que\(b\) tenga cuarto componente igual a cero.

2. Considere la ecuación matricial\(Ax = b,\) donde\(A\) está la matriz dada por

\[ A= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \]

y\(b \in \mathbb{F}^4\) es un vector de columna. Aquí, preguntar si esta ecuación matricial tiene una solución corresponde a preguntar si b es un elemento del rango del mapa lineal\(T : \mathbb{F}^3 \rightarrow \mathbb{F}^4\) definido por

\[ T\left( \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array} \right]\right )= \left[ \begin{array}{c} x_1+x_3 \\ x_2+x_3 \\ 0 \\ 0\end{array} \right]. \]

Desde el punto de vista del mapa lineal, debe quedar sumamente claro que\(Ax = b\) tiene una solución si y sólo si los componentes tercero y cuarto de\(b\) son cero. En particular,\(2 = dim(range (T )) < dim(\mathbb{F}^4 ) = 4\) por lo que\(T\) no puede ser suryectiva, y así\(Ax = b\) no puede tener una solución para cada elección posible de\(b.\)

Además, también debe quedar claro que no\(T\) es inyectivo. Por ejemplo,

\[ T\left( \left[ \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 1\end{array} \right]\right )= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{array} \right]. \]

Así,\(\{0\} \subsetneq null(T ),\) y así la ecuación de matriz homogénea necesariamente\(Ax = 0\) tendrá indefinidamente muchas soluciones ya que\(dim(null(T )) > 0.\) Usando la Fórmula Dimensional,

\[dim(null(T )) = dim(\mathbb{F}^3 ) - dim(range (T )) = 3 - 2 = 1,\]

y así el espacio de solución para\(Ax = 0\) es un subespacio unidimensional de\(\mathbb{F}^3 \). Además, al aplicar el Teorema A.3.12, vemos que eso también\(Ax = b\) debe tener infinamente muchas soluciones para cualquiera\(b\) que tenga tercer y cuarto componentes iguales a cero.

3. Considere la ecuación matricial\(Ax = b,\) donde\(A\) está la matriz dada por

\[ A= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]. \]

y\(b \in \mathbb{F}^3\) es un vector de columna. Aquí, preguntar si esta ecuación matricial tiene una solución
corresponde a preguntar si\(b\) es un elemento del rango del\(T : \mathbb{F}^3 \rightarrow \mathbb{F}^3\) mapa lineal definido por

\[ T\left( \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array} \right]\right )= \left[ \begin{array}{c} x_1+x_2+x_3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]. \]

Desde el punto de vista del mapa lineal, debe quedar sumamente claro que\(Ax = b\) tiene una solución si y sólo si el segundo y tercer componentes de\(b\) son cero. En particular,\(1 = dim(range (T )) < dim(\mathbb{F}^3 ) = 3\) por lo que\(T\) no puede ser suryectiva, y así\(Ax = b\) no puede tener una solución para cada elección posible de\(b.\)

Además, también debe quedar claro que no\(T\) es inyectivo. Por ejemplo,

\[ T\left( \left[ \begin{array}{c} 1/2 \\ 1/2 \\ -1\end{array} \right]\right )= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right]. \]

Así,\(\{0\} \subsetneq ( null(T),\) y así la ecuación de matriz homogénea necesariamente\(Ax = 0\) tendrá indefinidamente muchas soluciones ya que\(dim(null(T )) > 0.\) Usando la Fórmula Dimensional,

\[dim(null(T )) = dim(\mathbb{F}^3 ) - dim(range (T )) = 3 - 1 = 2,\]

y así el espacio de solución para\(Ax = 0\) es un subespacio bidimensional de\(\mathbb{F}^3 .\) Por otra parte, al aplicar el Teorema A.3.12, vemos que entonces también\(Ax = b\) debe tener infinitamente muchas soluciones para cualquiera\(b\) que tenga segundo y tercer componentes iguales a cero.

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