12.5: Operaciones especiales sobre matrices

En esta sección, definimos tres operaciones importantes sobre matrices llamadas transposición, transposición conjugada y traza. Entonces se verá que éstas interactúan con la multiplicación de matrices y la invertibilidad para formar clases especiales de matrices que son extremadamente importantes para las aplicaciones del Álgebra Lineal.

A.5.1 Transposición y transposición conjugada

Dados enteros positivos\(m, n \in \mathbb{Z}_+\) y cualquier matriz\(A = (a_{ij} ) \in \mathbb{F}^{m \times n} ,\) definimos la transposición\(A^T = ((a^T )_{ij} ) \in \mathbb{F}^{n \times m}\) y la conjugada transposición\(A^{\ast} = ((a^{\ast} )_{ij} ) \in \mathbb{F}^{n \times m}\) por

\[(a^T )_{ij} = a_{ji} \rm{~and~} (a^{\ast} )_{ij} = \overline{a_{ji}} , \]

donde\(\overline{a_{ji}}\) denota el conjugado complejo del escalar\(a_{ji} \in \mathbb{F}.\) En particular, si\(A \in \mathbb{R}^{m \times n} \), entonces tenga en cuenta que\(A^T = A^{\ast} .\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Con notación como en el Ejemplo A.1.3,

\[ A^T= \left[ \begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \end{array} \right],B^T=\left[ \begin{array}{cc} 4 & 0 \\ -1 & 2 \end{array} \right], C^T = \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right],\\ D^T= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 3 \\ 5 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 4 \end{array} \right], E^T = \left[ \begin{array}{ccc} 6 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \\3 & 2 & 3 \end{array} \right]. \]

Una de las motivaciones para definir las operaciones de transposición y transposición conjugada es que interactúan con las operaciones aritméticas habituales sobre matrices de manera natural. Resumimos la más fundamental de estas interacciones en el siguiente teorema.

Teorema A.5.2. Dados enteros positivos\(m, n \in \mathbb{Z}_+\) y cualquier matriz\(A, B \in \mathbb{F}^{m \times n} ,\)

1. \((A^T )^T = A {\it{~and~}} (A^{\ast} )^{\ast} = A.\)
2. \((A + B)^T = A^T + B^T {\it{~and~}} (A + B)^{\ast} = A^{\ast} + B^{\ast} .\)
3. \((\alpha A)^T = \alpha A^T {\it{~and~}} (\alpha A)^{\ast} = \alpha A^{\ast} ,\)donde\(\alpha \in \mathbb{F}\) está cualquier escalar.
4. \((AB)^T = B^T A^T .\)
5. si\(m = n\) y\(A \in GL(n, \mathbb{F})\), entonces\(A^T , A^* \in GL(n, \mathbb{F})\) con respectivas inversas dadas por

\[(A^T )^{-1} = (A^{-1} )^T {\it{~and~}} (A^* )^{-1} = (A^{-1} )^* .\]

Otra motivación para definir las operaciones de transposición y transposición conjugada es que nos permiten definir varias clases muy especiales de matrices.

Definición A.5.3. Dado un entero positivo\(n \in \mathbb{Z}_+\), decimos que la matriz cuadrada\(A \in \mathbb{F}^{n \times n}\)

1. es simétrico si\(A = A^T .\)
2. es hermitiano si\(A = A^* .\)
3. es ortogonal si\(A \in GL(n, \mathbb{R})\) y\(A^{-1} = A^T .\) Además, definimos que el grupo ortogonal (real) es el conjunto\(O(n) = \{A \in GL(n, \mathbb{R})~ |~ A^{-1} = A^T \}.\)
4. es unitario si\(A \in GL(n, \mathbb{C})\) y\(A^{-1} = A^* \). Además, definimos el (complejo)

grupo unitario para ser el conjunto\(U(n) = \{A \in GL(n, \mathbb{C}) ~|~ A^{-1 }= A^* \}.\)
Se puede decir mucho de estas clases de matrices. Ambos\(O(n)\) y\(U(n)\), por ejemplo, forman un grupo bajo multiplicación matricial. Adicionalmente, las matrices hermitianas simétricas y complejas reales siempre tienen valores propios reales. Además, dada cualquier matriz\(A \in \mathbb{R}^{m \times n} , AA^T\) es una matriz simétrica con valores propios reales no negativos. Del mismo modo, for\(A \in \mathbb{C}^{m \times n} , AA^*\) es hermitiano con valores propios reales, no negativos.

A.5.2 El rastro de una matriz cuadrada

Dado un entero positivo\(n \in \mathbb{Z}_+\) y cualquier matriz cuadrada\(A = (a_{ij} ) \in \mathbb{F}^{n \times n} ,\) definimos que el rastro\(A\) de sea el escalar

\[trace(A) = \sum_{k=1}^n a_{kk} \in \mathbb{F}.\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Con la notación como en el Ejemplo A.1.3 anterior,

\[trace(B) = 4 + 2 = 6, trace(D) = 1 + 0 + 4 = 5, {\it{~and~}} trace(E) = 6 + 1 + 3 = 10.\]

Obsérvese, en particular, que las huellas de\(A\) y no\(C\) son definidas ya que éstas no son matrices cuadradas.

Resumimos algunas de las propiedades más básicas de la operación de rastreo en el siguiente teorema, incluyendo su conexión con las operaciones de transposición definidas en la sección anterior.

Teorema A.5.5. Dados enteros positivos\(m, n \in \mathbb{Z}_+\) y matrices cuadradas\(A, B \in \mathbb{F}^{n \times n} ,\)

1. \(trace(\alpha A) = \alpha trace(A),\)para cualquier escalar\(\alpha \in \mathbb{F}.\)
2. \(trace(A + B) = trace(A) + trace(B).\)
3. \(trace(A^T ) = trace(A) {\it{~and~}} trace(A^* ) = \overline{trace(A)}.\)
4. \(trace(AA^* ) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} |a_{kl} |^2 \). En particular,\(trace(AA^* ) = 0\) si y sólo si\(A = 0^{n \times n}\).
5. \(trace(AB) = trace(BA).\)Más generalmente, dadas las matrices\(A_1 , \ldots , A_m \in \mathbb{F}^{n \times n} ,\) la operación de rastreo tiene la llamada propiedad cíclica, lo que significa que\[trace(A_1 \cdots A_m ) = trace(A_2 \cdots A_m A_1 ) = \cdots = trace(A_m A_1 \cdots A_{m-1} ).\]

Además, si definimos un mapa lineal\(T : \mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}^n\) estableciendo\(T (v) = Av\) para cada uno\(v \in \mathbb{F}^n\) y si\(T\) tiene valores propios distintos\(\lambda_1 , \ldots , \lambda_n \), entonces\(trace(A) = \sum_{k=1}^n \lambda_{k} .\)

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