8.3: La Expansión de Fracción Parcial del Resolvent

Expansión de fracción parcial de la función de transferencia

El método Gauss-Jordan nos informa que\(R\) será una matriz de funciones racionales con un denominador común. De acuerdo con la notación de los capítulos anteriores, asumimos que el denominador tiene las raíces\(h\) distintas,\(\{\lambda_{j} | j = \{1, \cdots, h\}\}\) con multiplicidades asociadas\(\{m_{j} | j = \{1, \cdots, h\}\}\)

Ahora, ensamblando las expansiones de fracción parcial de cada elemento de\(R\) llegamos a

\[R(s) = \sum_{j = 1}^{h} \sum_{k=1}^{m_{j}} \frac{R_{j,k}}{(s-\lambda_{j})^k} \nonumber\]

donde, recordando la ecuación del Teorema de Cauchy, la matriz\(R_{j,k}\) es igual a lo siguiente:

\[R_{j,k} = \frac{1}{2\pi j} \int R(z)(z-\lambda_{j})^{k-1} dz \nonumber\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Al mirar este ejemplo en la introducción, encontramos

\[\begin{array}{ccc} {R_{1,1} = \begin{pmatrix} {1}&{0}&{0}\\ {0}&{1}&{0}\\ {0}&{0}&{0} \end{pmatrix}}&{R_{1,1} = \begin{pmatrix} {0}&{0}&{0}\\ {1}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0} \end{pmatrix}}&{R_{2,1} = \begin{pmatrix} {0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{0}\\ {0}&{0}&{1} \end{pmatrix}} \end{array} \nonumber\]

Se nota de inmediato que estas matrices disfrutan de algunas propiedades increíbles. Por ejemplo

\[\begin{array}{ccccc} {R_{1,1}^{2} = R_{1,1}}&{R_{1,2}^{2} = R_{1,2}}&{R_{1,1} R_{2,1} = 0}&{and}&{R_{2,1}^{2} = R_{2,1}} \end{array} \nonumber\]

A continuación ahora mostraremos que esto no es un accidente. Como consecuencia de la Ecuación y la primera identidad resolutiva, encontraremos que estos resultados son ciertos en general.

\(R_{j,1}^{2} = R_{j,1}\)como se ha visto anteriormente.

Recordemos que la\(C_{j}\) aparición en Ecuación es cualquier círculo sobre el\(\lambda_{j}\) que ni toca ni circunda ninguna otra raíz. Supongamos que\(C_{j}\) y\(C_{j}'\) son dos de esos círculos y\(C_{j}'\) encierra\(C_{j}\). Ahora,

\[R_{j,1} = \frac{1}{2\pi j} \int R(z) dz = \frac{1}{2\pi j} \int R(z) dz \nonumber\]

y así

\[R_{j,1}^2 = \frac{1}{(2\pi j)^2} \int R(z) dz = \frac{1}{2\pi j} \int R(w) dw \nonumber\]

\[R_{j,1}^2 = \frac{1}{(2\pi j)^2} \int \int R(z) R(w) dw dz \nonumber\]

\[R_{j,1}^2 = \frac{1}{(2\pi j)^2} \int \int \frac{R(z)-R(w)}{w-z} dw dz \nonumber\]

\[R_{j,1}^2 = \frac{1}{(2\pi j)^2} (\int R(z)- \int \frac{1}{w-z} dw dz - \int R(w)- \int \frac{1}{w-z} dz dw) \nonumber\]

\[R_{j,1}^2 = \frac{1}{2\pi i} \int R(z) dz = R_{j,1} \nonumber\]

Se utilizó la primera identidad resolvente, Esta ecuación de Función de Transferencia, para pasar de la segunda a la tercera línea. Al pasar de la cuarta a la quinta usamos sólo

\[\int \frac{1}{w-z} dw = 2 \pi i \nonumber\]

y

\[\int \frac{1}{w-z} dz = 0 \nonumber\]

Este último se integra a cero porque\(C_{j}\) no circunda ww

A partir de la definición de proyecciones ortogonales, que establece que las matrices que igualan sus cuadrados son proyecciones, adoptamos la abreviatura

\[P_{j} \equiv R_{j,1} \nonumber\]

Con respecto al producto\(P_{j}P_{k}\), para\(j \ne k\), el cálculo corre en las mismas líneas. La diferencia viene en Ecuación donde, como\(C_{j}\) yace completamente fuera de\(C_{k}\), ambas integrales son cero. Por lo tanto,

Si\(j \ne k\) entonces\(P_{j}P_{k} = 0\)

En la misma línea definimos

\[D_{j} \equiv R_{j,2} \nonumber\]

y probar

Si\(1 \le k \le m_{j}-1\) entonces\(D_{j}^{k} = R_{j,k+1}\)\ cdot D_ {j} ^ {m_ {j}} = 0\)

Para\(k\) y\(l\) mayor o igual a uno,

\[R_{j,k+1} R_{j,l+1} = \frac{1}{(2\pi i)^2} \int R(z)(z-\lambda_{j})^{k} dz \int R(w)(w-\lambda_{j})^{l} dw \nonumber\]

\[R_{j,k+1} R_{j,l+1} = \frac{1}{(2\pi i)^2} \int \int R(z) R(w)(z-\lambda_{j})^{k} (w-\lambda_{j})^{l} dw dz \nonumber\]

\[R_{j,k+1} R_{j,l+1} = \frac{1}{(2\pi i)^2} \int \int \frac{R(z)-R(w)}{w-z} (z-\lambda_{j})^{k} (w-\lambda_{j})^{l} dw dz \nonumber\]

\[R_{j,k+1} R_{j,l+1} = \frac{1}{(2\pi i)^2} \int R(z) (z-\lambda_{j})^{k} \int \frac{(w-\lambda_{j})^{l}}{w-z} dw dz-\frac{1}{(2\pi i)^2} \int R(w) (w-\lambda_{j})^{k} \int \frac{(z-\lambda_{j})^{k}}{w-z} dz dw \nonumber\]

\[R_{j,k+1} R_{j,l+1} = \frac{1}{2\pi i} \int R(z) (z-\lambda_{j})^{k+l} dz = R_{j,k+l+1} \nonumber\]

porque

\[\int \frac{(w-\lambda_{j})^{l}}{w-z} dw = 2 \pi i (z-\lambda_{j})^{l} \nonumber\]

y

\[\int \frac{(z-\lambda_{j})^{k}}{w-z} dw = 0 \nonumber\]

Con\(k = l = 1\) hemos mostrado\(R_{j,2}^{2} = R_{j,3}\) i.e\(D_{j}^{2} = R_{j,3}\).,. De igual manera, con\(k = 1\) y\(l = 2\) encontramos\(R_{j,2} R_{j,3} = R_{j,4}\) i.e\(D_{j}^{3} = R_{j,4}\).,. Continuando en esta moda nos encontramos\(R_{j,k} R_{j,k+1} = R_{j,k+2} = j\), o\(D_{j}^{k+1} = R_{j,k+2}\). Por último, en\(k = m_{j-1}\) esto se convierte

\[D_{j}^{m_{j}} = R_{j, m_{j}+1} = \frac{1}{2\pi i} \int R(z)(z-\lambda_{j})^{m_{j}} dz = 0 \nonumber\]

por el Teorema de Cauchy.

Con esto ahora tenemos la buscada expansión

\[R(z) = \sum_{j = 1}^{h} \frac{1}{z-\lambda_{j}} P_{j}+\sum_{k = 1}^{m_{j-1}} \frac{1}{(z-\lambda_{j})^{k+1}} D_{j}^{k} \nonumber\]

junto con la verificación de una serie de las propiedades establecidas en Ecuaciones de Integración Compleja.