8.5: El problema del valor propio- Ejemplos
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\[B = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {-1}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]
recordamos, ver Teorema de Cauchy, que
\[R(s) = \frac{1}{s^2+1} \begin{pmatrix} {s}&{-1}\\ {1}&{s} \end{pmatrix} \nonumber\]
\[R(s) = \frac{1}{s-i} \begin{pmatrix} {1/2}&{-i/2}\\ {i/2}&{1/2} \end{pmatrix}+\frac{1}{s+i} \begin{pmatrix} {1/2}&{i/2}\\ {-i/2}&{1/2} \end{pmatrix} \nonumber\]
\[R(s) = \frac{1}{s-\lambda_{1}} P_{1}+\frac{1}{s-\lambda_{2}} P_{2} \nonumber\]
y así
\[B = \lambda_{1}P_{1}+\lambda_{2}P_{2} = i \begin{pmatrix} {1/2}&{-i/2}\\ {i/2}&{1/2} \end{pmatrix}-i \begin{pmatrix} {1/2}&{i/2}\\ {-i/2}&{1/2} \end{pmatrix} \nonumber\]
De\(m_{1} = m_{2} = 1\) ello se deduce que\(\mathscr{R}(P_{1})\) y\(\mathscr{R}(P_{2})\) son espacios propios reales (a diferencia de generalizados). Estos espacios de columna se determinan fácilmente. En particular,\(\mathscr{R}(P_{1})\) es el lapso de
\[e_{1} = \begin{pmatrix} {1}\\ {i} \end{pmatrix} \nonumber\]
mientras que\(\mathscr{R}(P_{2})\) es el lapso de
\[e_{2} = \begin{pmatrix} {1}\\ {-i} \end{pmatrix} \nonumber\]
Para recapitular, a partir de la expansión parcial de la fracción se pueden leer las proyecciones de las cuales se pueden leer los vectores propios. La dirección inversa, produciendo proyecciones a partir de vectores propios, también vale la pena. Sacimos las bases para este paso en la discusión de Mínimos Cuadrados. En particular, esta ecuación de proyección de mínimos cuadrados estipula que
\[\begin{array}{ccc} {P_{1} = e_{1}(e_{1}^{T}e_{1})^{-1}e_{1}^{T}}&{and}&{P_{2} = e_{2}(e_{2}^{T}e_{2})^{-1}e_{2}^{T}} \end{array} \nonumber\]
Como\(e_{1}^{T}e_{1} = e_{1}^{T}e_{1} = 0\) estas fórmulas no pueden ser posiblemente correctas. Volviendo a la discusión de los mínimos cuadrados nos damos cuenta de que se trataba, quizás implícitamente, de suponer que todas las cantidades eran reales. En la raíz está la noción de la longitud de un vector complejo. No es la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de sus componentes sino la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de las magnitudes de sus componentes. Es decir, recordando que la magnitud de una cantidad compleja\(z\) es\(\sqrt{z\overline{z}}\)
\[\begin{array}{ccc} {(||e_{1}||)^2 \ne e_{1}^{T}e_{1}}&{rather}&{(||e_{1}||)^2 \ne \overline{e_{1}}^{T}e_{1}} \end{array} \nonumber\]
Sí, hemos tenido esta discusión antes, recordamos números complejos, vectores y matrices. El resultado de todo esto es que, cuando se trata de vectores y matrices complejos, se debe conjugar antes de cada transposición. Matlab (por supuesto) hace esto automáticamente, es decir, el 'símbolo conjuga y transpone simultáneamente. Usamos\(x^H\) para denotar 'transposición conjugada', es decir,
\[x^H \equiv \overline{x}^{T} \nonumber\]
Todo esto sugiere que las proyecciones deseadas son más probables
\[\begin{array}{ccc} {P_{1} = e_{1}(e_{1}^{H}e_{1})^{-1}e_{1}^{H}}&{and}&{P_{2} = e_{2}(e_{2}^{H}e_{2})^{-1}e_{2}^{H}} \end{array} \nonumber\]