3.1: Técnicas Básicas

Cofactores y 2 x 2 Determinantes

Resultados

1. Evaluar el determinante de una matriz cuadrada mediante operaciones de expansión de Laplace o de fila.
2. Demostrar los efectos que las operaciones de fila tienen sobre los determinantes.
3. Verifica lo siguiente:
   1. El determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes.
   2. El determinante de una matriz es igual al determinante de su transposición.

\(A\)Déjese ser una\(n\times n\) matriz. Es decir, que\(A\) sea una matriz cuadrada. El determinante de\(A\), denotado por\(\det \left( A\right)\) es un número muy importante que vamos a explorar a lo largo de esta sección.

Si\(A\) es una\(\times 2\) matriz 2, el determinante viene dado por la siguiente fórmula.

Definición\(\PageIndex{1}\): Determinant of a Two By Two Matrix

Vamos\(A=\left[ \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right] .\) Entonces\[\det \left( A\right) = ad-cb\nonumber \]

El determinante también se denota a menudo encerrando la matriz con dos líneas verticales. Así\[\det \left[ \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right] =\left| \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right| =ad - bc\nonumber \]

El siguiente es un ejemplo de encontrar el determinante de una\(2 \times 2\) matriz.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): A Two by Two Determinant

Buscar\(\det\left(A\right)\) para la matriz\(A = \left[ \begin{array}{rr} 2 & 4 \\ -1 & 6 \end{array} \right] .\)

Solución

De la definición\(\PageIndex{1}\),\[\det \left( A\right) = \left( 2\right) \left( 6\right) -\left( -1\right) \left( 4\right) = 12 + 4 = 16\nonumber \]

El\(2 \times 2\) determinante puede ser utilizado para encontrar el determinante de matrices más grandes. Ahora exploraremos cómo encontrar el determinante de una\(3 \times 3\) matriz, utilizando varias herramientas incluyendo el\(2 \times 2\) determinante.

Comenzamos con la siguiente definición.

Definición\(\PageIndex{2}\): The \(ij^{th}\) Minor of a Matrix

\(A\)Déjese ser una\(3\times 3\) matriz. El\(ij^{th}\) menor de\(A\), denotado como\(minor\left( A\right) _{ij},\) es el determinante de la\(2\times 2\) matriz que resulta de eliminar la\(i^{th}\) fila y la\(j^{th}\) columna de\(A\).

En general, si\(A\) es una\(n\times n\) matriz, entonces el\(ij^{th}\) menor de\(A\) es el determinante de la\(n-1 \times n-1\) matriz que resulta de eliminar la\(i^{th}\) fila y la\(j^{th}\) columna de \(A\).

De ahí que haya un menor asociado a cada entrada de\(A\). Consideremos el siguiente ejemplo que demuestra esta definición.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Finding Minors of a Matrix

Vamos\[A = \left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber \] Find\(minor\left( A\right) _{12}\) y\(minor\left( A\right) _{23}\).

Solución

Primero encontraremos\(minor\left( A\right) _{12}\). Por Definición\(\PageIndex{2}\), este es el determinante de la\(2\times 2\) matriz que resulta al eliminar la primera fila y la segunda columna. Este menor se da por\[minor \left(A\right)_{12} = \det \left[ \begin{array}{rr} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} \right]\nonumber \] Usando Definición\(\PageIndex{1}\), vemos que\[\det \left[ \begin{array}{rr} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} \right] = \left(4\right)\left(1\right) - \left(3\right)\left(2\right) = 4 - 6 = -2\nonumber\]

Por lo tanto\(minor \left(A\right)_{12} = -2\).

Del mismo modo,\(minor\left(A\right)_{23}\) es el determinante de la\(2\times 2\) matriz que resulta al eliminar la segunda fila y la tercera columna. Este menor es por lo tanto\[minor \left(A\right)_{23} = \det \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} \right] = -4\nonumber \] Encontrar a los otros menores de\(A\) se deja como ejercicio.

El\(ij^{th}\) menor de una matriz\(A\) se utiliza en otra definición importante, dada a continuación.

Definición\(\PageIndex{3}\): The \(ij^{th}\) Cofactor of a Matrix

Supongamos que\(A\) es una\(n\times n\) matriz. El\(ij^{th}\) cofactor, denotado por\(\mathrm{cof}\left( A\right) _{ij}\) se define como\[\mathrm{cof}\left( A\right) _{ij} = \left( -1\right) ^{i+j} minor\left(A\right)_{ij}\nonumber \]

También es conveniente referirse al cofactor de una entrada de una matriz de la siguiente manera. Si\(a_{ij}\) es la\(ij^{th}\) entrada de la matriz, entonces su cofactor es solo\(\mathrm{cof}\left( A\right) _{ij}.\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Finding Cofactors of a Matrix

Considera la matriz\[A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber \] Encontrar\(\mathrm{cof}\left( A\right) _{12}\) y\(\mathrm{cof}\left( A\right) _{23}\).

Solución

Usaremos Definición\(\PageIndex{3}\) para calcular estos cofactores.

Primero, vamos a calcular\(\mathrm{cof}\left( A\right) _{12}\). Por lo tanto, necesitamos encontrar\(minor\left(A\right)_{12}\). Este es el determinante de la\(2\times 2\) matriz que resulta al eliminar la primera fila y la segunda columna. Así\(minor\left(A\right)_{12}\) lo da\[\det \left[ \begin{array}{rr} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array} \right] = -2\nonumber \] Entonces,\[\mathrm{cof}\left( A\right) _{12}=\left( -1\right) ^{1+2} minor\left(A\right)_{12} =\left( -1\right) ^{1+2}\left( -2\right) =2\nonumber \] Por lo tanto,\(\mathrm{cof}\left( A\right) _{12}=2\).

De igual manera, podemos encontrar\(\mathrm{cof}\left( A\right) _{23}\). Primero, find\(minor\left(A\right)_{23}\), que es el determinante de la\(2\times 2\) matriz que resulta al eliminar la segunda fila y la tercera columna. Esta menor es, por lo\[\det \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} \right] = -4\nonumber \] tanto,\[\mathrm{cof}\left( A\right) _{23}=\left( -1\right) ^{2+3} minor\left(A\right)_{23} =\left( -1\right) ^{2+3}\left( -4\right) =4\nonumber \]

Es posible que desee encontrar los cofactores restantes para la matriz anterior. Recuerda que hay un cofactor por cada entrada en la matriz.

Ahora hemos establecido las herramientas que necesitamos para encontrar el determinante de una\(3 \times3\) matriz.

Definición\(\PageIndex{4}\): The Determinant of a Three By Three Matrix

\(A\)Déjese ser una\(3\times 3\) matriz. Después,\(\det \left(A\right)\) se calcula escogiendo una fila (o columna) y tomando el producto de cada entrada en esa fila (columna) con su cofactor y sumando estos productos juntos.

Este proceso cuando se aplica a la\(i^{th}\) fila (columna) se conoce como expansión a lo largo de la\(i^{th}\) fila (columna) como viene dado por\[\det \left(A\right) = a_{i1}\mathrm{cof}(A)_{i1} + a_{i2}\mathrm{cof}(A)_{i2} + a_{i3}\mathrm{cof}(A)_{i3}\nonumber \]

Al calcular el determinante, puede optar por expandir cualquier fila o cualquier columna. Independientemente de su elección, siempre obtendrá el mismo número que es el determinante de la matriz\(A.\) Este método de evaluar un determinante expandiendo a lo largo de una fila o una columna se llama Expansión de Laplace o Expansión de cofactor.

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Finding the Determinant of a Three by Three Matrix

Let\[A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber \] Find\(\det\left(A\right)\) usando el método de Laplace Expansion.

Solución

Primero, calcularemos\(\det \left(A\right)\) expandiéndonos a lo largo de la primera columna. Usando Definición\(\PageIndex{4}\), tomamos el\(1\) en la primera columna y lo multiplicamos por su cofactor,\[1 \left( -1\right) ^{1+1}\left| \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right| = (1)(1)(-1) = -1\nonumber \] De igual manera, tomamos el\(4\) en la primera columna y lo multiplicamos por su cofactor, así como con el\(3\) en la primera columna. Por último, sumamos estos números juntos, como se da en la siguiente ecuación. \[\det \left(A\right) = 1 \overset{ \mathrm{cof}\left( A\right) _{11}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{1+1}\left| \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right| }}+4 \overset{\mathrm{cof}\left( A\right) _{21}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{2+1}\left| \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} \right| }}+3 \overset{\mathrm{cof}\left( A\right) _{31}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{3+1}\left| \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 3 & 2 \end{array} \right| }}\nonumber \]Calculando cada uno de estos, obtenemos\[\det \left(A\right) = 1 \left(1\right)\left(-1\right) + 4 \left(-1\right)\left(-4\right) + 3 \left(1\right)\left(-5\right) = -1 + 16 + -15 = 0\nonumber \] De ahí,\(\det\left(A\right) = 0\).

Como se menciona en Definición\(\PageIndex{4}\), podemos optar por expandirnos a lo largo de cualquier fila o columna. Intentemos ahora expandiéndonos a lo largo de la segunda fila. Aquí, tomamos el\(4\) en la segunda fila y lo multiplicamos a su cofactor, luego agregamos esto al\(3\) en la segunda fila multiplicado por su cofactor, y el\(2\) en la segunda fila multiplicado por su cofactor. El cálculo es el siguiente. \[\det \left(A\right) = 4 \overset{\mathrm{cof}\left( A\right) _{21}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{2+1}\left| \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} \right| }}+3 \overset{\mathrm{cof}\left( A\right) _{22}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{2+2}\left| \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array} \right| }}+2 \overset{\mathrm{cof}\left( A\right) _{23}}{\overbrace{\left( -1\right) ^{2+3}\left| \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{array} \right| }}\nonumber \]

Calculando cada uno de estos productos, obtenemos\[\det \left(A\right) = 4\left(-1\right)\left(-2\right) + 3\left(1\right)\left(-8\right) + 2 \left(-1\right)\left(-4\right) = 0\nonumber \]

Se puede ver que para ambos métodos, obtuvimos\(\det \left(A\right) = 0\).

Como se mencionó anteriormente, siempre se nos ocurrirá el mismo valor para\(\det \left(A\right)\) independientemente de la fila o columna que elijamos expandir. Debe intentar calcular el determinante anterior expandiéndolo a lo largo de otras filas y columnas. Esta es una buena manera de revisar tu trabajo, ¡porque debes llegar al mismo número cada vez!

Presentamos esta idea formalmente en el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{1}\): The Determinant is Well Defined

Expandir la\(n\times n\) matriz a lo largo de cualquier fila o columna siempre da la misma respuesta, que es el determinante.

Ahora hemos mirado el determinante de\(2 \times 2\) y\(3 \times 3\) las matrices. Resulta que el método utilizado para calcular el determinante de una\(3 \times 3\) matriz puede ser utilizado para calcular el determinante de cualquier matriz de tamaño. Observe que Definición\(\PageIndex{2}\), Definición\(\PageIndex{3}\) y Definición se\(\PageIndex{4}\) pueden aplicar a una matriz de cualquier tamaño.

Por ejemplo, el\(ij^{th}\) menor de una\(4 \times 4\) matriz es el determinante de la\(3 \times 3\) matriz que obtienes cuando eliminas la\(i^{th}\) fila y la\(j^{th}\) columna. Al igual que con el\(3 \times 3\) determinante, podemos calcular el determinante de una\(4 \times 4\) matriz por Laplace Expansion, a lo largo de cualquier fila o columna

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): Determinant of a Four by Four Matrix

Encuentra\(\det \left( A\right)\) dónde\[A=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 3 & 2 \end{array} \right]\nonumber \]

Solución

Como en el caso de una\(3\times 3\) matriz, puede expandirla a lo largo de cualquier fila o columna. Vamos a escoger la tercera columna. Luego, usando Laplace Expansion,\[\det \left( A\right) = 3\left( -1\right) ^{1+3}\left\vert \begin{array}{rrr} 5 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 3 & 4 & 2 \end{array} \right\vert +2\left( -1\right) ^{2+3}\left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ 3 & 4 & 2 \end{array} \right\vert +\nonumber \]\[4\left( -1\right) ^{3+3}\left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 5 & 4 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \end{array} \right\vert +3\left( -1\right) ^{4+3}\left\vert \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 4 \\ 5 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \end{array} \right\vert\nonumber \]

Ahora, puedes calcular cada\(3 \times 3\) determinante usando Laplace Expansion, como hicimos anteriormente. Debes completar estos como un ejercicio y verificarlo\(\det \left( A \right)= -12\).

A continuación se proporciona una definición formal para el determinante de una\(n \times n\) matriz. Tal vez desee tomarse un momento y considerar las definiciones\(2 \times 2\) y\(3 \times 3\) determinantes anteriores en el contexto de esta definición.

Definición\(\PageIndex{5}\): The Determinant of an \(n\times n\) Matrix

Dejar\(A\) ser una\(n\times n\) matriz donde\(n\geq 2\) y supongamos que se\(\left( n-1\right) \times \left( n-1\right)\) ha definido el determinante de una. Entonces\[\det \left( A\right) =\sum_{j=1}^{n}a_{ij}\mathrm{cof}\left( A\right) _{ij}=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}\mathrm{cof}\left( A\right) _{ij}\nonumber \] La primera fórmula consiste en expandir el determinante a lo largo de la\(i^{th}\) fila y la segunda expande el determinante a lo largo de la\(j^{th}\) columna.

En las siguientes secciones, exploraremos algunas propiedades y características importantes del determinante.

El Determinante de una Matriz Triangular

Existe cierto tipo de matriz para la cual encontrar el determinante es un procedimiento muy sencillo. Considera la siguiente definición.

Definición\(\PageIndex{6}\): Triangular Matrices

Una matriz\(A\) es triangular superior si\(a_{ij}=0\) siempre\(i>j\). Así las entradas de tal matriz por debajo de la diagonal principal son iguales\(0\), como se muestra. Aquí,\(\ast\) se refiere a cualquier número distinto de cero. \[ \left[ \begin{array}{cccc} \ast & \ast & \cdots & \ast \\ 0 & \ast & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ast \\ 0 & \cdots & 0 & \ast \end{array} \right]\nonumber \]Una matriz triangular inferior se define de manera similar como una matriz para la cual todas las entradas por encima de la diagonal principal son iguales a cero.

El siguiente teorema proporciona una manera útil de calcular el determinante de una matriz triangular.

Teorema\(\PageIndex{2}\): Determinant of a Triangular Matrix

Dejar\(A\) ser una matriz triangular superior o inferior. Después\(\det \left( A\right)\) se obtiene tomando el producto de las entradas en la diagonal principal.

La verificación de este Teorema se puede hacer calculando el determinante usando Laplace Expansion a lo largo de la primera fila o columna.

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Determinant of a Triangular Matrix

Let\[A=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 2 & 3 & 77 \\ 0 & 2 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 3 & 33.7 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} \right]\nonumber \] Find\(\det \left( A\right) .\)

Solución

Del Teorema\(\PageIndex{2}\), basta con tomar el producto de los elementos en la diagonal principal. Así\(\det \left( A\right) =1\times 2\times 3\times \left( -1\right) =-6.\)

Sin usar Teorema\(\PageIndex{2}\), podrías usar Laplace Expansion. Nos expandiremos a lo largo de la primera columna. Esto da\[\begin{aligned} \det \left(A\right) = &1\left| \begin{array}{rrr} 2 & 6 & 7 \\ 0 & 3 & 33.7 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right| +0\left( -1\right) ^{2+1}\left| \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 77 \\ 0 & 3 & 33.7 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right| + \\ &0\left( -1\right) ^{3+1}\left| \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 77 \\ 2 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right| +0\left( -1\right) ^{4+1}\left| \begin{array}{rrr} 2 & 3 & 77 \\ 2 & 6 & 7 \\ 0 & 3 & 33.7 \end{array} \right|\end{aligned}\] y el único término distinto de cero en la expansión es\[1\left| \begin{array}{rrr} 2 & 6 & 7 \\ 0 & 3 & 33.7 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right|\nonumber \] Ahora encuentra el determinante de esta\(3 \times 3\) matriz, expandiéndolo a lo largo de la primera columna para obtener\[\det \left(A\right) = 1\times \left( 2\times \left| \begin{array}{rr} 3 & 33.7 \\ 0 & -1 \end{array} \right| +0\left( -1\right) ^{2+1}\left| \begin{array}{rr} 6 & 7 \\ 0 & -1 \end{array} \right| +0\left( -1\right) ^{3+1}\left| \begin{array}{rr} 6 & 7 \\ 3 & 33.7 \end{array} \right| \right)\nonumber \]\[=1\times 2\times \left| \begin{array}{rr} 3 & 33.7 \\ 0 & -1 \end{array} \right|\nonumber \] Siguiente usa Definición\(\PageIndex{1}\) para encontrar el determinante de esta \(2 \times 2\)matriz, que es justo\(3 \times -1 - 0 \times 33.7 = -3\). Uniendo todos estos pasos, tenemos\[\det \left(A\right) = 1\times 2\times 3\times \left( -1\right) =-6\nonumber \] que es solo el producto de las entradas por la diagonal principal de la matriz original!

Se puede ver que si bien ambos métodos dan como resultado la misma respuesta, el Teorema\(\PageIndex{2}\) proporciona un método mucho más rápido.

En la siguiente sección, exploramos algunas propiedades importantes de los determinantes.