3.2: Propiedades de los Determinantes

Propiedades de los Determinantes I: Ejemplos

Hay muchas propiedades importantes de los determinantes. Dado que muchas de estas propiedades involucran las operaciones de fila discutidas en el Capítulo 1, recordamos esa definición ahora.

Definición\(\PageIndex{1}\): Row Operations

Las operaciones de fila consisten en lo siguiente

1. Cambiar dos filas.
2. Multiplica una fila por un número distinto de cero.
3. Reemplazar una fila por un múltiplo de otra fila agregada a sí misma.

Ahora consideraremos el efecto de las operaciones de fila sobre el determinante de una matriz. En secciones futuras, veremos que el uso de las siguientes propiedades puede ayudar en gran medida a encontrar determinantes. Esta sección utilizará los teoremas como motivación para proporcionar diversos ejemplos de la utilidad de las propiedades.

El primer teorema explica el efecto sobre el determinante de una matriz cuando se conmutan dos filas.

Teorema\(\PageIndex{1}\): Switching Rows

Dejar\(A\) ser una\(n\times n\) matriz y dejar\(B\) ser una matriz que resulta de cambiar dos filas de\(A.\) Entonces\(\det \left( B\right) = - \det \left( A\right) .\)

Cuando cambiamos dos filas de una matriz, el determinante se multiplica por\(-1\). Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Switching Two Rows

Dejar\(A=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right]\) y dejar\(B=\left[ \begin{array}{rr} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} \right]\). Sabiendo eso\(\det \left( A \right) =-2\), encuentra\(\det \left( B \right)\).

Solución

Por Definición 3.1.1,\(\det \left(A\right) = 1 \times 4 - 3 \times 2 = -2\). Observe que las filas de\(B\) son las filas de\(A\) pero cambiadas. Por teorema\(\PageIndex{1}\) ya que dos filas de\(A\) han sido cambiadas,\(\det \left(B\right) = - \det \left(A\right) = - \left(-2\right) = 2\). Puedes verificar esto usando la Definición 3.1.1.

El siguiente teorema demuestra el efecto sobre el determinante de una matriz cuando multiplicamos una fila por un escalar.

Teorema\(\PageIndex{2}\): Multiplying a Row by a Scalar

Dejar\(A\) ser una\(n\times n\) matriz y dejar\(B\) ser una matriz que resulta de multiplicar alguna fila de\(A\) por un escalar\(k\). Entonces\(\det \left( B\right) = k \det \left( A\right)\).

Observe que este teorema es cierto cuando multiplicamos una fila de la matriz por\(k\). Si tuviéramos que multiplicar dos filas de\(A\) por\(k\) para obtener\(B\), tendríamos\(\det \left(B\right) = k^2 \det \left(A\right)\). Supongamos que íbamos a multiplicar todas\(n\) las filas de\(A\) por\(k\) para obtener la matriz\(B\), así que eso\(B = kA\). Entonces,\(\det \left(B\right) = k^n \det \left(A\right)\). Esto da el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{3}\): Scalar Multiplication

Dejar\(A\) y\(B\) ser\(n \times n\) matrices y\(k\) un escalar, tal que\(B = kA\). Entonces\(\det(B) = k^n \det(A)\).

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\): Multiplying a Row by 5

Deja\(A=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] ,\ B=\left[ \begin{array}{rr} 5 & 10 \\ 3 & 4 \end{array} \right] .\) Sabiendo eso\(\det \left( A \right) =-2\), encuentra\(\det \left( B \right)\).

Solución

Por Definición 3.1.1, También\(\det \left( A\right) =-2.\) podemos calcular\(\det \left(B\right)\) usando la Definición 3.1.1, y vemos que\(\det \left(B\right) = -10\).

Ahora, calculemos\(\det \left(B\right)\) usando Teorema\(\PageIndex{2}\) y veamos si obtenemos la misma respuesta. Observe que la primera fila de\(B\) es\(5\) por la primera fila de\(A\), mientras que la segunda fila de\(B\) es igual a la segunda fila de\(A\). Por teorema\(\PageIndex{2}\),\(\det \left( B \right) = 5 \times \det \left( A \right) = 5 \times -2 = -10.\)

Puedes ver que esto coincide con nuestra respuesta anterior.

Por último, considere el siguiente teorema para la operación de la última fila, el de agregar un múltiplo de una fila a otra fila.

Teorema\(\PageIndex{4}\): Adding a Multiple of a Row to Another Row

Dejar\(A\) ser una\(n\times n\) matriz y dejar\(B\) ser una matriz que resulta de agregar un múltiplo de una fila a otra fila. Entonces\(\det \left( A\right) =\det \left( B \right)\).

Por lo tanto, cuando agregamos un múltiplo de una fila a otra fila, el determinante de la matriz no cambia. Tenga en cuenta que si una matriz\(A\) contiene una fila que es un múltiplo de otra fila,\(\det \left(A\right)\) será igual\(0\). Para ver esto, supongamos que la primera fila de\(A\) es igual a\(-1\) veces la segunda fila. Por teorema\(\PageIndex{4}\), podemos agregar la primera fila a la segunda fila, y el determinante quedará sin cambios. Sin embargo, esta operación de fila dará como resultado una fila de ceros. Usando Laplace Expansion a lo largo de la fila de ceros, encontramos que el determinante es\(0\).

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\): Adding a Row to Another Row

Deja\(A=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right]\) y deja que\(B=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{array} \right] .\) Find\(\det \left(B\right)\).

Solución

Por Definición 3.1.1,\(\det \left(A\right) = -2\). Observe que la segunda fila de\(B\) es dos veces la primera fila de\(A\) agregado a la segunda fila. Por teorema\(\PageIndex{1}\),\(\det \left( B\right) = \det \left( A \right) =-2\). Como de costumbre, puedes verificar esta respuesta usando la Definición 3.1.1.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\): Multiple of a Row

Vamos\(A = \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{array} \right]\). \(\det \left( A \right) = 0\)Demuéstralo.

Solución

Usando la Definición 3.1.1, el determinante viene dado por\[\det \left( A \right) = 1 \times 4 - 2 \times 2 = 0\nonumber \]

Sin embargo, observe que la segunda fila es igual a\(2\) veces la primera fila. Entonces por la discusión anterior siguiente Teorema\(\PageIndex{4}\) el determinante será igual\(0\).

Hasta ahora, nuestro enfoque se ha centrado principalmente en las operaciones de fila. No obstante, podemos llevar a cabo las mismas operaciones con columnas, en lugar de filas. Las tres operaciones descritas en Definición se\(\PageIndex{1}\) pueden hacer con columnas en lugar de filas. En este caso, en Teoremas\(\PageIndex{1}\) \(\PageIndex{2}\),, y se \(\PageIndex{4}\)puede sustituir la palabra, “fila” por la palabra “columna”.

Hay varias otras propiedades importantes de los determinantes que no implican operaciones de fila (o columna). El primero es el determinante de un producto de matrices.

Teorema\(\PageIndex{5}\): Determinant of a Product

Dejar\(A\) y\(B\) ser dos\(n\times n\) matrices. Entonces\[\det \left( AB\right) =\det \left( A\right) \det \left( B\right)\nonumber \]

Para encontrar el determinante de un producto de matrices, simplemente podemos tomar el producto de los determinantes.

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\): The Determinant of a Product

Comparar\(\det \left( AB\right)\) y\(\det \left( A\right) \det \left( B\right)\) para\[A=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -3 & 2 \end{array} \right] ,B=\left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{array} \right]\nonumber \]

Solución

Primer cómputo\(AB\), que viene dado por\[AB=\left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -3 & 2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 11 & 4 \\ -1 & -4 \end{array} \right]\nonumber \] y así por la Definición 3.1.1\[\det \left( AB\right) =\det \left[ \begin{array}{rr} 11 & 4 \\ -1 & -4 \end{array} \right] = -40\nonumber \]

Ahora\[\det \left( A\right) =\det \left[ \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -3 & 2 \end{array} \right] = 8\nonumber \] y\[\det \left( B\right) =\det \left[ \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{array} \right] = -5\nonumber \]

Computación\(\det \left(A\right) \times \det \left(B\right)\) que tenemos\(8 \times -5 = -40\). Esta es la misma respuesta que la anterior y se puede ver eso\(\det \left( A\right) \det \left( B\right) =8\times \left( -5\right) =-40 = \det \left(AB\right)\).

Considera la siguiente propiedad importante.

Teorema\(\PageIndex{6}\): Determinant of the Transpose

Dejar\(A\) ser una matriz donde\(A^T\) está la transposición de\(A\). Entonces,\[\det\left(A^T\right) = \det \left( A \right)\nonumber \]

Este teorema se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\): Determinant of the Transpose

Vamos a\[A = \left[ \begin{array}{rr} 2 & 5 \\ 4 & 3 \end{array} \right]\nonumber \] encontrar\(\det \left(A^T\right)\).

Solución

Primero, tenga en cuenta que\[A^{T} = \left[ \begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 5 & 3 \end{array} \right]\nonumber \]

Usando la Definición 3.1.1, podemos calcular\(\det \left(A\right)\) y\(\det \left(A^T\right)\). De ello se deduce que\(\det \left(A\right) = 2 \times 3 - 4 \times 5 = -14\) y\(\det \left(A^T\right) = 2 \times 3 - 5 \times 4 = -14\). De ahí,\(\det \left(A\right) = \det \left(A^T\right)\).

A continuación se proporciona una propiedad esencial del determinante, así como una manera útil de determinar si una matriz es invertible.

Teorema\(\PageIndex{7}\): Determinant of the Inverse

\(A\)Déjese ser una\(n \times n\) matriz. Entonces\(A\) es invertible si y solo si\(\det(A) \neq 0\). Si esto es cierto, se deduce que\[\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\nonumber \]

Considera el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\): Determinant of an Invertible Matrix

Vamos\(A = \left[ \begin{array}{rr} 3 & 6 \\ 2 & 4 \end{array} \right], B = \left[ \begin{array}{rr} 2 & 3 \\ 5 & 1 \end{array} \right]\). Para cada matriz, determine si es invertible. Si es así, encuentra el determinante de la inversa.

Solución

Considera\(A\) primero la matriz. Usando la Definición 3.1.1 podemos encontrar el determinante de la siguiente manera:\[\det \left( A \right) = 3 \times 4 - 2 \times 6 = 12 - 12 = 0\nonumber \] Por teorema no\(\PageIndex{7}\)\(A\) es invertible.

Ahora considere la matriz\(B\). Nuevamente por Definición 3.1.1 tenemos\[\det \left( B \right) = 2 \times 1 - 5 \times 3 = 2 - 15 = -13\nonumber \] Por teorema\(\PageIndex{7}\)\(B\) es invertible y el determinante de la inversa viene dado por\[\begin{aligned} \det \left( A^{-1} \right) &= \frac{1}{\det(A)} \\ &= \frac{1}{-13} \\ &= -\frac{1}{13}\end{aligned}\]

Propiedades de Determinantes II: Algunas Pruebas Importantes

Esta sección incluye algunas pruebas importantes sobre determinantes y cofactores.

Primero recordamos la definición de determinante. Si\(A=\left[ a_{ij} \right]\) es una\(n\times n\) matriz, entonces\(\det A\) se define calculando la expansión a lo largo de la primera fila:\[\label{E1} \det A=\sum_{i=1}^n a_{1,i} \mathrm{cof}(A)_{1,i}.\] Si\(n=1\) entonces\(\det A=a_{1,1}\).

El siguiente ejemplo es sencillo y muy recomendable como medio para acostumbrarse a las definiciones.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\):

(1) Dejar\(E_{ij}\) ser la matriz elemental obtenida intercambiando\(i\) th y\(j\) th filas de\(I\). Entonces\(\det E_{ij}=-1\).

(2) Dejar\(E_{ik}\) ser la matriz elemental obtenida multiplicando la fila\(i\) th de\(I\) por\(k\). Entonces\(\det E_{ik}=k\).

(3) Dejar\(E_{ijk}\) ser la matriz elemental obtenida multiplicando la fila\(i\) th de\(I\) por\(k\) y sumarla a su\(j\) ésima fila. Entonces\(\det E_{ijk}=1\).

(4) Si\(C\) y\(B\) son tales que\(CB\) se define y la fila\(i\) th de\(C\) consiste en ceros, entonces la fila\(i\) th de\(CB\) consiste en ceros.

(5) Si\(E\) es una matriz elemental, entonces\(\det E=\det E^T\).

Muchas de las pruebas en la sección utilizan el Principio de Inducción Matemática. Este concepto se discute en el Apéndice A.2 y se revisa aquí por conveniencia. Primero comprobamos que la afirmación es cierta para\(n=2\) (el caso\(n=1\) es completamente trivial o carente de sentido).

A continuación, asumimos que la aseveración es verdadera para\(n-1\) (dónde\(n\geq 3\)) y lo demostramos para\(n\). Una vez logrado esto, por el Principio de Inducción Matemática podemos concluir que la afirmación es cierta para todas las\(n\times n\) matrices para cada\(n\geq 2\).

Si\(A\) es una\(n\times n\) matriz y\(1\leq j \leq n\), entonces la matriz obtenida quitando\(1\) st columna y\(j\) th fila de\(A\) es una\(n-1\times n-1\) matriz (denotaremos esta matriz por \(A(j)\)abajo). Dado que estas matrices se utilizan en el cálculo de cofactores\(\mathrm{cof}(A)_{1,i}\), para\(1\leq i\neq n\), la suposición inductiva se aplica a estas matrices.

Considera el siguiente lema.

Lema\(\PageIndex{1}\):

Si\(A\) es una\(n\times n\) matriz tal que una de sus filas consiste en ceros, entonces\(\det A=0\).

Prueba

Demostraremos este lema usando Inducción Matemática.

Si\(n=2\) esto es fácil (¡comprueba!).

\(n\geq 3\)Sea tal que cada matriz de tamaño\(n-1\times n-1\) con una fila que consiste en ceros tenga determinante igual a cero. \(i\)Sea tal que la fila\(i\) th de\(A\) consiste en ceros. Entonces tenemos\(a_{ij}=0\) para\(1\leq j\leq n\).

Arreglar\(j\in \{1,2, \dots ,n\}\) tal que\(j\neq i\). Entonces matriz\(A(j)\) utilizada en el cálculo de\(\mathrm{cof}(A)_{1,j}\) tiene una fila que consiste en ceros, y por nuestra suposición inductiva\(\mathrm{cof}(A)_{1,j}=0\).

Por otro lado, si\(j=i\) entonces\(a_{1,j}=0\). Por lo tanto\(a_{1,j}\mathrm{cof}(A)_{1,j}=0\) para todos\(j\) y por\(\eqref{E1}\) tenemos\[\det A=\sum_{j=1}^n a_{1,j} \mathrm{cof}(A)_{1,j}=0\nonumber \] como cada una de las summands es igual a 0.

Lema\(\PageIndex{2}\):

Supongamos\(A\),\(B\) y\(C\) son\(n\times n\) matrices que para algunos\(1\leq i\leq n\) satisfacen lo siguiente.

1. \(j\)th filas de las tres matrices son idénticas, para\(j\neq i\).
2. Cada entrada en la fila\(j\) th de\(A\) es la suma de las entradas correspondientes en las filas\(j\) th de\(B\) y\(C\).

Entonces\(\det A=\det B+\det C\).

Prueba

Esto no es difícil de verificar\(n=2\) (¡compruébalo!).

Ahora supongamos que la afirmación de Lemma es cierta para\(n-1\times n-1\) matrices y fijar\(A,B\) y\(C\) como en el enunciado. En los supuestos se afirma que tenemos\(a_{l,j}=b_{l,j}=c_{l,j}\) para\(j\neq i\) y para\(1\leq l\leq n\) y\(a_{l,i}=b_{l,i}+c_{l,i}\) para todos\(1\leq l\leq n\). Por lo tanto\(A(i)=B(i)=C(i)\), y\(A(j)\) tiene la propiedad de que su fila\(i\) th es la suma de las filas\(i\) th de\(B(j)\) y\(C(j)\) para\(j\neq i\) mientras que las otras filas de las tres matrices son idéntico. Por lo tanto por nuestra suposición inductiva tenemos\(\mathrm{cof}(A)_{1j}=\mathrm{cof}(B)_{1j}+\mathrm{cof}(C)_{1j}\) para\(j\neq i\).

Por\(\eqref{E1}\) tenemos (utilizando todas las igualdades establecidas anteriormente)\[\begin{aligned} \det A&=\sum_{l=1}^n a_{1,l} \mathrm{cof}(A)_{1,l}\\ &=\sum_{l\neq i} a_{1,l}(\mathrm{cof}(B)_{1,l}+\mathrm{cof}(C)_{1,l})+ (b_{1,i}+c_{1,i})\mathrm{cof}(A)_{1,i}\\ &= \det B+\det C\end{aligned}\] Esto demuestra que la aseveración es verdadera para todos\(n\) y completa la prueba.

Teorema\(\PageIndex{8}\):

Dejar\(A\) y\(B\) ser\(n\times n\) matrices.

1. Si\(A\) se obtiene intercambiando\(i\) th y\(j\) th filas de\(B\) (con\(i\neq j\)), entonces\(\det A=-\det B\).
2. Si\(A\) se obtiene multiplicando\(i\) th fila de\(B\) por\(k\) entonces\(\det A=k\det B\).
3. Si dos filas de\(A\) son idénticas entonces\(\det A=0\).
4. Si\(A\) se obtiene multiplicando\(i\) th fila de\(B\) por\(k\) y agregándolo a\(j\) th fila de\(B\) (\(i\neq j\)) entonces\(\det A=\det B\).

Prueba

Demostramos todas las declaraciones por inducción. El caso\(n=2\) se verifica fácilmente directamente (y se sugiere encarecidamente que lo verifique).

Suponemos\(n\geq 3\) y (1) — (4) son ciertos para todas las matrices de tamaño\(n-1\times n-1\).

(1) Probamos el caso cuando\(j=i+1\), es decir, estamos intercambiando dos filas consecutivas.

Vamos\(l\in \{1, \dots, n\}\setminus \{i,j\}\). Luego\(A(l)\) se obtiene de\(B(l)\) intercambiando dos de sus filas (dibujar una imagen) y por nuestra suposición\[\label{E2} \mathrm{cof}(A)_{1,l}=-\mathrm{cof}(B)_{1,l}.\]

Ahora considere\(a_{1,i} \mathrm{cof}(A)_{1,l}\). Tenemos eso\(a_{1,i}=b_{1,j}\) y también eso\(A(i)=B(j)\). Ya que\(j=i+1\), tenemos\[(-1)^{1+j}=(-1)^{1+i+1}=-(-1)^{1+i}\nonumber \] y por lo tanto\(a_{1i}\mathrm{cof}(A)_{1i}=-b_{1j} \mathrm{cof}(B)_{1j}\) y\(a_{1j}\mathrm{cof}(A)_{1j}=-b_{1i} \mathrm{cof}(B)_{1i}\). Armando esto con\(\eqref{E2}\) en\(\eqref{E1}\) vemos que si en la fórmula para\(\det A\) cambiamos el signo de cada uno de los summands obtenemos la fórmula para\(\det B\). \[\det A=\sum_{l=1}^n a_{1l}\mathrm{cof}(A)_{1l} =-\sum_{l=1}^n b_{1l} B_{1l} =\det B.\nonumber \]

Por lo tanto, hemos probado el caso de (1) cuando\(j=i+1\). Para acreditar el caso general, se necesita el siguiente hecho. Si\(i<j\), entonces para intercambiar la fila\(i\) th y\(j\) th se puede proceder intercambiando dos filas adyacentes\(2(j-i)+1\) veces: Primero intercambia\(i\) th y\(i+1\) st, luego\(i+1\) st y \(i+2\)nd, y así sucesivamente. Después de uno intercambia\(j-1\) st y\(j\) th fila, tenemos\(i\) th fila en posición de\(j\) th y\(l\) th fila en posición de\(l-1\) st para\(i+1\leq l\leq j\). Luego proceda hacia atrás intercambiando filas adyacentes hasta que todo esté en su lugar.

Ya que\(2(j-i)+1\) es un número impar\((-1)^{2(j-i)+1}=-1\) y tenemos eso\(\det A=-\det B\).

(2) Esto es como (1)... pero mucho más fácil. Supongamos que (2) es cierto para todas las\(n-1\times n-1\) matrices. Tenemos eso\(a_{ji}=k b_{ji}\) para\(1\leq j\leq n\). En particular\(a_{1i}=kb_{1i}\), y para\(l\neq i\) matriz\(A(l)\) se obtiene de\(B(l)\) multiplicando una de sus filas por\(k\). Por lo tanto\(\mathrm{cof}(A)_{1l}=k\mathrm{cof}(B)_{1l}\) para\(l\neq i\), y para todo\(l\) lo que tenemos\(a_{1l} \mathrm{cof}(A)_{1l}=k b_{1l}\mathrm{cof}(B)_{1l}\). Por\(\eqref{E1}\), tenemos\(\det A=k\det B\).

(3) Esto es consecuencia de (1). Si dos filas de\(A\) son idénticas, entonces\(A\) es igual a la matriz obtenida intercambiando esas dos filas y por lo tanto por (1)\(\det A=-\det A\). Esto implica\(\det A=0\).

(4) Supongamos que (4) es verdadero para todas\(n-1\times n-1\) las matrices\(A\) y fix y\(B\) tal que\(A\) se obtiene multiplicando la fila\(i\) th de\(B\) por\(k\) y agregándola a \(j\)th fila de\(B\) (\(i\neq j\)) entonces\(\det A=\det B\). Si\(k=0\) entonces\(A=B\) y no hay nada que probar, entonces podemos asumir\(k\neq 0\).

Dejar\(C\) ser la matriz obtenida reemplazando la fila\(j\) th de\(B\) por la\(i\) ésima fila de\(B\) multiplicado por\(k\). Por Lemma\(\PageIndex{2}\), tenemos eso\[\det A=\det B+\det C\nonumber \] y 'sólo' necesitamos demostrarlo\(\det C=0\). Pero\(i\) th y\(j\) th filas de\(C\) son proporcionales. Si\(D\) se obtiene multiplicando la fila\(j\) th de para\(\frac 1k\) entonces\(C\) por (2) tenemos\(\det C=\frac 1k\det D\) (¡recuerden eso\(k\neq 0\)!). Pero\(i\) th y\(j\) th filas de\(D\) son idénticas, de ahí por (3) tenemos\(\det D=0\) y por lo tanto\(\det C=0\).

Teorema\(\PageIndex{9}\):

Dejar\(A\) y\(B\) ser dos\(n\times n\) matrices. Entonces\[\det \left( AB\right) =\det \left( A\right) \det \left( B\right)\nonumber \]

Prueba

Si\(A\) es una matriz elemental de cualquier tipo, entonces multiplicar por a\(A\) la izquierda tiene el mismo efecto que realizar la operación de fila elemental correspondiente. Por lo tanto, la igualdad\(\det (AB) =\det A\det B\) en este caso sigue por Ejemplo\(\PageIndex{8}\) y Teorema\(\PageIndex{8}\).

Si\(C\) es la forma de fila-escalón reducida de\(A\) entonces podemos escribir\(A=E_1\cdot E_2\cdot\dots\cdot E_m\cdot C\) para algunas matrices elementales\(E_1,\dots, E_m\).

Ahora consideramos dos casos.

Supongamos primero eso\(C=I\). Entonces\(A=E_1\cdot E_2\cdot \dots\cdot E_m\) y\(AB= E_1\cdot E_2\cdot \dots\cdot E_m B\). Al aplicar los\(m\) tiempos de igualdad anteriores, y luego los\(m-1\) tiempos, tenemos que\[\begin{aligned} \det AB&=\det E_1\det E_2\cdot \det E_m\cdot \det B\\ &=\det (E_1\cdot E_2\cdot\dots\cdot E_m) \det B\\ &=\det A\det B. \end{aligned}\]

Ahora asuma\(C\neq I\). Al estar en forma de fila-escalón reducido, su última fila consiste en ceros y por (4) de Ejemplo\(\PageIndex{8}\) la última fila de\(CB\) consiste en ceros. Por Lemma\(\PageIndex{1}\) tenemos\(\det C=\det (CB)=0\) y por lo tanto\[\det A=\det (E_1\cdot E_2\cdot E_m)\cdot \det (C) = \det (E_1\cdot E_2\cdot E_m)\cdot 0=0\nonumber \] y también de\[\det AB=\det (E_1\cdot E_2\cdot E_m)\cdot \det (C B) =\det (E_1\cdot E_2\cdot\dots\cdot E_m) 0 =0\nonumber \] ahí\(\det AB=0=\det A \det B\).

Se volverá a utilizar la misma 'máquina' utilizada en la prueba anterior.

Teorema\(\PageIndex{10}\):

Dejar\(A\) ser una matriz donde\(A^T\) está la transposición de\(A\). Entonces,\[\det\left(A^T\right) = \det \left( A \right)\nonumber \]

Prueba

Obsérvese primero que la conclusión\(A\) es verdadera si es elemental por (5) de Ejemplo\(\PageIndex{8}\).

Dejar\(C\) ser la forma de fila-escalón reducido de\(A\). Entonces podemos escribir\(A= E_1\cdot E_2\cdot \dots\cdot E_m C\). Entonces\(A^T=C^T\cdot E_m^T\cdot \dots \cdot E_2^T\cdot E_1\). Por Teorema\(\PageIndex{9}\) tenemos\[\det (A^T)=\det (C^T)\cdot \det (E_m^T)\cdot \dots \cdot \det (E_2^T)\cdot \det(E_1).\nonumber \] Por (5) de Ejemplo\(\PageIndex{8}\) tenemos eso\(\det E_j=\det E_j^T\) para todos\(j\). También,\(\det C\) es 0 o 1 (dependiendo de si\(C=I\) o no) y en cualquier caso\(\det C=\det C^T\). Por lo tanto\(\det A=\det A^T\).

Las discusiones anteriores nos permiten ahora probar el Teorema 3.1.1. Se replantea a continuación.

Teorema\(\PageIndex{11}\):

Expandir una\(n\times n\) matriz a lo largo de cualquier fila o columna siempre da el mismo resultado, que es el determinante.

Prueba

Primero mostramos que el determinante puede calcularse a lo largo de cualquier fila. El caso\(n=1\) no aplica y así deja\(n \geq 2\).

Dejar\(A\) ser una\(n\times n\) matriz y arreglar\(j>1\). Tenemos que probarlo\[\det A=\sum_{i=1}^n a_{j,i} \mathrm{cof}(A)_{j,i}.\nonumber \] Vamos a probar el caso cuando\(j=2\).

\(B\)Sea la matriz obtenida de\(A\) intercambiando sus filas\(1\) st y\(2\) nd. Entonces por Teorema\(\PageIndex{8}\) tenemos\[\det A=-\det B.\nonumber\] Ahora tenemos\[\det B=\sum_{i=1}^n b_{1,i} \mathrm{cof}(B)_{1,i}.\nonumber \] Ya que\(B\) se obtiene intercambiando las filas\(1\) st y\(2\) nd de\(A\) tenemos eso\(b_{1,i}=a_{2,i}\) para todos \(i\)y se puede ver eso\(minor(B)_{1,i}=minor(A)_{2,i}\).

Además, de\[\mathrm{cof}(B)_{1,i}=(-1)^{1+i} minor B_{1,i}=- (-1)^{2+i} minor (A)_{2,i} = - \mathrm{cof}(A)_{2,i}\nonumber \] ahí\(\det B=-\sum_{i=1}^n a_{2,i} \mathrm{cof}(A)_{2,i}\), y por lo tanto\(\det A=-\det B= \sum_{i=1}^n a_{2,i} \mathrm{cof}(A)_{2,i}\) como se desee.

El caso cuando\(j>2\) es muy similar; todavía tenemos\(minor(B)_{1,i}=minor (A)_{j,i}\) pero comprobando que\(\det B=-\sum_{i=1}^n a_{j,i} \mathrm{cof}(A)_{j,i}\) está un poco más involucrado.

Ahora la expansión del cofactor a lo largo\(j\) de la columna de\(A\) es igual a la expansión del cofactor a lo largo\(j\) de la fila de\(A^T\), que por el resultado anterior acaba de demostrar igual a la expansión del cofactor a lo largo de la fila 1 de\(A^T\), que es igual a la expansión del cofactor a lo largo\(1\) de la columna de\(A\). Así, el cofactor cofactor a lo largo de cualquier columna produce el mismo resultado.

Finalmente, ya que\(\det A=\det A^T\) por Teorema\(\PageIndex{10}\), concluimos que la expansión del cofactor a lo largo\(1\) de la fila de\(A\) es igual a la expansión del cofactor a lo largo\(1\) de la fila de\(A^T\), que es igual al cofactor expansión a lo largo\(1\) de la columna de\(A\). Así la prueba está completa.