6.3: Flujo uniforme alrededor de un círculo

Considere un flujo uniforme a velocidad\(U\) en la\(x\) dirección -dirección, con potencial complejo\(F(z)=Uz\). Si insertamos un obstáculo circular impermeable,\(|z|=a\) digamos, entonces el flujo se verá perturbado como se ilustra en la imagen de abajo. El reto aquí es calcular el flujo perturbado.

Restablecer

Aquí podemos utilizar un resultado bien conocido en la dinámica de fluidos establecida por el matemático inglés L. M. Milne-Thompson:

Teorema del círculo

Supongamos que\(F(z)\) se da un potencial complejo de tal manera que cualquier singularidades en\(F(z)\) ocurra en\(|z|\gt a\). Entonces el potencial

\ (\ begin {eqnarray}\ label {circle-teorema}
w = F (z) +\ overline {F\ left (\ frac {a^2} {\ overline {z}}\ derecha)}
\ end {eqnarray}\)

(donde la barra denota conjugado complejo) tiene las mismas singularidades que\(F(z)\) in\(|z|\gt a\) y el círculo\(|z|=a\) es una línea aerodinámica.

Prueba: Dejar\(F(z)\) ser un potencial complejo tal que cualquier singularidades ocurra sólo en la región\(|z|\gt a\) (con\(a>0\)) y definir

\ (\ begin {eqnarray}\ label {circle-01}
w = F (z) +\ overline {F\ left (\ frac {a^2} {\ overline {z}}\ right)}.
\ end {eqnarray}\)

Observe que si\(|z|\gt a\), entonces\(\big|a^2/\,\overline{z}\big|\lt a\). Así, puesto que no\(F(z)\) tiene singularidades en\(|z|\leq a\), se deduce que el segundo término en (2) no tiene singularitas en\(|z|\gt a\). Esto significa que\(F\) y\(w\) tienen las mismas singularidades en\(|z|\gt a\).

Ahora nos interesa saber qué sucede en el límite circular\(|z|=a\). En este caso tenemos eso\(\overline{z} \cdot z = a^2\). Eso es

\(z= \frac{a^2}{\overline{z} }.\)

Por lo tanto

\(\big. w \big|_{|z|=a}= F(z)+ \overline{F\left(\frac{a^2}{\overline{z}}\right)} = F(z) + \overline{F\left(z\right)} = 2 \text{Re}\left(f(z)\right),\)

que es totalmente real. Por lo tanto en el límite\(|z|=a\)

\(\psi  = \text{Im}\, w = 0.\)

Esto demuestra que el círculo\(|z|=a\) es un streamer. ◼

Observe que el potencial complejo\(F(z)=Uz\) satisface la hipótesis del Teorema del Círculo. Por lo tanto, podemos obtener el complejo potencial del flujo uniforme alrededor de un círculo sustituyendo\(F(z)=Uz\) en la ecuación (1):

\ (\ begin {eqnarray}\ label {potencial}
w = Uz +\ overline {\ frac {Ua^2} {\ overline {z}}} = Uz +\ frac {Ua^2} {z}.
\ end {eqnarray}\)

En consecuencia, la función streamfunction es solo la parte imaginaria de (3), a saber

\ (\ begin {eqnarray*}
\ psi = Uy\ izquierda (1-\ frac {a^2} {x^2+y^2}\ derecha).
\ end {eqnarray*}\)

y podemos ver que el círculo\(x^2+y^2=a^2\) es efectivamente un aerodinámico, con\(ψ=0\). El flujo resultante se muestra en la Figura 2 con\(a=1\).

Figura 1: Flujo uniforme alrededor de un círculo (derecha).

Probablemente te hayas dado cuenta de que (3) tiene una singularidad en\(z=0\). Este tipo de singularidad se conoce como doblete y corresponde a la función\(Ua^2/z\). La singularidad en el origen se encuentra dentro del obstáculo y por lo tanto no afecta el flujo externo. El patrón aerodinámico completo, incluyendo el doblete dentro del círculo, se muestra en la Figura 3.

Figura 3: Líneas de racionalización causadas por un doblete en un flujo uniforme.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Mostrar que los componentes del campo de velocidad\(\mathbf V = (u, v)\) para el flujo uniforme alrededor de un círculo están dados por

\ (\ begin {eqnarray*}
u = U\ izquierda (1 - a^2\ frac {x^2-y^2} {\ izquierda (x^2+y^2\ derecha) ^2}\ derecha),\ quad v= -2 U^ {2} a^ {2}\ frac {x y} {\ izquierda (x^ {2} + y^ {2}\ derecha) {2}}
\ fin {eqnarray*}\)

donde\(U\) esta la velocidad y\(a\) es el radio.

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Flujo uniforme alrededor del círculo con circulación

Si agregamos un vórtice al complejo potencial definido en (3), obtenemos un flujo uniforme alrededor de un círculo con circulación:

\ (\ begin {eqnarray}\ label {circulación}
w = Uz +\ frac {Ua^2} {z} -\ frac {iC} {2\ pi}\ log z,
\ end {eqnarray}\)

donde\(C\in \mathbb R\) representa la circulación alrededor del círculo.

En este caso, la función streamfunction es

\ (\ begin {eqnarray*}
\ psi = U y\ izquierda (1 -\ frac {a^2} {x^2+y^2}\ derecha) -\ frac {C} {4\ pi}\ log\ izquierda (x^2+y^2\ derecha).
\ end {eqnarray*}\)

Observe que el círculo\(x^2+y^2=a^2\) sigue siendo un aerodinámico, con\(\psi = - (C/2\pi)\log a\). Cualquier punto de estancamiento en el flujo satisface la ecuación

\(0 = U - \frac{Ua^2}{z^2} - \frac{iC}{2\pi z},\)

que se puede reorganizar a la ecuación cuadrática

\(z^2-2i\gamma a z - a^2 = 0, \quad \text{with}\quad \gamma =\frac{C}{4\pi Ua}.\)

Las raíces de esta ecuación son

\(\frac{z}{a} = i\gamma \pm \sqrt{1-\gamma^2}.\)

Así cuando\(γ=0\), no hay circulación con puntos de estancamiento en\(z=±a\). A medida que\(γ\) aumenta, la circulación en sentido contrario a las manojos hace que los puntos de estancamiento se muevan hacia arriba alrededor del círculo. Cuando alcanza el valor\(1\), los dos puntos de estancamiento se funden en la parte superior del cilindro\(z=ia\). Si\(γ>1\), entonces un punto de estancamiento se mueve hacia el flujo; el otro está dentro del círculo.

Explora todos los casos en el applet de abajo que muestra el flujo y un círculo de radio\(1\). Arrastre los controles deslizantes\(U\) y\(C\) para cambiar la velocidad y la circulación, respectivamente.

Restablecer

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que los componentes del campo de velocidad\(\mathbf V = (u, v)\) para el flujo uniforme alrededor de un círculo con circulación están dados por

\ (\ begin {eqnarray*}
u &=& U\ izquierda (1 - a^2\ frac {x^2-y^2} {\ izquierda (x^2+y^2\ derecha) ^2}\ derecha) -\ frac {C} {2\ pi}\ frac {y} {x^2+y^2},\\
v &=& -2 U^ {2} ^ {2}\ frac {x y} {\ izquierda (x^ {2} + y^ {2}\ derecha) ^ {2}} +\ frac {C} {2\ pi}\ frac {x} {x^2+y^2}
\ end {eqnarray*}
\)

donde\(U\) esta la velocidad,\(a\) es el radio y\(C\) es la circulacion.