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# 1.1: Conceptos básicos de la teoría de conjuntos

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Intuitivamente, un conjunto es una colección de objetos con ciertas propiedades. Los objetos de un conjunto se denominan elementos o miembros del conjunto. Usualmente usamos letras mayúsculas para denotar conjuntos y letras minúsculas para denotar elementos de conjuntos. Si$$a$$ es un elemento de conjunto$$A$$, escribimos$$a \in A$$. Si no$$a$$ es un elemento de un conjunto$$A$$, escribimos$$a \notin A$$. Para especificar un conjunto, podemos enumerar todos sus elementos, si es posible, o podemos usar una regla definitoria. Por ejemplo, para especificar el hecho de que un conjunto$$A$$ contiene cuatro elementos$$a, b, c, d$$, escribimos

$A=\{a, b, c, d\}.$

Para describir el conjunto I que contiene todos los enteros pares, escribimos

$E=\{x: x=2 k\text{ for some integer } k \}.$

Decimos que un conjunto$$A$$ es un subconjunto de un conjunto$$B$$ si cada elemento de$$A$$ es también un elemento de$$B$$, y escribimos$A \subset B \text { or } B \supset A.$

Dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos. Si$$A$$ y$$B$$ son iguales, escribimos$$A=B$$. El siguiente resultado es sencillo y muy conveniente para demostrar la igualdad entre conjuntos.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Dos conjuntos$$A$$ y$$B$$ son iguales si y solo si$$A \subset B$$ y$$B \subset A$$.

Si$$A \subset B$$ y$$A$$ no es igual$$B$$, decimos que$$A$$ es un subconjunto propio de$$B$$, y escribimos$$A \subsetneq B$$.

El conjunto$$\boldsymbol{\theta}=\{x: x \neq x\}$$ se llama el conjunto vacío. Este conjunto claramente no tiene elementos. Usando Teorema 1.1.1, es fácil demostrar que todos los conjuntos sin elementos son iguales. Así, nos referimos al conjunto vacío.

A lo largo de este libro, discutiremos varios conjuntos de números que deberían ser familiares para el lector:

• $$\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$$, el conjunto de números naturales o enteros positivos.
• $$\mathbb{Z}=\{0,1,-1,2,-2, \ldots\}$$, el conjunto de enteros (es decir, los números naturales junto con cero y el negativo de cada número natural).
• $$\mathbb{Q}=\{m / n: m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\}$$, el conjunto de números racionales.
• $$\mathbb{R}$$, el conjunto de números reales.
• Intervalos$$a, b \in \mathbb{R}$$, para, tenemos

$$[ a, b]=\{x \in \mathbb{R}: a \leq x \leq b\}$$,

$$(a, b]=\{x \in \mathbb{R}: a<x \leq b\}$$,

$$[ a, \infty)=\{x \in \mathbb{R}: a \leq x\}$$,

$$(a, \infty)=\{x \in \mathbb{R}: a<x\}$$,

y definiciones similares para$$(a,b)$$,$$[a,b)$$,$$(-\infty,b]$$, y$$(-\infty,b)$$. Diremos más sobre los símbolos$$\infty$$ y$$-\infty$$ en la Sección 1.5.

Dado que los números reales son centrales para el estudio del análisis, los discutiremos en gran medida en las Secciones 1.4, 1.5 y 1.6.

Para dos conjuntos$$A$$ y$$B$$, la unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica de$$A$$ y$$B$$ están dadas respectivamente por

$$A \cup B=\{x: x \in A \text { or } x \in B\}$$

$$A \cap B=\{x: x \in A \text { and } x \in B\}$$

$$A \backslash B=\{x: x \in A \text { and } x \notin B\}$$, y

$$A \Delta B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A)$$.

Si$$A \cap B=\emptyset$$, decimos eso$$A$$ y$$B$$ estamos disjuntos.

La diferencia de$$A$$ y también$$B$$ se llama el complemento de$$B$$ in$$A$$. Si$$X$$ es un conjunto universal, es decir, un conjunto que contiene todos los objetos bajo consideración, entonces el complemento de$$A$$ in$$X$$ se denota simplemente por$$A^{c}$$

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

Dejar$$A$$,$$B$$, y$$C$$ ser subconjuntos de un conjunto universal$$X$$. Después se mantienen los siguientes:

1. $$A \cup A^{c}=X$$;
2. $$A \cap A^{c}=\emptyset$$;
3. $$\left(A^{c}\right)^{c}=A$$;
4. $$(\mathit{Distributive law}) A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$$;

Las pruebas de las siguientes propiedades son similares a las del Teorema 1.1.2. Incluimos el comprobante de la parte (a) y dejamos el resto como ejercicio.

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

Dejar$$\left\{A_{i}: i \in I\right\}$$ ser una familia indexada de subconjuntos de un conjunto universal$$X$$ y dejar$$B$$ ser un subconjunto de$$X$$. Después se mantienen los siguientes:

1. $$B \cup\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)=\bigcap_{i \in I} B \cup A_{i}$$;
2. $$B \cup\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)=\bigcup_{i \in I} B \cup A_{i}$$;
3. $$B \backslash\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)=\bigcup_{i \in I} B \backslash A_{i}$$;
4. $$B \backslash\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right)=\bigcap_{i \in I} B \backslash A_{i}$$;
5. $$\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)^{c}=\bigcup_{i \in I} A^{c}$$;
6. $$\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right)^{c}=\bigcap_{i \in I} A^{c}$$.
Prueba

Prueba de (a): Dejar$$x \in B \cup\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)$$. Entonces$$x \in B$$ o$$x \in \bigcap_{i \in I} A_{i}$$. Si$$x \in B$$, entonces$$x \in B \cup A_{i}$$ para todos$$i \in I$$ y, así,$$x \in \bigcap_{i \in I} B \cup A_{i}$$. Si$$x \in \bigcap_{i \in I} A_{i}$$, entonces$$x \in A_{i}$$ para todos$$i \in I$$. Por lo tanto,$$x \in B \cup A_{i}$$ para todos$$i \in I$$ y, de ahí,$$x \in \bigcap_{i \in I} B \cup A_{i}$$. Así lo hemos demostrado$$B \cup\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right) \subset \bigcap_{i \in I} B \cup A_{i}$$.

Ahora vamos$$x \in \bigcap_{i \in I} B \cup A_{i}$$. Entonces$$x \in B \cup A_{i}$$ para todos$$i \in I$$. Si$$x \in B$$, entonces$$x \in B \cup\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)$$. Si$$x \notin B$$, entonces debemos tener eso$$x \in A_{i}$$ para todos$$i \in I$$. Por lo tanto,$$x \in \bigcap_{i \in I} A_{i}$$ y, de ahí,$$x \in B \cup\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)$$. Esto prueba la otra inclusión y, entonces, la igualdad. $$\square$$

Queremos considerar pares de objetos en los que importa el orden. Dados los objetos$$a$$ y$$b$$, denotaremos por$$(a, b)$$ el par ordenado donde$$a$$ está el primer elemento y$$b$$ es el segundo elemento. La característica principal de los pares ordenados es que$$(a, b)=(c, d)$$ si y solo si$$a=c$$ y$$b=d$$. Así, el par ordenado$$(0,1)$$ representa un objeto diferente al par$$(1,0)$$ (mientras que el conjunto$$\{0,1\}$$ es el mismo que el conjunto$$\{1,0\}$$) 1.

Dados dos conjuntos$$A$$ y$$B$$, el producto cartesiano de$$A$$ y$$B$$ es el conjunto definido por

$A \times B:=\{(a, b): a \in A \text { and } b \in B\}.$

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Si$$A=\{1,2\}$$ y$$B=\{-2,0,1\}$$, entonces

$A \times B=\{(1,-2),(1,0),(1,1),(2,-2),(2,0),(2,1)\}.$

## Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Si$$A$$ y$$B$$ son los intervalos$$[-1,2]$$ y$$[0,7]$$ respectivamente, entonces$$A \times B$$ es el rectángulo

$[-1,2] \times[0,7]=\{(x, y):-1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 7\}.$

Haremos uso de productos cartesianos en la siguiente sección cuando discutamos funciones.

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Demostrar los ítems restantes en el Teorema 1.1.2.

Responder

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Dejar$$Y$$ y$$Z$$ ser subconjuntos de$$X$$. Demostrar que

$(X \backslash Y) \cap Z=Z \backslash(Y \cap Z).$

Responder

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Demostrar los ítems restantes en el Teorema 1.1.3.

Responder

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Dejar$$A$$,$$B$$,$$C$$, y$$D$$ ser conjuntos. Demostrar lo siguiente.

1. $$(A \cap B) \times C=(A \times C) \cap(B \times C)$$.
2. $$(A \cup B) \times C=(A \times C) \cup(B \times C)$$
3. $$(A \times B) \cap(C \times D)=(A \cap C) \times(B \cap D)$$.
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Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Dejar$$A \subset X$$ y$$B \subset Y$$. Determina si las siguientes igualdades son verdaderas y justifica tu respuesta:

1. $$(X \times Y) \backslash(A \times B)=(X \backslash A) \times(Y \backslash B)$$.
2. $$(X \times Y) \backslash(A \times B)=[(X \backslash A) \times Y] \cup[X \times(Y \backslash B)]$$.
Responder

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

1 Para una definición precisa del par ordenado en términos de conjuntos, consulte [Lay13]

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