1.1: Conceptos básicos de la teoría de conjuntos

Intuitivamente, un conjunto es una colección de objetos con ciertas propiedades. Los objetos de un conjunto se denominan elementos o miembros del conjunto. Usualmente usamos letras mayúsculas para denotar conjuntos y letras minúsculas para denotar elementos de conjuntos. Si\(a\) es un elemento de conjunto\(A\), escribimos\(a \in A\). Si no\(a\) es un elemento de un conjunto\(A\), escribimos\(a \notin A\). Para especificar un conjunto, podemos enumerar todos sus elementos, si es posible, o podemos usar una regla definitoria. Por ejemplo, para especificar el hecho de que un conjunto\(A\) contiene cuatro elementos\(a, b, c, d\), escribimos

\[A=\{a, b, c, d\}.\]

Para describir el conjunto I que contiene todos los enteros pares, escribimos

\[E=\{x: x=2 k\text{ for some integer } k \}.\]

Decimos que un conjunto\(A\) es un subconjunto de un conjunto\(B\) si cada elemento de\(A\) es también un elemento de\(B\), y escribimos\[A \subset B \text { or } B \supset A.\]

Dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos. Si\(A\) y\(B\) son iguales, escribimos\(A=B\). El siguiente resultado es sencillo y muy conveniente para demostrar la igualdad entre conjuntos.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dos conjuntos\(A\) y\(B\) son iguales si y solo si\(A \subset B\) y\(B \subset A\).

Si\(A \subset B\) y\(A\) no es igual\(B\), decimos que\(A\) es un subconjunto propio de\(B\), y escribimos\(A \subsetneq B\).

El conjunto\(\boldsymbol{\theta}=\{x: x \neq x\}\) se llama el conjunto vacío. Este conjunto claramente no tiene elementos. Usando Teorema 1.1.1, es fácil demostrar que todos los conjuntos sin elementos son iguales. Así, nos referimos al conjunto vacío.

A lo largo de este libro, discutiremos varios conjuntos de números que deberían ser familiares para el lector:

• \(\mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}\), el conjunto de números naturales o enteros positivos.
• \(\mathbb{Z}=\{0,1,-1,2,-2, \ldots\}\), el conjunto de enteros (es decir, los números naturales junto con cero y el negativo de cada número natural).
• \(\mathbb{Q}=\{m / n: m, n \in \mathbb{Z}, n \neq 0\}\), el conjunto de números racionales.
• \(\mathbb{R}\), el conjunto de números reales.
• Intervalos\(a, b \in \mathbb{R}\), para, tenemos

\([ a, b]=\{x \in \mathbb{R}: a \leq x \leq b\}\),

\((a, b]=\{x \in \mathbb{R}: a<x \leq b\}\),

\([ a, \infty)=\{x \in \mathbb{R}: a \leq x\}\),

\((a, \infty)=\{x \in \mathbb{R}: a<x\}\),

y definiciones similares para\((a,b)\),\([a,b)\),\((-\infty,b]\), y\((-\infty,b)\). Diremos más sobre los símbolos\(\infty\) y\(-\infty\) en la Sección 1.5.

Dado que los números reales son centrales para el estudio del análisis, los discutiremos en gran medida en las Secciones 1.4, 1.5 y 1.6.

Para dos conjuntos\(A\) y\(B\), la unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica de\(A\) y\(B\) están dadas respectivamente por

\(A \cup B=\{x: x \in A \text { or } x \in B\}\)

\(A \cap B=\{x: x \in A \text { and } x \in B\}\)

\(A \backslash B=\{x: x \in A \text { and } x \notin B\}\), y

\(A \Delta B=(A \backslash B) \cup(B \backslash A)\).

Si\(A \cap B=\emptyset\), decimos eso\(A\) y\(B\) estamos disjuntos.

La diferencia de\(A\) y también\(B\) se llama el complemento de\(B\) in\(A\). Si\(X\) es un conjunto universal, es decir, un conjunto que contiene todos los objetos bajo consideración, entonces el complemento de\(A\) in\(X\) se denota simplemente por\(A^{c}\)

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(A\),\(B\), y\(C\) ser subconjuntos de un conjunto universal\(X\). Después se mantienen los siguientes:

1. \(A \cup A^{c}=X\);
2. \(A \cap A^{c}=\emptyset\);
3. \(\left(A^{c}\right)^{c}=A\);
4. \((\mathit{Distributive law}) A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)\);

Las pruebas de las siguientes propiedades son similares a las del Teorema 1.1.2. Incluimos el comprobante de la parte (a) y dejamos el resto como ejercicio.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(\left\{A_{i}: i \in I\right\}\) ser una familia indexada de subconjuntos de un conjunto universal\(X\) y dejar\(B\) ser un subconjunto de\(X\). Después se mantienen los siguientes:

1. \(B \cup\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)=\bigcap_{i \in I} B \cup A_{i}\);
2. \(B \cup\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)=\bigcup_{i \in I} B \cup A_{i}\);
3. \(B \backslash\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)=\bigcup_{i \in I} B \backslash A_{i}\);
4. \(B \backslash\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right)=\bigcap_{i \in I} B \backslash A_{i}\);
5. \(\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)^{c}=\bigcup_{i \in I} A^{c}\);
6. \(\left(\bigcup_{i \in I} A_{i}\right)^{c}=\bigcap_{i \in I} A^{c}\).

Prueba

Prueba de (a): Dejar\(x \in B \cup\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)\). Entonces\(x \in B\) o\(x \in \bigcap_{i \in I} A_{i}\). Si\(x \in B\), entonces\(x \in B \cup A_{i}\) para todos\(i \in I\) y, así,\(x \in \bigcap_{i \in I} B \cup A_{i}\). Si\(x \in \bigcap_{i \in I} A_{i}\), entonces\(x \in A_{i}\) para todos\(i \in I\). Por lo tanto,\(x \in B \cup A_{i}\) para todos\(i \in I\) y, de ahí,\(x \in \bigcap_{i \in I} B \cup A_{i}\). Así lo hemos demostrado\(B \cup\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right) \subset \bigcap_{i \in I} B \cup A_{i}\).

Ahora vamos\(x \in \bigcap_{i \in I} B \cup A_{i}\). Entonces\(x \in B \cup A_{i}\) para todos\(i \in I\). Si\(x \in B\), entonces\(x \in B \cup\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)\). Si\(x \notin B\), entonces debemos tener eso\(x \in A_{i}\) para todos\(i \in I\). Por lo tanto,\(x \in \bigcap_{i \in I} A_{i}\) y, de ahí,\(x \in B \cup\left(\bigcap_{i \in I} A_{i}\right)\). Esto prueba la otra inclusión y, entonces, la igualdad. \(\square\)

Queremos considerar pares de objetos en los que importa el orden. Dados los objetos\(a\) y\(b\), denotaremos por\((a, b)\) el par ordenado donde\(a\) está el primer elemento y\(b\) es el segundo elemento. La característica principal de los pares ordenados es que\((a, b)=(c, d)\) si y solo si\(a=c\) y\(b=d\). Así, el par ordenado\((0,1)\) representa un objeto diferente al par\((1,0)\) (mientras que el conjunto\(\{0,1\}\) es el mismo que el conjunto\(\{1,0\}\)) ¹.

Dados dos conjuntos\(A\) y\(B\), el producto cartesiano de\(A\) y\(B\) es el conjunto definido por

\[A \times B:=\{(a, b): a \in A \text { and } b \in B\}.\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Si\(A=\{1,2\}\) y\(B=\{-2,0,1\}\), entonces

\[A \times B=\{(1,-2),(1,0),(1,1),(2,-2),(2,0),(2,1)\}.\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Si\(A\) y\(B\) son los intervalos\([-1,2]\) y\([0,7]\) respectivamente, entonces\(A \times B\) es el rectángulo

\[[-1,2] \times[0,7]=\{(x, y):-1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 7\}.\]

Haremos uso de productos cartesianos en la siguiente sección cuando discutamos funciones.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar los ítems restantes en el Teorema 1.1.2.

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Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Dejar\(Y\) y\(Z\) ser subconjuntos de\(X\). Demostrar que

\[(X \backslash Y) \cap Z=Z \backslash(Y \cap Z).\]

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Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar los ítems restantes en el Teorema 1.1.3.

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Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Dejar\(A\),\(B\),\(C\), y\(D\) ser conjuntos. Demostrar lo siguiente.

1. \((A \cap B) \times C=(A \times C) \cap(B \times C)\).
2. \((A \cup B) \times C=(A \times C) \cup(B \times C)\)
3. \((A \times B) \cap(C \times D)=(A \cap C) \times(B \cap D)\).

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Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dejar\(A \subset X\) y\(B \subset Y\). Determina si las siguientes igualdades son verdaderas y justifica tu respuesta:

1. \((X \times Y) \backslash(A \times B)=(X \backslash A) \times(Y \backslash B)\).
2. \((X \times Y) \backslash(A \times B)=[(X \backslash A) \times Y] \cup[X \times(Y \backslash B)]\).

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¹ Para una definición precisa del par ordenado en términos de conjuntos, consulte [Lay13]