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1.2: Funciones

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    107824
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Definición\(\PageIndex{1}\): Function

    Dejar\(X\) y\(Y\) ser conjuntos. Una función de\(X\) a\(Y\) es un subconjunto\(f \subset X \times Y\) con las siguientes propiedades

    1. Por todos\(x \in X\) hay\(y \in Y\) tal que\((x, y) \in f\).
    2. Si\((x, y) \in f\) y\((x, z) \in f\), entonces\(y=z\).

    El conjunto\(X\) se llama el dominio de\(f\), el conjunto\(Y\) se llama el codominio de\(f\), y escribimos\(f: X \rightarrow Y\). El rango de\(f\) es el subconjunto de\(Y\) definido por\(\{y \in Y: \text{ there is } x \in X \text{ such that } (x, y) \in f\)\}\).

    De la definición se desprende que, para cada uno\(x \in X\), existe exactamente un elemento\(y \in Y\) tal que\((x, y) \in f\). Vamos a escribir\(y=f(x)\). Si\(x \in X\), el elemento\(f(x)\) se llama el valor de\(f\) at\(x\) o la imagen de\(x\) debajo\(f\).

    Obsérvese que, en esta definición, una función es una colección de pares ordenados y, así, corresponde a la interpretación geométrica de la gráfica de una función dada en el cálculo. De hecho, nos referiremos indistintamente a la función\(f\) o a la gráfica de\(f\). Ambos se refieren al conjunto\(\{(x, f(x)): x \in X\}\).

    Dejar\(f: X \rightarrow Y\) y\(g: X \rightarrow Y\) ser dos funciones. Entonces las dos funciones son iguales si son iguales como subconjuntos de\(X \times Y\). Es fácil ver que\(f\) equivale a\(g\) si y solo si\(f(x)=g(x)\) para todos\(x \in X\).

    De la definición se desprende que dos funciones iguales deben tener el mismo dominio.

    Dejar\(f: X \rightarrow Y\) ser una función y dejar\(A\) ser un subconjunto de\(X\). La restricción de\(f\) on\(A\), denotada por\(f_{\mid A}\), es una nueva función de\(A\) a\(Y\) dada por\( f_{\mid A}(a)=f(a)\) para todos\(a \in A\).

    Definición:\(\PageIndex{2}\): Surjective

    Una función\(f: X \rightarrow Y\) se llama suryectiva (o se dice que\(X\) mapea sobre\(Y\)) si por cada elemento\(y \in Y\), existe un elemento\(x \in X\) tal que\(f(x)=y\).

    La función\(f\) se llama inyectiva (o uno-a-uno) si por cada par de elementos distintos de\(X\), sus imágenes bajo también\(f\) son distintas. Así,\(f\) es uno-a-uno si y sólo si para todos\(x\) y\(x^{\prime}\) en\(X\), la siguiente implicación sostiene:

    \[\left[f(x)=f\left(x^{\prime}\right)\right] \Rightarrow\left[x=x^{\prime}\right].\]

    Si\(f\) es tanto suryectiva como inyectiva, se llama biyectiva o correspondencia uno a uno. En este caso, para cualquiera\(y \in Y\), existe un elemento único\(x \in X\) tal que\(f(x)=y\). Este elemento\(x\) se denota entonces por\(f^{-1}(y)\). De esta manera, ya construimos una función de\(Y\) a\(X\) llamada la inversa de\(f\).

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Vamos\(f: X \rightarrow Y\). Si hay dos funciones\(g: Y \rightarrow X\) y\(h: Y \rightarrow X\) tal que\(g(f(x))=x\) para cada\(x \in X\) y\(f(h(y))=y\) para cada\(y \in Y\), entonces\(f\) es biyectiva y\(g=h=f^{-1}\).

    Prueba

    Primero probamos que\(f\) es suryectiva. Dejar\(y \in Y\) y establecer\(x=h(y)\). Entonces, desde el supuesto en\(h\) adelante, tenemos\(f(x)=f(h(y))=y\). Esto demuestra que\(f\) es suryectiva.

    A continuación demostramos que\(f\) es inyectivo. \(x, x^{\prime} \in X\)ser tal que\(f(x)=f\left(x^{\prime}\right)). Then \(x=g(f(x))=g(f(x^{\prime}))=x^{\prime}\). Así,\(f\) es inyectivo.

    Hemos demostrado que para cada uno\(y \in Y\), hay una única\(x \in X\), que denotamos\(f^{-1}(y)\) tal que\(f(x)=y\). Ya que para tal\(y\)\(g(y)=g(f(x))=x\),, obtenemos\(g(y)=f^{-1}(y)\). Ya que\(f(h(y))=y\), también concluimos que\(h(y)=x=f^{-1}(y)\). \(\square\)

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Consideremos la función\(f:(1,2] \rightarrow[3,4)\) dada\(f(x)=4-(x-1)^{2}\) por. demostramos que\(f\) es biyectiva.

    Solución

    Primero déjese\(x, y \in(1,2]\) ser tal que\(f(x)=f(y)\). Es decir,\(4-(x-1)^{2}=4-(y-1)^{2}\). Entonces\((x-1)^{2}=(y-1)^{2}\). Desde ambos\(x>1\) y\(y>1\), concluimos que\(x-1=y-1\) y, entonces,\(x = y\). Esto demuestra que\(f\) es inyectivo.

    Siguiente vamos\(y \in[3,4)\). Queremos\(x \in(1,2]\) ser tal que\(f(x)=y\). Vamos a configurar\(4-(x-1)^{2}=y\) y resolver para\(x\). Obtenemos,\(x=\sqrt{4-y}+1\). Tenga en cuenta que desde entonces\(y<4\),\(y-4\) tiene una raíz cuadrada. También tenga en cuenta que desde\(3 \leq y<4\), tenemos\(1 \geq 4-y>0\) y, por lo tanto,\(2 \geq \sqrt{4-y}+1>1\). Por lo tanto,\(x \in(1,2]\). Esto demuestra que\(f\) es suryectiva.

    Definición\(\PageIndex{3}\)

    Dejar\(f: X \rightarrow Y\) ser una función y dejar\(A\) ser un subconjunto de\(X\). Entonces la imagen de\(A\) debajo\(f\) es dada por

    \(f(A)=\{f(a): a \in A\}\)

    De la definición se desprende que

    \[f(A)=\{b \in Y: b=f(a) \text { for some } a \in A\}.\]

    Además,\(f\) es suryectiva si y sólo si\(f(X)=Y\).

    Para un subconjunto\(B\) de\(Y\), la preimagen de\(B\) bajo\(f\) se define por

    \[f^{-1}(B)=\{x \in X: f(x) \in B\}.\]

    Nota\(\PageIndex{2}\)

    Tenga en cuenta que, a pesar de la notación, la definición de preimagen no requiere que la función tenga una inversa. Ni siquiera requiere que la función sea inyectiva. los ejemplos a continuación ilustran estos conceptos.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)Déjese dar por\(f(x)=3x-1\). Dejar\(A=[0,2)\) y\(B=\{1,-4,5\}\).

    Solución

    Entonces\(f(A)=[-1,5)\) y\(f^{-1}(B)=\left\{\frac{2}{3},-1,2\right\}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)Déjese dar por\(f(x)=-x+7\). Dejar\(A=[0,2)\) y\(B=(-\infty, 3]\).

    Solución

    Entonces\(f(A)=(5,7]\) y\(f^{-1}(B)=[4, \infty)\).

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)Déjese dar por\(f(x)=x^{2}\). Let\(A=(-1,2)\) y\(B=[1,4)\)

    Solución

    Entonces\(f(A)=[0,4)\) y\(f^{-1}(B)=(-2,-1] \cup[1,2)\).

    Teorema\(\PageIndex{3}\)

    Dejar\(f: X \rightarrow Y\) ser una función, dejar\(A\) ser un subconjunto de\(X\), y dejar\(B\) ser un subconjunto de\(Y\). Se mantienen los siguientes:

    1. \(A \subset f^{-1}(f(A))\).
    2. \(f\left(f^{-1}(B)\right) \subset B\).
    Prueba

    Demostramos (a) y dejamos (b) como ejercicio.

    (a) Dejar\(x \in A\). Por la definición de imagen,\(f(x) \in f(A)\). Ahora, por la definición de preimagen,\(x \in f^{-1}(f(A))\). \(\square\)

    Teorema\(\PageIndex{4}\)

    Dejar\(f: X \rightarrow Y\) ser una función, dejar\(A, B \subset X\), y dejar\(C, D \subset Y\). Se mantienen los siguientes:

    1. Si\(C \subset D\), entonces\(f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D)\);
    2. \(f^{-1}(D \backslash C)=f^{-1}(D) \backslash f^{-1}(C)\);
    3. Si\(A \subset B\), entonces\(f(A) \subset f(B)\);
    4. \(f(A \backslash B) \supset f(A) \backslash f(B)\).
    Prueba

    Demostramos (b) y dejamos las otras partes como ejercicio.

    b) Lo demostramos primero\(f^{-1}(D \backslash C) \subset f^{-1}(D) \backslash f^{-1}(C)\). Vamos\(x \in f^{-1}(D \backslash C)\). Entonces, a partir de la definición de imagen inversa, obtenemos\(f(x) \in D \backslash C\). Así,\(f(x) \in D\) y\(f(x) \notin C\). De ahí\(x \in f^{-1}(D)\) y\(x \notin f^{-1}(C)\). Concluimos que\(x \in f^{-1}(D) \backslash f^{-1}(C)\).

    A continuación probamos\(f^{-1}(D) \backslash f^{-1}(C) \subset f^{-1}(D \backslash C)\). Vamos\(x \in f^{-1}(D) \backslash f^{-1}(C)\). Así,\(x \in f^{-1}(D)\) y\(x \notin f^{-1}(C)\). Por lo tanto,\(f(x) \in D\) y\(f(x) \notin C\). Esto significa\(f(x) \in D \backslash C\) y, entonces,\(x \in f^{-1}(D \backslash C)\). \(\square\)

    Teorema\(\PageIndex{5}\)

    Dejar\(f: X \rightarrow Y\) ser una función, dejar\(\left\{A_{\alpha}\right\}_{\alpha \in I}\) ser una familia indexada de subconjuntos de\(X\), y dejar\(\left\{B_{\beta}\right\}_{\beta \in J}\) ser una familia indexada de subconjuntos de\(Y\). Se mantienen los siguientes:

    1. \(f\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\right)=\bigcup_{\alpha \in I} f\left(A_{\alpha}\right)\);
    2. \(f\left(\bigcap_{\alpha \in I} A_{\alpha}\right) \subset \bigcap_{\alpha \in I} f\left(A_{\alpha}\right)\);
    3. \(f^{-1}\left(\bigcup_{\beta \in J} B_{\beta}\right)=\bigcup_{\beta \in J} f^{-1}\left(B_{\beta}\right)\);
    4. \(f^{-1}\left(\bigcap_{\beta \in J} B_{\beta}\right)=\bigcap_{\beta \in J} f^{-1}\left(B_{\beta}\right)\)
    Prueba

    Demostramos (a) y dejamos las otras partes como ejercicio.

    (a) Dejar\(y \in f\left(\bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\right)\). A partir de la definición de imagen de un conjunto, hay\(x \in \bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}\) tal que\(y=f(x)\). A partir de la definición de unión de una familia de conjuntos, hay\(\alpha_{0} \in I\) tal que\(x \in A_{\alpha_{0}}\). Por lo tanto,\(y=f(x) \in f\left(A_{\alpha_{0}}\right)\) y, entonces,\(y \in \bigcup_{\alpha \in I} f\left(A_{\alpha}\right)\). \(\square\).

    Dar funciones\(f: X \rightarrow Y\) y\(g: Y \rightarrow Z\), definimos la función\(g \circ f\) de composición de\(f\) y\(g\) como la función\(g \circ f: X \rightarrow Z\) dada por

    \[(g \circ f)(x)=g(f(x)) \text { for all } x \in X.\]

    Teorema\(\PageIndex{6}\)

    Dejar\(f: X \rightarrow Y\) y\(g: Y \rightarrow Z\) ser dos funciones y dejar\(B \subset Z\). Se mantienen los siguientes:

    1. \((g \circ f)^{-1}(B)=f^{-1}\left(g^{-1}(B)\right)\);
    2. Si\(f\) y\(g\) son inyectables, entonces\(g \circ f\) es inyectivo;
    3. Si\(f\) y\(g\) son suryectivas, entonces\(g \circ f\) es suryectiva;
    4. Si\(g \circ f\) es inyectivo, entonces\(f\) es inyectivo;
    5. Si\(g \circ f\) es suryectiva, entonces\(g\) es suryectiva.
    Prueba

    Demostramos (d) y dejamos las otras partes como ejercicio.

    d) Supongamos que\(g \circ f\) es inyectivo y dejar que\(x, x^{\prime} \in X\) sea tal que\(f(x)=f\left(x^{\prime}\right)\). Entonces\((g \circ f)(x)=g(f(x))=g\left(f\left(x^{\prime}\right)\right)=(g \circ f)\left(x^{\prime}\right)\). Ya que\(g \circ f\) es inyectivo, de ello se deduce que\(x=x^{\prime}\). Concluimos que\(f\) es inyectivo. \(\square\)

    Definición\(\PageIndex{4}\)

    Una secuencia de elementos de un conjunto\(A\) es una función con dominio\(\mathbb{N}\) y codominio\(A\). Discutimos secuencias en detalle en el Capítulo 2.

    Definición\(\PageIndex{5}\)

    Decimos que set\(A\) es finito si está vacío o si existe un número natural n y una correspondencia uno a uno\(f: A \rightarrow\{1,2, \ldots, n\}\). Un conjunto es infinito si no es finito.

    Lo dejamos como un ejercicio para demostrar que la unión de dos conjuntos finitos es finita. También es fácil mostrar, por contradicción, que\(\mathbb{N}\) es infinito. El siguiente resultado será útil a la hora de estudiar secuencias y puntos de acumulación.

    Teorema\(\PageIndex{7}\)

    Supongamos que\(A\) es un conjunto infinito. Entonces existe una función uno-a-uno\(f: \mathbb{N} \rightarrow A\).

    Prueba

    \(A\)Déjese ser un conjunto infinito. Definimos de\(f\) la siguiente manera. Elige cualquier elemento\(a_{1} \in A\) y establece\(f(1)=a_{1}\). Ahora el conjunto\(A \backslash\left\{a_{1}\right\}\) vuelve a ser infinito (de lo contrario\(A=\{a\} \cup\left(A \backslash\left\{a_{1}\right\}\right.\)) sería la unión de dos conjuntos finitos). Entonces podemos elegir\(a_{2} \in A\) con\(a_{2} \neq a_{1}\) y definimos\(f(2)=a_{2}\) 2. Una vez definido\(f(1), \ldots, f(k)\), elegimos\(a_{k+1} \in A\) tal que\(a_{k+1} \in A \backslash\left\{a_{1}, \ldots, a_{k}\right\}\) y definimos\(f(k+1)=a_{k+1}\) (tal\(a_{k+1}\) existe porque\(A \backslash\left\{a_{1}, \ldots, a_{k}\right\}\) es infinito y, entonces, no vacío). La función\(f\) así definida claramente tiene las propiedades deseadas. \(\square\)

    Parafraseando, el teorema anterior dice que en cada conjunto infinito podemos encontrar una secuencia compuesta por todos los puntos distintos.

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Dejar\(f: X \rightarrow Y\) ser una función. Demostrar que:

    1. Si\(f\) es uno a uno, entonces\(A=f^{-1}(f(A))\) por cada subconjunto\(A\) de\(X\).
    2. Si\(f\) está encendido, entonces\(f\left(f^{-1}(B)\right)=B\) para cada subconjunto\(B\) de\(Y\).
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    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)Déjese dar por\(f(x)=x^{2}-3\) y dejar\(A=[-2,1)\) y\(B=(-1,6)\). Encuentra\(f(A)\) y\(f^{-1}(B)\)

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    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Demostrar que cada una de las siguientes funciones es biyectiva.

    1. \(f:(-\infty, 3] \rightarrow[-2, \infty)\)dado por\(f(x)=|x-3|-2\).
    2. \(g:(1,2) \rightarrow(3, \infty)\)dado por\(g(x)=\frac{3}{x-1}\).
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    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Demostrar que si\(f: X \rightarrow Y\) es inyectivo, entonces se mantiene lo siguiente:

    1. \(f(A \cap B)=f(A) \cap f(B) \text { for } A, B \subset X\).
    2. \(f(A \backslash B)=f(A) \backslash f(B) \text { for } A, B \subset X\).
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    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Demostrar parte (2) del Teorema 1.2.3.

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    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Demostrar partes (1), (3) y (4) del Teorema 1.2.4.

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    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Demostrar partes (2), (3) y (4) del Teorema 1.2.5.

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    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Demostrar partes (1), (2), (3) y (5) del Teorema 1.2.6.

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    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Demostrar que la unión de dos conjuntos finitos es finita. Pista: es más fácil de mostrar cuando los sets son disjuntos.

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    2 Este hecho se basa en un axioma básico de la teoría de conjuntos llamado el Axioma de Elección. Consulte [Lay13] para más detalles.


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