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1.4: Axiomas de Campo Ordenados

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    En este libro, partiremos de una presentación axiomática de los números reales. Es decir, asumiremos que existe un conjunto, denotado por\(\mathbb{R}\), que satisface los axiomas de campo ordenados, que se exponen a continuación, junto con el axioma de integridad, presentado en la siguiente sección. De esta manera identificamos las propiedades básicas que caracterizan a los números reales. Después de enumerar los axiomas de campo ordenados derivamos de ellos propiedades familiares adicionales de los números reales. Concluimos la sección con la definición de valor absoluto de un número real y con varios resultados al respecto que se utilizarán a menudo más adelante en el texto.

    Asumimos la existencia de un conjunto\(\mathbb{R}\) (el conjunto de números reales) y dos operaciones\(+\) y\(\cdot\) (suma y multiplicación) asignando a cada par de números reales\(x, y\), números reales únicos\(x+y\) y\(x \cdot y\) y satisfaciendo las siguientes propiedades:

    (1a)\((x+y)+z=x+(y+z) \text { for all } x, y, z \in \mathbb{R}\).

    (1b)\(x+y=y+x \text { for all } x, y \in \mathbb{R}\).

    (1c) Existe un elemento único\(0 \in \mathbb{R}\) tal que\(x+0=x\) para todos\(x \in \mathbb{R}\).

    (1d) Para cada uno\(x \in \mathbb{R}\), existe un elemento único\(-x \in \mathbb{R}\) tal que\(x+(-x)=0\).

    (2a)\((x \cdot y) \cdot z=x \cdot(y \cdot z) \text { for all } x, y, z \in \mathbb{R}\).

    (2b)\(x \cdot y=y \cdot x \text { for all } x, y \in \mathbb{R}\).

    (2c) Existe un elemento único\(1 \in \mathbb{R}\) tal que\(1 \neq 0\) y\(x \cdot 1=x\) para todos\(x \in \mathbb{R}\).

    (2d) Para cada uno\(x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}\), existe un elemento único\(x^{-1} \in \mathbb{R}\) tal que\(x \cdot\left(x^{-1}\right)=1\). (También escribimos\(1 / x\) en lugar de\(x^{-1}\).)

    (2e)\(x \cdot(y+z)=x \cdot y+x \cdot z \text { for all } x, y, z \in \mathbb{R}\).

    A menudo escribimos\(xy\) en lugar de\(x \cdot y\).

    Además de los axiomas algebraicos anteriores, existe una relación\(<\) sobre la\(\mathbb{R}\) que satisface el orden axiomas a continuación:

    (3a) Para todos\(x, y \in \mathbb{R}\), exactamente una de las tres relaciones mantiene:\(x=y\),\(y<x\), o\(x<y\).

    (3b) Para todos\(x, y, z \in \mathbb{R}\), si\(x<y\) y\(y<z\), entonces\(x<z\).

    (3c) Para todos\(x, y, z \in \mathbb{R}\), si\(x<y\), entonces\(x+z<y+z\).

    (3d) Para todos\(x, y, z \in \mathbb{R}\), si\(x<y\) y\(0<z\), entonces\(xz<yz\).

    Usaremos la notación\(x \leq y\) para significar\(x<y\) o\(x=y\). También podemos usar la notación\(x>y\) para representar\(y<x\) y la notación\(x \geq y\) para representar\(y<x\) y la notación\(x \geq y\) para significar\(x>y\) o\(x=y\).

    Un conjunto\(\mathbb{F}\) junto con dos operaciones\(+\)\(\cdot\) y una relación que\(<\) satisface los 13 axiomas anteriores se llama campo ordenado. Así, los números reales son un ejemplo de un campo ordenado. Otro ejemplo de un campo ordenado es el conjunto de números racionales\(\mathbb{Q}\) con las operaciones y el orden familiares. Los enteros\(\mathbb{Z}\) no forman un campo ya que para un entero\(m\) distinto de\(1\) o\(-1\), su recíproco no\(1 / m\) es un entero y, por lo tanto, el axioma 2 (d) anterior no se sostiene. En particular, el conjunto de enteros positve\(\mathbb{N}\) tampoco forma un campo. Como se mencionó anteriormente, los números reales se\(\mathbb{R}\) definirán como el campo ordenado que satisface una propiedad adicional descrita en la siguiente sección: el axioma de integridad.

    A partir de estos axiomas, se\(\mathbb{R}\) pueden derivar muchas propiedades familiares de. Algunos ejemplos se dan en la proposición siguiente. la prueba ilustra cómo se utilizan los axiomas dados en cada paso de la derivación.

    Proposición\(\PageIndex{1}\)

    Para\(x, y, z \in \mathbb{R}\), la siguiente retención:

    1. Si\(x+y=x+z\), entonces\(y=z\);
    2. \(-(-x)=x\);
    3. Si\(x \neq 0\) y\(xy=xz\), entonces\(y=z\);
    4. Si\(x \neq 0\), entonces\(1 /(1 / x)=x\);
    5. \(0 x=0=x 0\);
    6. \(-x=(-1) x\);
    7. \(x(-z)=(-x) z=-(x z)\).
    8. Si\(x>0\), entonces\(-x<0\); si\(x<0\), entonces\(-x>0\);
    9. Si\(x<y\) y\(z<0\), entonces\(xz>yz\);
    10. \(0<1\).
    Prueba
    1. Supongamos\(x+y=x+z\). Añadiendo\(-x\) (que existe por axioma (2d)) a ambos lados, tenemos

    \[(-x)+(x+y)=(-x)+(x+z).\]

    Entonces el axioma (1a) da

    \[[(-x)+x]+y=[(-x)+x]+z.\]

    Así, nuevamente por axioma (2d),\(0+y=0+z\) y, por axioma (1c),\(y=z\).

    1. Ya que\((-x)+x=0\), tenemos (por singularidad en axioma (2d))\(-(-x)=x\).

    Las pruebas de c. y d. son similares.

    1. Usando axioma (2e) tenemos\(0 x=(0+0) x=0 x+0 x\). Sumando\(-(0 x)\) a ambos lados (axioma (2d)) y usando axiomas (1a) y (1c), obtenemos

    \(0=-(0 x)+0 x=-(0 x)+(0 x+0 x)=(-(0 x)+0 x)+0 x=0+0 x=0 x\).

    Eso\(0 x=x 0\) se desprende del axioma (2b).

    1. Usando axiomas (2c) y (2e) obtenemos\(x+(-1) x=1 x+(-1) x=(1+(-1)) x\). Del axioma (2d) obtenemos\(1+(-1)=0\) y de la parte (e) obtenemos\(x+(-1) x=0 x=0\). De la singularidad en el axioma (2d) obtenemos\((-1) x=-x\) lo deseado.
    2. Usando axiomas (2e) y (1c) tenemos\(x z+x(-z)=x(z+(-z))=x 0=0\). Así, usando axioma (2d) lo conseguimos\(x(-z)=-(x z)\). La otra igualdad sigue de manera similar.
    3. De\(x>0\), usando axiomas (3c) y (1c) tenemos\(x+(-x)>0+(-x)=-x\). Así, usando axioma (2d), obtenemos\(0>-x\). El otro caso sigue de manera similar.
    4. Ya que\(z<0\), por la parte (h),\(-z>0\). Entonces por axioma (3d),\(x(-z)<y(-z)\). Combinando esto con la parte (g) obtenemos\(-x z<-y z\). Sumando\(xz+yz\) a ambos lados y usando los axiomas (1a), (3c), (1b) y (1c) obtenemos\(x y=(-x z+x z)+x y=-x z+(x z+x y)<-x y+(x z+x y)=-x y+(x y+x z)=(-x y+x y)+x z=x z\).
    5. Axioma (2c) da eso\(1 \neq 0\). Supongamos, a modo de contradicción, eso\(1 < 0\). Entonces por la parte (i),\(1 \cdot 1>0 \cdot 1\). Ya que\(1 \cdot 1=1\), por axioma (2c) y\(0 \cdot 1=0\) por parte (e), obtenemos\(1>0\) lo que es una contradicción. De ello se deduce que\(1>0\). \(\square\)

    Nótese que suponemos que el conjunto de todos los números naturales es un subconjunto de\(\mathbb{R}\) (y de cualquier campo ordenado, de hecho) identificando el\(1\) in\(\mathbb{N}\) con el axioma\(1\) in (2c) anterior, el número\(2\) con\(1+1\),\(3\) con\(1+1+1\), etc. Futhermore, ya que\(0<1\) ( de la parte (j) de la proposición anterior), axioma (3c) da\(1<2<3\), etc (en particular todos estos números son distintos). De manera similar, pueden incluir\(\mathbb{Z}\) y\(\mathbb{Q}\) como subconjuntos.

    Decimos que un número real\(x\) es irracional si\(x \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\), es decir, si no es racional.

    Definición\(\PageIndex{1}\)

    Dado\(x \in \mathbb{R}\), definir el valor absoluto de\(x\) por

    \ [|x|=\ left\ {\ begin {array} {ll}
    x, &\ text {if} x\ geq 0\ text {;}\\
    -x, &\ text {if} x<0\ text {.}
    \ end {array}\ derecho.\]

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    Figura\(1.1\): La función de valor absoluto.

    Las siguientes propiedades de valor absoluto se derivan directamente de la definición.

    Proposición\(\PageIndex{1}\)

    Vamos\(x, y, M \in \mathbb{R}\) y supongamos\(M>0\). Se conservan las siguientes propiedades:

    1. \(|x| \geq 0\);
    2. \(|-x|=|x|\);
    3. \(|x y|=|x||y|\);
    4. \(|x|<M\)si y sólo si\(-M<x<M\). (Lo mismo se mantiene si\(<\) se sustituye por\(\leq\).)
    Prueba

    Demostramos (d) y dejamos las otras partes como ejercicio.

    d) Supongamos\(|x|<M\). En particular, esto implica\(M>0\). Consideramos los dos casos por separado:\(x \geq 0\) y\(x<0\). Supongamos primero\(x \geq 0\). Entonces\(|x|=x\) y, de ahí,\(-M<0 \leq x=|x|<M\). Ahora supongamos\(x<0\). Entonces\(|x|=-x\). Por lo tanto,\(-x<M\) y, entonces\(x>-M\). De ello se deduce que\(-M<x<0<M\).

    Para lo contrario, supongamos\(-M<x<M\). Nuevamente, consideramos diferentes casos. Si\(x \geq 0\), entonces\(|x|=x<M\) como se desee. Siguiente supongamos\(x<0\). Ahora\(-M<x\) implica\(M>-x\). Entonces\(|x|=-x<M\). \(\square\)

    Teorema\(\PageIndex{3}\)

    Dado\(x, y \in \mathbb{R}\),

    \[|x+y| \leq|x|+|y|.\]

    Prueba

    De la observación anterior, tenemos

    \[-|x| \leq x \leq|x|\]

    \[-|y| \leq y \leq|y|.\]

    Sumando las desigualdades da

    \[-|x|-|y| \leq x+y \leq|x|+|y|.\]

    Ya que\(-|x|-|y|=-(|x|+|y|)\), la conclusión sigue de la Proposición 1.4.2 (d). \(\square\)

    Corolario\(\PageIndex{4}\)

    Para cualquier\(x, y \in \mathbb{R}\),

    \[|| x|-| y|| \leq|x-y|.\]

    Observación\(\PageIndex{5}\)

    El valor absoluto tiene una interpretación geométrica al considerar los números en un campo ordenado como puntos en una línea. el número\(|a|\) denota la distancia desde el número\(a\) hasta\(0\). De manera más general, el número\(d(a, b)=\mid a-b\) es la distancia entre los puntos\(a\) y\(b\). De la Proposición 1.4.2 se desprende fácilmente que\(d(x, y) \geq 0\), y\(d(x, y)=0\) si y sólo si\(x=y\). Además, la desigualdad triangular implica que

    \[d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y),\]

    para todos los números\(x,y,z\).

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Demostrar que\(n\) es un entero par si y solo si\(n^{2}\) es un entero par. (Pista: probar la parte “si” por contraposición, es decir, probar que si\(n\) es impar, entonces\(n^{2}\) es impar.)

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    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Probar partes c. y d. de la Proposición 1.4.1

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    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Vamos\(a, b, c, d \in \mathbb{R}\). Supongamos\(0<a<b\) y\(0<c<d\). \(a c<b d\)Demuéstralo.

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    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Demostrar las partes a., b., y c. de la Proposición 1.4.2.

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    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Demostrar Corolario 1.4.4.

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    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Dados dos números reales\(x\) y\(y\), demostrar que

    \[\max \{x, y\}=\frac{x+y+|x-y|}{2} \text { and } \min \{x, y\}=\frac{x+y-|x-y|}{2}.\]

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    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Vamos\(x, y, M \in \mathbb{R}\). Demostrar lo siguiente

    1. \(|x|^{2}=x^{2}\).
    2. \(|x|<M\)si y sólo si\(x<M\) y\(-x<M\).
    3. \(|x+y|=|x|+|y|\)si y sólo si\(x y \geq 0\).
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