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1.5: El axioma de la integridad para los números reales

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Hay muchos ejemplos de campos ordenados. No obstante, nos interesa el campo de los números reales. Hay un axioma adicional que distinguirá este campo ordenado de todos los demás. Para introducir nuestro último axioma para los números reales, primero necesitamos algunas definiciones.

    Definición\(\PageIndex{1}\): Upper Bound

    Dejar\(A\) ser un subconjunto de\(\mathbb{R}\). Un número\(M\) se llama límite superior de\(A\) si

    \[x \leq M \text { for all } x \in A.\]

    Si\(A\) tiene un límite superior, entonces\(A\) se dice que está delimitado arriba.

    Del mismo modo, un número\(L\) es un límite inferior de\(A\) si

    \[L \leq x \text{ for all } x \in A,\]

    y\(A\) se dice que está acotado por debajo si tiene un límite inferior. También decimos que\(A\) está acotado si está acotado tanto arriba como acotado abajo.

    De ello se deduce que un conjunto\(A\) está acotado si y sólo si existe\(M \in \mathbb{R}\) tal que\(|x| \leq M \text { for all } x \in A\) (ver Ejercicio 1.5.1)

    Definición\(\PageIndex{2}\): Least Upper Bound

    Dejar\(A\) ser un conjunto no vacío que está delimitado arriba. Llamamos a un número\(\alpha\) un límite mínimo superior o supremo de\(A\), si

    1. \(x \leq \alpha \text { for all } x \in A\)(es decir,\(\alpha\) es un límite superior de\(A\));
    2. Si\(M\) es un límite superior de\(A\), entonces\(\alpha \leq M\) (este medio\(\alpha\) es el más pequeño entre todos los límites superiores).

    Es fácil ver que si\(A\) tiene un supremo, entonces solo tiene uno (ver Ejercicio 1.5.2). En este caso, denotamos tal número por\(\sup A\).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    1. \(\sup [0,3)=\sup [0,3]=3\).
    2. \(\sup \{3,5,7,8,10\}=10\).
    3. \(\sup \left\{\frac{(-1)^{n}}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}=\frac{1}{2}\).
    4. \(\sup \left\{x^{2}:-2<x<1, x \in \mathbb{R}\right\}=4\).

    Solución

    a. Consideremos primero el conjunto\([0,3]=\{x \in \mathbb{R}: 0 \leq x \leq 3\}\). Por su misma definición vemos que para todos\(x \in[0,3]\),\(x \leq 3\). Así\(3\) es un límite superior. Esto verifica condición (1) en la definición de supremum. Siguiente supongamos que\(M\) es un límite superior de\([0,3]\). Ya que\(3 \in[0,3]\), obtenemos\(3 \leq M\). Esto verifica condición (2) en la definición de supremum. De ello se deduce que efectivamente\(3\) es el supremo de\([0,3]\).

    Considera a continuación el conjunto\([0,3)=\{x \in \mathbb{R}: 0 \leq x<3\}\). Se deduce como antes que\(3\) es un límite superior de\([0,3)\). Ahora supongamos que\(M\) es un límite superior de\([0,3)\) y asumamos a modo de contradicción que\(3>M\). Si\(0>M\), entonces no\(M\) es un límite superior de\([0,3)\) como\(0\) es un elemento de\([0,3)\). Si\(0 \leq M\), establecer\(x=\frac{M+3}{2}\). Entonces\(0 \leq x<3\) y\(x>M\), que muestra no\(M\) es un límite superior de\([0,3)\). Ya que obtenemos una contradicción en ambos casos, concluimos que\(3 \leq M\) y, de ahí,\(3\) es lo supremo de\([0,3)\).

    1. Claramente 10 es un límite superior del conjunto. Además, cualquier límite superior\(M\) debe satisfacer\(10 \leq M\) como\(10\) es un elemento del conjunto. Así\(10\) es lo supremo.
    2. Tenga en cuenta que si\(n \in \mathbb{N}\) es par, entonces\(n \geq 2\) y

    \(\frac{(-1)^{n}}{n}=\frac{1}{n} \leq \frac{1}{2}\).

    Si\(n \in \mathbb{N}\) es impar, entonces

    \(\frac{(-1)^{n}}{n}=\frac{-1}{n}<0<\frac{1}{2}\)

    Esto demuestra que\(\frac{1}{2}\) es un límite superior del conjunto. Ya que\(\frac{1}{2}\) es un elemento del conjunto, sigue como en el ejemplo anterior que\(\frac{1}{2}\) es el supremo.

    d. conjunto\(A=\left\{x^{2}:-2<x<1, x \in \mathbb{R}\right\}\). Si\(y \in A\), entonces\(y=x^2\) para algunos\(x\) satisfactorios\(-2<x<1\) y, de ahí,\(|x|<2\). Por lo tanto,\(y=x^{2}=|x|^{2}<4\). Así,\(4\) es un límite superior de\(A\). Supongamos que\(M\) es un límite superior de\(A\) pero\(M<4\). Elija un número\(y \in \mathbb{R}\) tal que\(M<y<4\) y\(0<y\). Set\(x=-\sqrt{y}\). Entonces\(-2<x<0<1\) y, entonces,\(y=x^{2} \in A\). No obstante,\(y>M\) lo que contradice el hecho de que\(M\) es un límite superior. Así\(4 \leq M\). Esto lo demuestra\(4=\sup A\).

    La siguiente proposición es conveniente para trabajar con suprema.

    Proposición\(\PageIndex{1}\)

    Let\(A\) Ser un subconjunto no vacío de\(\mathbb{R}\) que está delimitado arriba. Entonces\(\alpha=\sup A\) si un solo si

    (1')\(x \leq \alpha \text { for all } x \in A\);

    (2') Para cualquiera\(\varepsilon>0\), existe\(\alpha \in A\) tal que\(\alpha-\varepsilon<a\).

    Prueba

    Supongamos primero eso\(\alpha=\sup A\). Entonces claramente (1') sostiene (ya que esta es idéntica a la condición (1) en la definición de supremum). Ahora vamos\(\varepsilon>0\). Ya que\(\alpha-\varepsilon<\alpha\), condición (2) en la definición de supremum implica que no\(\alpha-\varepsilon\) es un límite superior de\(A\). Por lo tanto, debe existir un elemento\(a\) de\(A\) tal que\(\alpha-\varepsilon<a\) como se desee.

    Por el contrario, supongamos que las condiciones (1') y (2') se mantienen. Entonces todo lo que necesitamos mostrar es esa condición (2) en la definición de supremum sostiene. Seamos\(M\) un límite superior de\(A\) y supongamos, a modo de contradicción, eso\(M<\alpha\). Set\(\varepsilon=\alpha-M\). Por condición (2) en el enunciado, hay\(a \in A\) tal que\(a>\alpha-\varepsilon=M\). Esto contradice el hecho de que\(M\) es un límite superior. A continuación sigue la conclusión. \(\square\)

    El siguiente es un axioma de los números reales y se llama el axioma de integridad.

    El axioma de la completitud. Cada subconjunto no vacío\(A\) de\(\mathbb{R}\) eso está delimitado arriba tiene un límite superior mínimo. Es decir,\(\sup A\) existe y es un número real.

    Este axioma distingue los números reales de todos los demás campos ordenados y es crucial en las pruebas de los teoremas centrales del análisis.

    Existe una definición correspondiente para el infimum de un conjunto.

    Definición\(\PageIndex{3}\)

    Dejar\(A\) ser un subconjunto no vacío de\(\mathbb{R}\) que se limita a continuación. Llamamos a\(\beta\) un número mayor límite inferior o infimum de\(A\), denotado por\(\beta=\inf A\), si

    1. \(x \geq \beta \text { for all } x \in A\)(es decir,\(\beta\) es un límite inferior de\(A\));
    2. Si\(N\) es un límite inferior de\(A\), entonces\(\beta \geq N\) (este medio\(\beta\) es el más grande entre todos los límites inferiores).

    Usando el axioma de completitud, podemos probar que si un conjunto no empío está acotado por debajo, entonces existe su infimum (ver Ejercicio 1.5.5).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    1. \(\inf (0,3]=\inf [0,3]=0\).
    2. \(\inf \{3,5,7,8,10\}=3\).
    3. \(\inf \left\{\frac{(-1)^{n}}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}=-1\).
    4. \(\inf \left\{1+\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}=1\).
    5. \(\inf \left\{x^{2}:-2<x<1, x \in \mathbb{R}\right\}=0\).

    Solución

    Agrega texto aquí.

    La siguiente proposición es útil cuando se trata de infima y su prueba es completamente análoga a la de la Proposición 1.5.1.

    Proposición\(\PageIndex{2}\)

    Dejar\(A\) ser un subconjunto no vacío de\(\mathbb{R}\) que se limita a continuación. Entonces\(\beta=\inf A\) si y solo si

    (1')\(x \geq \beta \text{ for all } x \in A\);

    (2') Para cualquiera\(\varepsilon>0\), existe\(a \in A\) tal que\(a<\beta+\varepsilon\).

    Prueba

    Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará

    El siguiente es una propiedad básica de suprema. Otros adicionales se describen en los ejercicios.

    Teorema\(\PageIndex{3}\)

    Dejar\(A\) y\(B\) ser conjuntos no vacíos y\(A \subset B\). Supongamos que\(B\) está delimitado arriba. Entonces\(\sup A \leq \sup B\).

    Prueba

    Dejar\(M\) ser un límite superior para\(B\), luego para\(x \in B\),\(x \leq M\). En particular, también es cierto que\(x \leq M\) para\(x \in A\). Por lo tanto, también\(A\) está delimitado arriba. Ahora, dado que\(\sup B\) es un límite superior para\(B\), también es un límite superior para\(A\). Entonces, por la segunda condición en la definición de supremum,\(\sup A \leq \sup B\) como se desee. \(\square\)

    Será conveniente para el estudio de límites de secuencias y funciones introducir dos símbolos adicionales.

    Definición\(\PageIndex{4}\)

    El sistema de números reales extrendidos consiste en el campo real\(\mathbb{R}\) y los dos símbolos\(\infty\) y\(-\infty\). Conservamos el orden original\(\mathbb{R}\) y definimos

    \(-\infty<x<\infty\)

    para cada\(x \in \mathbb{R}\)

    El sistema extendido de números reales no forma un campo ordenado pero se acostumbra hacer las siguientes convenciones:

    1. Si\(x\) es un número real entonces

    \[x+\infty=\infty, \quad x+(-\infty)=-\infty\]

    1. Si\(x>0\), entonces\(x \cdot \infty=\infty, \quad x \cdot(-\infty)=-\infty\).
    2. Si\(x<0\), entonces\(x \cdot \infty=-\infty, \quad x \cdot(-\infty)=\infty\).
    3. \(\infty+\infty=\infty,-\infty+(-\infty)=-\infty, \infty \cdot \infty=(-\infty) \cdot(-\infty)=\infty, \text { and }(-\infty) \cdot \infty=\infty \cdot(-\infty)=-\infty\).

    Denotamos el número real extendido establecido por\(\overline{\mathbb{R}}\). Las expresiones\(0 . \infty\),\(\infty+(-\infty)\), y\((-\infty)+\infty\) se dejan indefinidas.

    El conjunto\(\overline{\mathbb{R}}\) con las convenciones anteriores serán convenciones que serán convenientes para describir resultados sobre límites en capítulos posteriores.

    Definición\(\PageIndex{5}\)

    Si no\(A \neq 0\) está delimitado arriba en\(\mathbb{R}\), vamos a escribir\(\sup A=\infty\). Si no\(A\) está acotado abajo adentro\(\mathbb{R}\), nos escurremos\(\inf A=-\infty\).

    Con esta definición, cada subconjunto no vacío de\(\mathbb{R}\) tiene un supremo y un infimum en\(\overline{\mathbb{R}}\). Para completar el cuadro adoptamos las siguientes convenciones para el conjunto vacío:\(\sup \emptyset=-\infty\) y\(\text { inf } \emptyset=\infty\).

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Demostrar que un subconjunto\(A\) de\(mathbb{R}\) está acotado si y sólo si hay\(M \in \mathbb{R}\) tal que\(|x| \leq M\) para todos\(x \in A\).

    Contestar

    Agrega textos aquí. No borre primero este texto.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    \(A\)Sea un conjunto no vacío y supongamos\(\alpha\) y\(\beta\) satisfaga las condiciones (1) y (2) en la Definición 1.5.2 (es decir, ambas son suprema de\(A\)). Demostrar que\(\alpha=\beta\)

    Contestar

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    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Para cada subconjunto de\(\mathbb{R}\) abajo, determine si está delimitado arriba, delimitado por debajo o ambos. Si está delimitado arriba (abajo) encuentra el supremum (infimum). Justifica todas tus conclusiones.

    1. \(\{1,5,17\}\)
    2. \([0,5)\)
    3. \(\left\{1+\frac{(-1)^{n}}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}\)
    4. \((-3, \infty)\)
    5. \(\left\{x \in \mathbb{R}: x^{2}-3 x+2=0\right\}\)
    6. \(\left\{x^{2}-3 x+2: x \in \mathbb{R}\right\}\)
    7. \(\left\{x \in \mathbb{R}: x^{3}-4 x<0\right\}\)
    8. \(\{x \in \mathbb{R}: 1 \leq|x|<3\}\)
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    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Supongamos\(A\) y\(B\) son subconjuntos no vacíos de los\(\mathbb{R}\) que están delimitados arriba. Definir

    \[A+B=\{a+b: a \in A \text { and } b \in B\}.\]

    Demostrar que\(A+B\) está delimitado arriba y

    \[\sup (A+B)=\sup A+\sup B.\]

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    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Dejar\(A\) ser un subconjunto no vacío de\(\mathbb{R}\). Definir\(-A=\{-a: a \in A\}\).

    1. Demostrar que si\(A\) está acotado por debajo, entonces\(-A\) está acotado arriba.
    2. Demostrar que si\(A\) está acotado por debajo, entonces\(A\) tiene un infimum en\(\mathbb{R}\) y\(\inf A=-\sup (-A)\).
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    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Dejar\(A\) ser un subconjunto no vacío de\(\mathbb{R}\) y\(\alpha \in \mathbb{R}\). Definir\(\alpha A=\{\alpha a: a \in A\}\). Demostrar las siguientes declaraciones:

    1. Si\(\alpha>0\) y\(A\) está delimitado arriba, entonces\(\alpha A\) se limita arriba y\(\sup \alpha A=\alpha \sup A\).
    2. Si\(\alpha>0\) y\(A\) está delimitado arriba, entonces\(\alpha A\) se limita por debajo y\(\inf \alpha A=\alpha \sup A\).
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    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Supongamos\(A\) y\(B\) son subconjuntos no vacíos de los\(\mathbb{R}\) que están delimitados a continuación. Demostrar que\(A+B\) está delimitado a continuación y

    \[\inf (A+B)=\inf A+\inf B.\]

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    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Let\(A,B\) Ser subconjuntos no vacíos de los\(\mathbb{R}\) que están delimitados a continuación. Demostrar que si\(A \subset B\), entonces

    \[\inf A \geq \inf B\]

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