1.6: Aplicaciones del axioma de integridad
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Aquí demostramos varias propiedades fundamentales de los números reales que son consecuencias directas del Axioma de la Integtud.
Las probabilidades asignadas a eventos por una función de distribución en un espacio muestral están dadas por.
- Prueba
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Supongamos por contradicción que\(\mathbb{N}\) está delimitada arriba. Dado que no\(\mathbb{N}\) está vacío,
\[\alpha=\sup \mathbb{N}\]
existe y es un número real. Por la Proposición 1.5.1 (con\(\varepsilon=1\)), existe\(n \in \mathbb{N}\) tal que
\[\alpha-1<n \leq \alpha.\]
Pero entonces\(n+1>\alpha\). Esto es una contradicción ya que\(n+1\) es un número natural. \(\square\)
El siguiente teorema presenta varias consecuencias inmediatas.
Se mantienen los siguientes:
- Para cualquiera\(x \in \mathbb{R}\), existe\(n \in \mathbb{R}\) tal que\(x<n\);
- Para cualquiera\(\varepsilon>0\), existe\(n \in \mathbb{R}\) tal que\(1 / n<\varepsilon\);
- Para cualquiera\(x>0\) y para cualquiera\(y \in \mathbb{R}\), existe\(n \in \mathbb{N}\) tal que\(y<nx)\);
- Para cualquiera\(x \in \mathbb{R}\), existe\(m \in \mathbb{Z}\) tal que\(m-1 \leq x<m\).
- Prueba
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(a) Fijar cualquier\(x \in \mathbb{R}\). Dado que no\(\mathbb{N}\) está delimitado arriba,\(x\) no puede ser un límite superior de\(\mathbb{N}\). Así existe\(n \in \mathbb{N}\) tal que\(x<n\).
(b) Fijar cualquier\(\varepsilon>0\). Entonces\(1 / \varepsilon\) es un número real. Por (1), existe\(n \in \mathbb{N}\) tal que
\(1 / \varepsilon<n\)
Esto implica\(1 / n<\varepsilon\).
(c) Sólo necesitamos aplicar (a) para el número real\(y / x\).
d) Primero consideramos el caso donde\(x>0\). Definir el conjunto
\(A=\{n \in \mathbb{N}: x<n\}\)
De la parte (a), no\(A\) está vacía. Dado que\(A\) es un subconjunto de\(\mathbb{N}\), por la Propiedad de Ordenamiento de Bien de los números naturales,\(A\) tiene un elemento más pequeño\(\ell\). En particular,\(x<\ell\) y no\(\ell-1\) está en\(A\). Ya que\(\ell \in \mathbb{N}\), ya sea\(\ell-1 \in \mathbb{N}\) o\(\ell-1=0\). Si\(\ell-1 \in \mathbb{N}\), ya que\(\ell-1 \notin A\) conseguimos\(\ell-1 \leq x\). Si\(\ell-1=0\), tenemos\(\ell-1=0<x\). Por lo tanto, en ambos casos tenemos\(\ell-1 \leq x<\ell\) y la conclusión sigue con\(m= \ell\).
En el caso\(x \leq 0\), por la parte (1), existe\(N \in \mathbb{N}\) tal que
\(|x|<N\).
En este caso,\(-N<x<N\), entonces\(x+N>0\). Entonces, por el resultado recién obtenido para los números positivos, existe un número natural\(k\) tal que\(k-1 \leq x+N<k\). Esto implica
\(k-N-1 \leq x<k-N\).
\( m=k-N\)Fijando, sigue la conclusión. La prueba ya está completa. \(\square\)
Vamos\(A=\sup \left\{1-\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}\). Eso lo afirmamos\(\sup A=1\).
Solución
Utilizamos la Proposición 1.5.1. Ya que\(1-1 / n<1\) para todos\(n \in \mathbb{N}\), obtenemos condición (1'). siguiente, vamos\(\varepsilon>0\). Del Teorema 1.6.2 (b) podemos encontrar\(n \in \mathbb{N}\) tal que\(\frac{1}{n}<\varepsilon\). Entonces
\[1-\varepsilon<1-\frac{1}{n}.\]
Esto prueba condición (2') con\(a=1-\frac{1}{n}\) y completa la prueba.
Si\(x\) y\(y\) son dos números reales tales que\(x<y\), entonces hay extistas un número racional\(r\) tal que
\[x<r<y.\]
- Prueba
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Vamos a probar que existe un entero\(m\) y un entero positivo\(n\) tal que
\[x<m / n<y,\]
o, equivalentemente,
\[n x<m<n y=n x+n(y-x)\]
Ya que\(y-x>0\), por Teorema 1.6.2 (3), existe\(n \in \mathbb{N}\) tal que\(1<n(y-x)\). Entonces
\[n y=n x+n(y-x)>n x+1.\]
Por Teorema 1.6.2 (4), uno puede elegir de\(m \in \mathbb{Z}\) tal manera que
\[m-1 \leq n x<m.\]
Entonces\(n x<m \leq n x+1<n y\). Por lo tanto,
\[x<m / n<y.\]
La prueba ya está completa. \(\square\)
Demostraremos en una sección posterior (ver Ejemplos 3.4.2 y 4.3.1) que existe un número real positivo (único)\(x\) tal que\(x^{2}=2\). Denotamos ese número por\(\sqrt{2}\). Los siguientes resultados muestran, en particular, eso\(\mathbb{R} \neq \mathbb{Q}\).
El número\(\sqrt{2}\) es irracional.
- Prueba
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Supongamos, a modo de contradicción, eso\(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}\). Luego hay enteros\(r\) y\(s\) con\(s \neq 0\), tal que
\[\sqrt{2}=\frac{r}{s}.\]
Al cancelar los factores comunes de\(r\) y\(s\), podemos suponer que\(r\) y no\(s\) tener factores comunes.
Ahora, al cuadrar ambos lados de la ecuación anterior, obtenemos
\[2=\frac{r^{2}}{s^{2}},\]
y, por lo tanto,
\[2 s^{2}=r^{2}.\]
De ello se deduce que\(r^{2}\) es un entero par. Por lo tanto,\(r\) es un entero par (ver Ejercicio 1.4.1). Entonces podemos escribir\(r=2j\) para algún entero\(j\). De ahí\(r^{2}=4j^{2}\). Sustituyendo en (1.3), obtenemos\(s^{2}=2 j^{2}\). Por lo tanto,\(s^{2}\) es parejo. Concluimos como antes que eso\(s\) es parejo. Así, ambos\(r\) y\(s\) tienen un factor común, que es una contradicción. \(\square\)
El siguiente teorema muestra que los números irracionales son tan ubicuos como los números racionales.
Dejemos\(x\) y\(y\) sean dos números reales tales que\(x<y\). Entonces existe un número irracional\(t\) tal que
\[x<t<y.\]
- Prueba
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Desde entonces\(x<y\), uno tiene
\[x-\sqrt{2}<y-\sqrt{2}\]
Por Teorema 1.6.3, existe un número racional\(r\) tal que
\[x-\sqrt{2}<r<y-\sqrt{2}\]
Esto implica
\[x<r+\sqrt{2}<y.\]
Dado que\(r\) es racional, el número\(t=r+\sqrt{2}\) es irracional (ver Ejercicio 1.6.4) y\(x<t<y\). \(\square\)
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Para cada uno de los conjuntos a continuación, determine si está delimitado arriba, delimitado por debajo o ambos. Si está delimitado arriba (abajo) encuentra el supremum (infimum). Justifica todas tus conclusiones.
- \(\left\{\frac{3 n}{n+4}: n \in \mathbb{N}\right\}\)
- \(\left\{(-1)^{n}+\frac{1}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}\)
- \(\left\{(-1)^{n}-\frac{(-1)^{n}}{n}: n \in \mathbb{N}\right\}\)
- Contestar
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Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Que\(r\) sea un número racional tal que\(0<r<1\). Demostrar que hay\(n \in \mathb{N}\) tal que
\[\frac{1}{n+1}<r \leq \frac{1}{n}.\]
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Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
Vamos\(x \in \mathbb{R}\). Demostrar que para cada\(n \in \mathbb{N}\), hay\(r \in \mathbb{Q}\) tal que\(|x-r|<\frac{1}{n}\).
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Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Demostrar que si\(x\) es un número racional y\(y\) es un número irracional, entonces\(x+y\) es irracional. ¿De qué se puede decir\(xy\)?
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Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Demostrar que entre dos números reales\(a\) y\(b\) con\(a<b\), hay infinitamente muchos números racionales.
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Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
Demostrar que entre dos números reales\(a\) y\(b\) con\(a<b\), hay infinitamente muchos números irracionales.
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