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# 3.1: Límites de Funciones

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## Definición$$\PageIndex{1}$$

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Decimos que$$f$$ tiene un límite en$$\bar{x}$$ si existe un número real$$\ell$$ tal que por cada$$\varepsilon>0$$, existe$$\delta>0$$ con

$|f(x)-\ell|<\varepsilon$

para todos$$x \in D$$ para los cuales$$0<|x-\bar{x}|<\delta$$. En este caso, escribimos

$\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell.$

## Observación$$\PageIndex{1}$$

Obsérvese que el punto límite$$\bar{x}$$ en la definición de limt puede ser o no un elemento del dominio$$D$$. En todo caso, la desigualdad sólo$$|f(x)-\ell|<\varepsilon$$ necesita ser satisfecha por elementos de$$D$$.

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$Déjese dar por$$f(x)=5 x-7$$. Eso lo demostramos$$\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=3$$.

Solución

Vamos$$\varepsilon>0$$. Primero tenga en cuenta que$$|f(x)-2|=|5 x-7-3|=|5 x-10|=5|x-2|$$. Esto sugiere la elección$$\delta=\varepsilon / 5$$. Entonces, si$$|x-2|<\delta$$ tenemos

$|f(x)-2|=5|x-2|<5 \delta=\varepsilon. \nonumber$

## Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

$$f:[0,1) \rightarrow \mathbb{R}$$Déjese dar por$$f(x)=x^{2}+x$$. Dejar$$\bar{x} =1$$ y$$\ell = 2$$.

Solución

Primero tenga en cuenta que$$|f(x)-\ell|=\left|x^{2}+x-2\right|=|x-1||x+2|$$ y para$$x \in[0,1)$$. $$|x+2| \leq|x|+2 \leq 3$$. Ahora, dado$$\varepsilon>0$$, elige$$\delta=\varepsilon / 3$$. Entonces, si$$|x-1|<\delta$$ y$$x \in[0,1)$$, tenemos

$|f(x)-\ell|=\left|x^{2}+x-2\right|=|x-1||x+2|<3 \delta=3 \frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon. \nonumber$

Esto demuestra que$$\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=2$$.

## Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$Déjese dar por$$f(x)=x^{2}$$. Eso lo demostramos$$\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=4$$.

Solución

Primero tenga en cuenta que$$|f(x)-4|=\left|x^{2}-4\right|=|(x-2)(x+2)|=|x-2||x+2|$$. Ya que el dominio es toda$$\mathbb{R}$$ la expresión no$$|x+2|$$ está acotada y no podemos proceder como en Ejemplo$$\PageIndex{2}$$. No obstante, sólo nos interesan valores$$x$$ cercanos$$2$$ y, así, imponemos la condición$$\delta \leq 1$$. Si$$|x-2|<1$$, entonces$$-1<x-2<1$$ y, entonces,$$1<x<3$$. De ello se deduce, para tal$$x$$, aquello$$|x|<3$$ y, de ahí$$|x|+2<5$$.

Ahora, dado$$\varepsilon>0$$ que elegimos$$\delta=\min \left\{1, \frac{\varepsilon}{5}\right\}$$. Entonces, siempre que$$|x-2|<\delta$$ lleguemos

$|f(x)-4|=|x-2| x+2|\leq| x-2|(|x|+2)<\delta 5 \leq \varepsilon. \nonumber$

## Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$Déjese dar por$$f(x)=\frac{3 x-5}{x^{2}+3}$$. Eso lo demostramos$$\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=-\frac{1}{2}$$.

Solución

Primero miramos la expresión$$\left|f(x)-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|$$ y tratamos de identificar un factor$$|x-1|$$ (porque aquí$$\bar{x} = 1$$.

$\left|f(x)-\left(-\frac{1}{2}\right)\right|=\left|\frac{3 x-5}{x^{2}+3}+\frac{1}{2}\right|=\left|\frac{6 x-10+x^{2}+3}{x^{2}+3}\right|=\frac{|x-1||x+7|}{2\left(x^{2}+3\right)} \leq \frac{1}{6}|x-1||x+7|. \nonumber$

Procediendo como en el ejemplo anterior, si$$|x-1|<1$$ obtenemos$$-1<x-1<1$$ y, así,$$0<x<2$$. Así$$|x|<2$$ y$$|x+7| \leq|x|+2<9$$.

Ahora, dado$$\varepsilon>0$$, elegimos$$\delta=\min \left\{1, \frac{2}{3} \varepsilon\right\}$$. De ello se deduce que si$$|x-1|<\delta$$ conseguimos

$\left|f(x)-\left(-\frac{1}{2}\right)\right| \leq \frac{|x+7|}{6}|x-1|<\frac{9}{6} \delta \leq \varepsilon. \nonumber$

El siguiente teorema nos permitirá aplicar nuestros resultados anteriores sobre límites de secuencias para obtener nuevos resultados sobre límites de funciones.

## Teorema$$\PageIndex{2}$$: Sequential Characterization of Limits

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Entonces

$\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell$

si y solo si

$\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\ell$

para cada secuencia$$\left\{x_{n}\right\}$$ en$$D$$ tal que$$x_{n} \neq \bar{x}$$ para cada$$n$$ y$$\left\{x_{n}\right\}$$ converge a$$\bar{x}$$.

Prueba

Supongamos que (3.1) sostiene. $$\left\{x_{n}\right\}$$Sea una secuencia en$$D$$ con$$x_{n} \neq \bar{x}$$ para cada$$n$$ y tal que$$\left\{x_{n}\right\}$$ converja$$\bar{x}$$ a. dado cualquiera$$\varepsilon>0$$, existe$$\delta > 0$$ tal que$$|f(x)-\ell|<\varepsilon$$ cuando$$x \in D$$ y$$0<|x-\bar{x}|<\delta$$. Entonces existe$$N \in \mathbb{N}$$ con$$0<\left|x_{n}-\bar{x}\right|<\delta$$ para todos$$n \geq N$$. Para ello$$n$$, tenemos

$\left|f\left(x_{n}\right)-\ell\right|<\varepsilon.$

Esto implica (3.2).

Por el contrario, supongamos que (3.1) es falso. Entonces existe$$\varepsilon_{0}>0$$ tal que para cada$$\delta > 0$$, existe$$x \in D$$ con$$0<|x-\bar{x}|<\delta$$ y$$|f(x)-\ell| \geq \varepsilon_{0}$$. Así, para cada$$n \in \mathbb{N}$$, hay salidas$$x_{n} \in D$$ con$$0<\left|x_{n}-\bar{x}\right|<\frac{1}{n}$$ y$$\left|f\left(x_{n}\right)-\ell\right| \geq \varepsilon_{0}$$. Por el teorema squeeze (Teorema 2.1.6), la secuencia$$\left\{x_{n}\right\}$$ converge a$$\bar{x}$$. Además,$$x_{n} \neq \bar{x}$$ para cada$$n$$. Esto demuestra que (3.2) es falso. De ello se deduce que (3.2) implica (3.1) y la prueba es completa.

$$\square$$

## Corolario$$\PageIndex{3}$$

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. $$f$$tiene un límite en$$\bar{x}$$, entonces este límite es único.

Prueba

Supongamos por contradicción que$$f$$ tiene dos límites distintos$$\ell_{1}$$ y$$\ell_{2}$$. $$\left\{x_{n}\right\}$$ser una secuencia en la$$D \backslash\{\bar{x}\}$$ que converja a$$\bar{x}$$. Por el Teorema 3.1.2, la secuencia$$\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$$ converge a dos límites diferentes$$\ell_{1}$$ y$$\ell_{2}$$. esto es una contradicción con el Teorema 2.1.3. $$\square$$

El siguiente corolario sigue directamente del Teorema 3.1.2.

## Corolario$$\PageIndex{4}$$

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Entonces$$f$$ no tiene límite en$$\bar{x}$$ si y sólo si existe una secuencia$$\left\{x_{n}\right\}$$ en$$D$$ tal que$$x_{n} \neq \bar{x}$$ para cada uno$$n$$,$$\left\{x_{n}\right\}$$ converge a$$\bar{x}$$, y$$\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$$ no converge.

Prueba

Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará

## Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Considere la función Dirichlet$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ dada por

\ [f (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
1, &\ text {if} x\ in\ mathbb {Q}\\\
0, &\ text {if} x\ in\ mathbb {Q} ^ {c}
\ end {array}\ right.\]

Entonces$$\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)$$ no existe para ninguna$$\bar{x} \in \mathbb{R}$$.

Solución

En efecto, fijar$$\bar{x} \in \mathbb{R}$$ y elegir dos secuencias$$\left\{r_{n}\right\}$$,$$\left\{s_{n}\right\}$$ convergiendo a$$\bar{x}$$ tal que$$r_{n} \in \mathbb{Q}$$ y$$s_{n} \notin \mathbb{Q}$$ para todos$$n \in \mathbb{N}$$. Definir una nueva secuencia$$\left\{x_{n}\right\}$$

\ [x_ {n} =\ left\ {\ begin {array} {ll}
r_ {k}, &\ text {if} n=2 k\\
s_ {k}, &\ text {if} n=2 k-1
\ end {array}\ right.\]

Es claro que$$\left\{x_{n}\right\}$$ converge a$$\bar{x}$$. Además, ya que$$\left\{f\left(r_{n}\right)\right\}$$ converge hacia$$1$$ y$$\left\{f\left(s_{n}\right)\right\}$$ converge hacia$$0$$. El teorema 2.1.9 implica que la secuencia$$\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$$ no converge. Se desprende de la caracterización secuencial de límites que$$\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)$$ no existe.

## Teorema$$\PageIndex{5}$$

Dejar$$f, g: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Supongamos que

$\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell_{1}, \lim _{x \rightarrow \bar{x}} g(x)=\ell_{2} ,$

y que existe$$\delta>0$$ tal que

$f(x) \leq g(x) \text { for all } x \in B(\bar{x} ; \delta) \cap D, x \neq \bar{x} .$

Entonces$$\ell_{1} \leq \ell_{2}$$

Prueba

$$\left\{x_{n}\right\}$$Sea una secuencia en$$B(\bar{x} ; \delta) \cap D=(\bar{x}-\delta, \bar{x}+\delta) \cap D$$ que converja hacia$$\bar{x}$$ y$$x_{n} \neq \bar{x}$$ para todos$$n$$. Por Teorema 3.1.2,

$\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\ell_{1} \text { and } \lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_{n}\right)=\ell_{2} .$

Ya que$$f\left(x_{n}\right) \leq g\left(x_{n}\right)$$ para todos$$n \in \mathbb{N}$$, applyig Teorema 2.1.5, obtenemos$$\ell_{1} \leq \ell_{2}$$. $$\square$$

## Teorema$$\PageIndex{6}$$

Dejar$$f, g: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Supongamos

$\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell_{1}, \lim _{x \rightarrow \bar{x}} g(x)=\ell_{2} ,$

y$$\ell_{1}<\ell_{2}$$. Entonces existe$$\delta > 0$$ tal que

$f(x)<g(x) \text { for all } x \in B(\bar{x} ; \delta) \cap D, x \neq \bar{x} .$

Prueba

Elija$$\varepsilon>0$$ tal que$$\ell_{1}+\varepsilon<\ell_{2}-\varepsilon$$ (equivalentemente, tal que$$\varepsilon<\frac{\ell_{2}-\ell_{1}}{2}$$). Entonces existe$$\delta > 0$$ tal que

$\ell_{1}-\varepsilon<f(x)<\ell_{1}+\varepsilon \text { and } \ell_{2}-\varepsilon<g(x)<\ell_{2}+\varepsilon$

para todos$$x \in B(\bar{x} ; \delta) \cap D, x \neq \bar{x}$$. Por lo tanto,

$f(x)<\ell_{1}+\varepsilon<\ell_{2}-\varepsilon<g(x) \text { for all } x \in B(\bar{x} ; \delta) \cap D, x \neq \bar{x} .$

La prueba ya está completa. $$\square$$

## Teorema$$\PageIndex{7}$$

Dejar$$f, g, h: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Supongamos que existe$$\delta > 0$$ tal que$$f(x) \leq g(x) \leq h(x)$$ para todos$$x \in B(\bar{x} ; \delta) \cap D, x \neq \bar{x}$$. Si$$\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\lim _{x \rightarrow \bar{x}} h(x)=\ell$$, entonces$$\lim _{x \rightarrow \bar{x}} g(x)=\ell$$.

Prueba

La prueba es directa usando el Teorema 2.1.6 y el Teorema 3.1.2. $$\square$$

## Observación$$\PageIndex{8}$$

Vamos a aprobar la siguiente convención. Cuando escribimos$$\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)$$ sin especificar el dominio$$D$$ de$$f$$ asumiremos que el$$D$$ es el subconjunto más grande de$$\mathbb{R}$$ tal que si$$x \in D$$, entonces$$f(x)$$ resulta en un número real. Por ejemplo, en

$\lim _{x \rightarrow 2} \frac{1}{x+3}$

asumimos$$D=\mathbb{R} \backslash\{-3\}$$ y en

$\lim _{x \rightarrow 1} \sqrt{x}$

asumimos$$D=[0, \infty)$$.

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Utilice la definición de límite para probar que

1. $$\lim _{x \rightarrow 2} 3 x-7=-1$$
2. $$\lim _{x \rightarrow 3}\left(x^{2}+1\right)=10$$.
3. $$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+3}{x+1}=2$$.
4. $$\lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{x}=0$$.
5. $$\lim _{x \rightarrow 2} x^{3}=8$$.
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Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Demostrar que no existen los siguientes límites.

1. $$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{|x|}$$.
2. $$\lim _{x \rightarrow 0} \cos (1 / x)$$.
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Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Demostrar que si$$\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell$$, entonces

$\lim _{x \rightarrow \bar{x}}|f(x)|=|\ell| .$

Dé un ejemplo para demostrar que el convers no es cierto en general.

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Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Dejar$$f: D \rightarrow \mathbb{R}$$ y dejar$$\bar{x}$$ ser un punto límite de$$D$$. Supongamos$$f(x) \geq 0$$ para todos$$x \in D$$. Demostrar que si$$\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell$$, entonces

$\lim _{x \rightarrow \bar{x}} \sqrt{f(x)}=\sqrt{\ell} .$

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Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Encuentra$$\lim _{x \rightarrow 0} x \sin (1 / x)$$.

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Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Dejar$$f$$ ser la función dada por

\ [f (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
x, &\ text {if} x\ in\ mathbb {Q}\ cap [0,1]\ text {;}\\
1-x, &\ text {if} x\ in\ mathbb {Q} ^ {c}\ cap [0,1]\ text {.}
\ end {array}\ derecho.\]

Determinar cuáles de los siguientes límites existen. Para los que existen encuentran sus valores.

1. $$\lim _{x \rightarrow 1 / 2} f(x)$$.
2. $$\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$$.
3. $$\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$$.
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