3.2: Teoremas de Límite

Aquí exponemos y probamos diversos teoremas que facilitan el cómputo de límites generales.

Definición\(\PageIndex{1}\)

Dejemos\(f, g: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejemos\(c\) ser una constante. Las funciones\(f+g\),\(fg\), y\(cf\) se definen respectivamente como funciones de\(D\) a\(\mathbb{R}\) por

\((f+g)(x)=f(x)+g(x)\),

\((f g)(x)=f(x) g(x)\),

\((c f)(x)=c f(x)\)

para\(x \in D\). Vamos\(\widetilde{D}=\{x \in D: g(x) \neq 0\}\). La función\(\dfrac{f}{g}\) se define como una función de\(\widetilde{D}\) a\(\mathbb{R}\) por

\[\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\]

para\(x \in \widetilde{D}\).

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(f, g: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(c \in \mathbb{R}\). Supongamos que\(\bar{x}\) es un punto límite de\(D\) y

\[\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell, \lim _{x \rightarrow \bar{x}} g(x)=m.\]

Entonces

1. \(\lim _{x \rightarrow \bar{x}}(f+g)(x)=\ell+m\),
2. \(\lim _{x \rightarrow \bar{x}}(f g)(x)=\ell m\),
3. \(\lim _{x \rightarrow \bar{x}}(c f)(x)=c \ell\),
4. \(\lim _{x \rightarrow \bar{x}}\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=\dfrac{\ell}{m}\)siempre que\(m \neq 0\).

Prueba

Primero probemos (a). \(\left\{x_{n}\right\}\)Sea una secuencia en la\(D\) que converja hacia\(\bar{x}\) y\(x_{n} \neq \bar{x}\) para cada uno\(n\). Por Teorema 3.1.2,

\[\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\ell \text { and } \lim _{n \rightarrow \infty} g\left(x_{n}\right)=m.\]

Del Teorema 2.2.1 se deduce que

\[\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(x_{n}\right)+g\left(x_{n}\right)\right)=\ell+m.\]

Aplicando nuevamente el Teorema 3.1.2, obtenemos\(\lim _{x \rightarrow \bar{x}}(f+g)(x)=\ell+m\). Las pruebas de (b) y (c) son similares.

Demostremos ahora que si\(m \neq 0\), entonces\(\bar{x}\) es un punto límite de\(\widetilde{D}\). Ya que\(\bar{x}\) es un punto límite de\(D\), hay una secuencia\(\left\{u_{k}\right\}\) en\(D\) converger a\(\bar{x}\) tal que\(u_{k} \neq \bar{x}\) para cada uno\(k\). Ya que\(m \neq 0\), se deduce de una fácil aplicación del Teorema 3.1.6 que existe\(\delta > 0\) con

\(g(x) \neq 0\)siempre que\(0<|x-\bar{x}|<\delta, x \in D.\)

Esto implica

\(x \in \widetilde{D}\)siempre que\(0<|x-\bar{x}|<\delta, x \in D.\)

Entonces\(u_{k} \in \widetilde{D}\) para todos\(k\) suficientemente grandes, y por lo tanto\(\bar{x}\) es un punto límite de\(\widetilde{D}\). El resto del comprobante de (d) podrá cumplimentarse fácilmente siguiendo el comprobante de (a). \(\square\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Considerar\(f: \mathbb{R} \backslash\{-7\} \rightarrow \mathbb{R}\) dado por\(f(x)=\dfrac{x^{2}+2 x-3}{x+7}\).

Solución

Luego, combinando todas las partes del Teorema 3.2.1, obtenemos

\[\begin{align*} \lim _{x \rightarrow-2} f(x) &=\dfrac{\lim _{x \rightarrow-2}\left(x^{2}+2 x-3\right)}{\lim _{x \rightarrow-2}(x+7)}=\dfrac{\lim _{x \rightarrow-2} x^{2}+\lim _{x \rightarrow-2} 2 x-\lim _{x \rightarrow-2} 3}{\lim _{x \rightarrow-2} x+\lim _{x \rightarrow-2} 7} \\[4pt] &=\dfrac{\left(\lim _{x \rightarrow-2} x\right)^{2}+2 \lim _{x \rightarrow-2} x-\lim _{x \rightarrow-2} 3}{\lim _{x \rightarrow-2} x+\lim _{x \rightarrow-2} 7}=\dfrac{(-2)^{2}+2(-2)-3}{-2+7}=-\dfrac{3}{5} \end{align*}\]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Se procede de la misma manera para calcular el siguiente límite.

\[\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{1+(2 x-1)^{2}}{x^{2}+7}. \nonumber\]

Solución

\[ \begin{align*} \lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{1+(2 x-1)^{2}}{x^{2}+7} &=\dfrac{\lim _{x \rightarrow 0} 1+\lim _{x \rightarrow 0}(2 x-1)^{2}}{\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}+\lim _{x \rightarrow 0} 7} \\[4pt] &=\dfrac{1+1}{0+7}=\dfrac{2}{7}. \end{align*}\]

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Ahora consideramos

\[\lim _{x \rightarrow-1} \dfrac{x^{2}+6 x+5}{x+1}. \nonumber\]

Solución

Dado que el límite del denominador no\(0\) podemos aplicar directamente la parte (d) del Teorema 3.2.1. En cambio, primero simplificamos la expresión teniendo en cuenta que en la definición de límite nunca necesitamos evaluar la expresión en el propio punto límite. En este caso, esto significa que podemos suponer que\(x \neq-1\). Para cualquiera de tales\(x\) tenemos

\[\dfrac{x^{2}+6 x+5}{x+1}=\dfrac{(x+1)(x+5)}{x+1}=x+5. \nonumber\]

Por lo tanto,

\[\lim _{x \rightarrow-1} \dfrac{x^{2}+6 x+5}{x+1}=\lim _{x \rightarrow-1} x+5=4. \nonumber\]

Teorema\(\PageIndex{2}\): Cauchy's criterion

Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(\bar{x}\) ser un punto límite de\(D\). Entonces\(f\) tiene un límite en\(\bar{x}\) si y solo si para alguno\(\varepsilon>0\), existe\(\delta > 0\) tal que

\(|f(r)-f(s)|<\varepsilon\)cuando\(r, s \in D\) y\(0<|r-\bar{x}|<\delta, 0<|s-\bar{x}|<\delta .\)

Prueba

Supongamos\(\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell\). Dado\(\varepsilon>0\), existe\(\delta > 0\) tal que

\(|f(x)-\ell|<\dfrac{\varepsilon}{2}\)cuando\(x \in D\) y\(0<|x-\bar{x}|<\delta .\)

Así, para\(r, s \in D\) con\(0<|r-\bar{x}|<\delta\) y\(0<|s-\bar{x}|<\delta\), tenemos

\[|f(r)-f(s)| \leq|f(r)-\ell|+|\ell-f(s)|<\varepsilon .\]

Demostremos lo contrario. Fijar una secuencia\(\left\{u_{n}\right\}\) en\(D\) tal con\(\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=\bar{x}\) y\(u_{n} \neq \bar{x}\) para cada\(n\). Dado\(\varepsilon>0\), existe\(\delta > 0\) tal que

\(|f(r)-f(s)|<\varepsilon\)cuando\(r, s \in D\) y\(0<|r-\bar{x}|<\delta\),\(0<|s-\bar{x}|<\delta .\)

Entonces existe\(N \in \mathbb{N}\) satisfactorio

\(0<\left|u_{n}-\bar{x}\right|<\delta\)para todos\(n \geq N .\)

Esto implica

\(\left|f\left(u_{n}\right)-f\left(u_{m}\right)\right|<\varepsilon\)para todos\(m, n \geq N .\)

Así,\(\left\{f\left(u_{n}\right)\right\}\) es una secuencia de Cauchy, y por lo tanto existe\(\ell \in \mathbb{R}\) tal que

\[\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(u_{n}\right)=\ell .\]

Ahora demostramos que\(f\) tiene límite\(\ell\) en el\(\bar{x}\) uso del Teorema 3.1.2. Que\(\left\{x_{n}\right\}\) sea una secuencia en\(D\) tal que\(\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\bar{x}\) y\(x_{n} \neq \bar{x}\) para cada uno\(n\). Por el argumento anterior, existe\(\ell^{\prime} \in \mathbb{R}\) tal que

\[\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\ell^{\prime} .\]

Fijar cualquiera\(\varepsilon > 0\) y dejar\(\delta > 0\) satisfacer (3.3). Existe\(K \in \mathbb{N}\) tal que

\(\left|u_{n}-\bar{x}\right|<\delta\)y\(\left|x_{n}-\bar{x}\right|<\delta\)

para todos\(n \geq K\). Entonces\(\left|f\left(u_{n}\right)-f\left(x_{n}\right)\right|<\varepsilon\) para tal\(n\). Dejando\(n \rightarrow \infty\), tenemos\(\left|\ell-\ell^{\prime}\right| \leq \varepsilon\). Así pues,\(\ell=\ell^{\prime}\) ya que\(\varepsilon\) es arbitrario. Ahora se deduce del Teorema 3.1.2 que\(\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell\). \(\square\)

El resto de esta sección discutió algunos límites especiales y sus propiedades.

Definición\(\PageIndex{2}\): Left Limit Point and Right Limit Point

Dejar\(a \in \mathbb{R}\) y\(\delta > 0\). Definir

\[B_{-}(a ; \delta)=(a-\delta, a) \text { and } B_{+}(a ; \delta)=(a, a+\delta) .\]

Dado un subconjunto\(A\) de\(\mathbb{R}\), decimos que\(a\) es un punto límite izquierdo de\(A\) si para alguno\(\delta > 0\),\(B_{-}(a ; \delta)\) contiene un número infinito de elementos de\(A\). Del mismo modo,\(a\) se denomina punto límite derecho de\(A\) si para alguno\(\delta>0\),\(B_{+}(a ; \delta)\) contiene un número infinito de elementos de\(A\).

De la definición se desprende que\(a\) es un punto límite de\(A\) si y sólo si es un punto límite izquierdo de\(A\) o es un punto límite derecho de\(A\).

Definición\(\PageIndex{3}\)

(Límites unilaterales) Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(\bar{x}\) ser un punto límite izquierdo de\(D\). Escribimos

\[\lim _{x \rightarrow \bar{x}^{-}} f(x)=\ell\]

si por cada\(\varepsilon > 0\), existe\(\delta > 0\) tal que

\[|f(x)-\ell|<\varepsilon \text { for all } x \in B_{-}(\bar{x} ; \delta) .\]

Decimos que\(\ell\) es el límite zurdo de\(f\) at\(\bar{x}\). El límite derecho de\(f\) at\(\bar{x}\) can bee se define de manera similar y se denota\(\lim _{x \rightarrow \bar{x}^{+}} f(x)\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Considere la función\(f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por

\[f(x)=\dfrac{|x|}{x} .\]

Solución

Vamos\(\bar{x} = 0\). Tenga en cuenta primero que\(0\) es un punto límite del conjunto\(D=\mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}\). Ya que\(x>0\), para\(f(x)=x / x=1\), tenemos, tenemos

\[\lim _{x \rightarrow \bar{x}^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} 1=1 .\]

De igual manera,\(x<0\) pues tenemos\(f(x)=-x / x=-1\). Por lo tanto,

\[\lim _{x \rightarrow \bar{x}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}-1=-1 .\]

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Considere la función\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada por

\ [f (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
x+4, &\ text {if} x<-1\ text {;}\\
x^ {2} -1, &\ text {si} x\ geq-1\ texto {.}
\ end {array}\ derecho.\]

Solución

Tenemos

\[\lim _{x \rightarrow-1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1^{+}} x^{2}-1=0 ,\]

y

\[\lim _{x \rightarrow-1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1^{-}} x+4=3 ,\]

El siguiente teorema se desprende directamente de la definición de límites unilaterales.

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(\bar{x}\) ser tanto un punto límite izquierdo de\(D\) como un punto límite derecho de\(D\). Entonces

\[\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\ell\]

si y solo si

\[\lim _{x \rightarrow \bar{x}^{+}} f(x)=\ell \text { and } \lim _{x \rightarrow \bar{x}^{-}} f(x)=\ell .\]

Prueba

Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Del Ejemplo 3.2.4 se desprende que\(\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{|x|}{x}\) no existe, ya que los límites unilaterales no coinciden.

Solución

Agrega texto aquí.

Definición\(\PageIndex{4}\)

(monotonicidad) Vamos\(f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}\).

1. Decimos que\(f\) va en aumento sobre\((a, b)\) si, para todos\(x_{1}, x_{2} \in(a, b)\),\(x_{1}<x_{2}\) implica\(f\left(x_{1}\right) \leq f\left(x_{2}\right)\).
2. Decimos que\(f\) está disminuyendo sobre\((a, b)\) si, para todos\(x_{1}, x_{2} \in(a, b)\),\(x_{1}<x_{2}\) implica\(f\left(x_{1}\right) \geq f\left(x_{2}\right)\).

Si\(f\) va aumentando o disminuyendo en\((a, b)\), decimos que\(f\) es monótono en este intervalo. La monotonicidad estricta se puede definir de manera similar usando desigualdades estrictas:\(f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)\) en (1) y\(f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)\) en (2).

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Supongamos que\(f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}\) está aumentando en\((a, b)\) y\(\bar{x} \in(a, b)\). Entonces\(\lim _{x \rightarrow \bar{x}^{-}} f(x)\) y\(\lim _{x \rightarrow \bar{x}^{+}} f(x)\) existir. Por otra parte,

\[\sup _{a<x<\bar{x}} f(x)=\lim _{x \rightarrow \bar{x}^{-}} f(x) \leq f(\bar{x}) \leq \lim _{x \rightarrow \bar{x}^{+}} f(x)=\inf _{\bar{x}<x<b} f(x) .\]

Prueba

Ya que\(f(x) \leq f(\bar{x})\) para todos\(x \in(a, \bar{x})\), el conjunto

\[\{f(x): x \in(a, \bar{x})\}\]

no está vacío y delimitado arriba. Por lo tanto,

\[\ell=\sup _{a<x<\bar{x}} f(x)\]

es un número real. Eso lo demostraremos\(\lim _{x \rightarrow \bar{x}^{-}} f(x)=\ell\). Para cualquiera\(\varepsilon > 0\), por la definición del límite mínimo superior, existe\(a<x_{1}<\bar{x}\) tal que

\[\ell-\varepsilon<f\left(x_{1}\right) .\]

Vamos\(\delta=\bar{x}-x_{1}>0\). Usando la creciente monotonicidad, obtenemos

\[\ell-\varepsilon<f\left(x_{1}\right) \leq f(x) \leq \ell<\ell+\varepsilon \text { for all } x \in\left(x_{1}, \bar{x}\right)=B_{-}(\bar{x} ; \delta) .\]

Por lo tanto,\(\lim _{x \rightarrow \bar{x}^{-}} f(x)=\ell\). El resto de la prueba del teorema es similar. \(\square\)

Let

\[B_{0}(\bar{x} ; \delta)=B_{-}(\bar{x} ; \delta) \cup B_{+}(\bar{x} ; \delta)=(\bar{x}-\delta, \bar{x}+\delta) \backslash\{\bar{x}\} .\]

Definición\(\PageIndex{5}\)

(límites infinitos) Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(\bar{x}\) ser un punto límite de\(D\). Escribimos

\[\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=\infty]\]

si por cada\(M \in \mathbb{R}\), existe\(\delta > 0\) tal que

\[f(x)>M \text { for all } x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D .\]

Del mismo modo, escribimos

\[\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)=-\infty\]

si por cada\(M \in \mathbb{R}\), existe\(\delta > 0\) tal que

\[f(x)<M \text { for all } x \in B_{0}(\bar{x} ; \delta) \cap D .\]

Los límites infinitos de funciones tienen propiedades similares a las de las secuencias del Capítulo 2 (ver Definición 2.3.2 y Teorema 2.3.6).

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Lo demostramos\(\lim _{x \rightarrow 1} \dfrac{1}{(x-1)^{2}}=\infty\) directamente desde la Definición 3.2.5.

Solución

Vamos\(M \in \mathbb{R}\). Queremos encontrar\(\delta > 0\) que garantizará\(\dfrac{1}{(x-1)^{2}}>M\) cuando sea\(0<|x-1|<\delta\). Como en el caso de los límites finitos, trabajamos hacia atrás de\(\dfrac{1}{(x-1)^{2}}>M\) una desigualdad para\(|x-1|\). Para simplificar los cálculos, tenga en cuenta que\(|M|+1>M\). Siguiente nota que\(\dfrac{1}{(x-1)^{2}}>|M|+1\), es equivalente a\(\sqrt{\dfrac{1}{|M|+1}>|x-1|}\).

Ahora, elige\(\delta\) tal que\(0<\delta<\sqrt{\dfrac{1}{|M|+1}}\). Entonces, si\(0<|x-1|<\delta\) tenemos

\[\dfrac{1}{(x-1)^{2}}>\dfrac{1}{\delta^{2}}>\dfrac{1}{\dfrac{1}{|M|+1}}=|M|+1>M ,\]

según se desee.

Definición\(\PageIndex{6}\)

(límites al infinito) Vamos\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\), donde no\(D\) está delimitado arriba. Escribimos

\[\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\ell\]

si por cada\(\varepsilon > 0\), existe\(c \in \mathbb{R}\) tal que

\[|f(x)-\ell|<\varepsilon \text { for all } x>c, x \in D .\]

Vamos\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\), donde no\(D\) se limita a continuación. Escribimos

\[\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\ell\]

si por cada\(\varepsilon > 0\), existe\(c \in \mathbb{R}\) tal que

\[|f(x)-\ell|<\varepsilon \text { for all } x<c, x \in D .\]

También podemos definir

\[\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\pm \infty \text { and } \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=\pm \infty\]

de manera similar.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Demostramos formar la definición que

\[\lim _{x \rightarrow-\infty} \dfrac{3 x^{2}+x}{2 x^{2}+1}=\dfrac{3}{2} .\]

Solución

El enfoque es similar al de las secuencias, con la diferencia de que no\(x\) necesita ser un entero.

Vamos\(\varepsilon > 0\). Queremos indentificar\(c\) para que

\[\left|\dfrac{3 x^{2}+x}{2 x^{2}+1}-\dfrac{3}{2}\right|<\varepsilon ,\]

para todos\(x<c\).

Ahora,\(\text { v, }\left|\dfrac{3 x^{2}+x}{2 x^{2}+1}-\dfrac{3}{2}\right|=\dfrac{|2 x-3|}{2\left(2 x^{2}+1\right)}\).

Por lo tanto, simplificando, 3.5 equivale a

\[\dfrac{1}{\varepsilon}<\dfrac{2\left(2 x^{2}+1\right)}{|2 x-3|} .\]

Primero restringimos\(x\) a ser menos que\(0\), entonces\(|2 x-3|>3\). Entonces, ya que\(\dfrac{4 x^{2}}{3}<\dfrac{2\left(2 x^{2}+1\right)}{|2 x-3|}\), el 3.6 se garantizará si\(1 / \varepsilon<4 x^{2} / 3\) o de manera equivalente\(\sqrt{3 /(4 \varepsilon)}<|x|\). Nos fijamos\(c<\min \{0,-\sqrt{3 /(4 \varepsilon)}\}\). Entonces, si\(x<c\), tenemos\(\sqrt{3 /(4 \varepsilon)}<-x=|x|\). Así,\(1 / \varepsilon<\dfrac{2\left(2 x^{2}+1\right)}{|2 x-3|}\) y, por lo tanto,

\[\left|\dfrac{3 x^{2}+x}{2 x^{2}+1}-\dfrac{3}{2}\right|=\dfrac{|2 x-3|}{2\left(2 x^{2}+1\right)}<\varepsilon .\]

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra los siguientes límites:

1. \(\lim _{x \rightarrow 2} \dfrac{3 x^{2}-2 x+5}{x-3}\),
2. \(\lim _{x \rightarrow-3} \dfrac{x^{2}+4 x+3}{x^{2}-9}\)

Responder

Agrega textos aquí. No elimine primero este texto.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Let\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y let\(\bar{x}\) es un punto límite de\(D\). Demostrar que si\(\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)\) existe, entonces

\[\lim _{x \rightarrow \bar{x}}[f(x)]^{n}=\left[\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)\right]^{n}, \text { for any } n \in \mathbb{N} .\]

Responder

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Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Encuentra los siguientes límites:

1. \(\lim _{x \rightarrow 1} \dfrac{\sqrt{x}-1}{x^{2}-1}\),
2. \(\lim _{x \rightarrow 1} \dfrac{x^{m}-1}{x^{n}-1}, \text { where } m, n \in \mathbb{N}\),
3. \(\lim _{x \rightarrow 1} \dfrac{\sqrt[n]{x}-1}{\sqrt[m]{x}-1}, \text { where } m, n \in \mathbb{N}, m, n \geq 2\),
4. \(\lim _{x \rightarrow 1} \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}{x-1}\).

Responder

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Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Encuentra los siguientes límites:

1. \(\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{x^{3}+3 x^{2}}-\sqrt{x^{2}+1}\right)\).
2. \(\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt[3]{x^{3}+3 x^{2}}-\sqrt{x^{2}+1}\right)\).

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Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(\bar{x}\) ser un punto límite de\(D\). Supongamos que

\[|f(x)-f(y)| \leq k|x-y| \text { for all } x, y \in D \backslash\{\bar{x}\} ,\]

donde\(k \geq 0\) es una constante. Demostrar que\(\lim _{x \rightarrow \bar{x}} f(x)\) existe.

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Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Determinar los límites unilaterales\(\lim _{x \rightarrow 3^{+}}[x]\) y\(\lim _{x \rightarrow 3^{-}}[x]\), donde\([x]\) denota el mayor número entero que es menor o igual a\(x\).

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Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Encuentra cada uno de los siguientes límites si existen:

1. \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \dfrac{x+1}{x-1}\).
2. \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left|x^{3} \sin (1 / x)\right|\).
3. \(\lim _{x \rightarrow 1}(x-[x])\).

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Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Para\(a \in \mathbb{R}\), deja\(f\) ser la función dada por

\ [f (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
x^ {2}, &\ text {if} x>1\ text {;}\\
a x-1, &\ text {if} x\ leq 1\ text {.}
\ end {array}\ derecho.\]

Encontrar el valor de\(a\) tal que\(\lim _{x \rightarrow 1} f(x)\) existe.

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Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Determinar todos los valores de\(\bar{x}\) tal manera que\(\lim _{x \rightarrow \bar{x}}(1+x-[x])\) exista el límite.

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Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Vamos\(a, b \in \mathbb{R}\) y supongamos que\(f:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}\) va en aumento. Demostrar lo siguiente.

1. Si\(f\) está delimitado arriba, entonces\(\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)\) existe y es un número real.
2. Si no\(f\) está delimitado arriba, entonces\(\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=\infty\).

Estado y probar reasultas análogas en caso de que\(f\) se acote a continuación y en caso de que el dominio de\(f\) sea uno de\((-\infty, b)\),\((a, \infty)\), o\((-\infty, \infty)\).

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