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3.3: Continuidad

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    Definición\(\PageIndex{1}\): Continuous

    Dejar\(D\) ser un subconjunto no vacío de\(\mathbb{R}\) y dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) ser una función. \(f\)Se dice que la función es continua en\(x_{0} \in D\) si por algún número real\(\varepsilon > 0\), existe\(\delta > 0\) tal que si\(x \in D\) y\(\left|x-x_{0}\right|<\delta\), entonces

    \[\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon .\]

    Si\(f\) es continuo en cada punto\(x \in D\), decimos que\(f\) es continuo en\(D\) (o simplemente continuo si no se produce confusión).

    Anotación 2020-08-26 204153.png

    Figura\(3.1\): Definición de Continuidad.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)Déjese dar por\(f(x)=3 x+7\).

    Solución

    Dejar\(x_{0} \in \mathbb{R}\) y dejar\(\varepsilon > 0\). Elige\(\delta=\varepsilon / 3\). Entonces si\(\left|x-x_{0}\right|<\delta\), tenemos

    \[\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|=\left|3 x+7-\left(3 x_{0}+7\right)\right|=\left|3\left(x-x_{0}\right)\right|=3\left|x-x_{0}\right|<3 \delta=\varepsilon .\]

    Esto demuestra que\(f\) es continuo en\(x_{0}\).

    Remarcar\(\PageIndex{1}\)

    Obsérvese que la anterior definición de continuidad no menciona límites. Esto permite incluir en la definición, puntos\(x_{0} \in D\) que no son puntos límite de\(D\). Si\(x_{0}\) es un punto aislado de\(D\), entonces hay\(\delta > 0\) tal que\(B\left(x_{0} ; \delta\right) \cap D=\left\{x_{0}\right\}\). De ello se deduce que para\(x \in B\left(x_{0} ; \delta\right) \cap D\),\(\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|=0<\varepsilon\) para cualquier épsilon. Por lo tanto, cada función es continua en un punto aislado de su dominio.

    Para estudiar la continuidad en los puntos límite de\(D\), tenemos el siguiente teorema el cual se desprende directamente de las definiciones de continuidad y límite.

    Teorema\(\PageIndex{2}\)

    Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(x_{0} \in D\) ser un punto límite de\(D\). Entonces\(f\) es continuo en\(x_{0}\) si y solo si

    \[\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=f\left(x_{0}\right).\]

    Prueba

    Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)Déjese dar por\(f(x)=3 x^{2}-2 x+1\).

    Solución

    Arreglar\(x_{0} \in \mathbb{R}\). Ya que, a partir de los resultados del teorema anterior, tenemos

    \[\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}}\left(3 x^{2}-2 x+1\right)=3 x_{0}^{2}-2 x_{0}+1=f\left(x_{0}\right) \nonumber\]

    se deduce que\(f\) es continuo en\(x_{0}\).

    El siguiente teorema se desprende directamente de la definición de continuidad, Teorema 3.1.2 y Teorema 3.3.2 y dejamos su prueba como ejercicio.

    Teorema\(\PageIndex{3}\)

    Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(x_{0} \in D\). Entonces\(f\) es continuo en\(x{0}\) si y sólo si para cualquier secuencia\(\left\{x_{k}\right\}\) en\(D\) que converge a\(x_{0}\), la secuencia\(\left\{f\left(x_{k}\right)\right\}\) converge a\(f\left(x_{0}\right)\).

    Prueba

    Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará

    Las pruebas de los dos teoremas siguientes son sencillas usando el Teorema 3.3.3.

    Teorema\(\PageIndex{4}\)

    Dejar\(f, g: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(x_{0} \in D\). Supongamos\(f\) y\(g\) son continuos en\(x_{0}\). Entonces

    1. \(f+g\)y\(fg\) son continuos en\(x{0}\).
    2. \(cf\)es continuo en\(x_{0}\) para cualquier constante\(c\).
    3. Si\(g\left(x_{0}\right) \neq 0\), entonces\(\frac{f}{g}\) (definido en\(\widetilde{D}=\{x \in D: g(x) \neq 0\}\)) es continuo en\(x_{0}\).
    Prueba

    Demostramos (a) y dejamos las otras partes como ejercicio. Vamos a utilizar el Teorema 3.3.3. Dejar\(\left\{x_{k}\right\}\) ser una secuencia en la\(D\) que converja a\(x_{0}\). Desde\(f\) y\(g\) son continuos en\(x_{0}\), por Teorema 3.3.3 obtenemos que\(\left\{f\left(x_{k}\right)\right\}\) converge a\(f\left(x_{0}\right)\) y\(\left\{g\left(x_{k}\right)\right\}\) converge a\(g\left(x_{0}\right)\). Por Teorema 2.2.1 (a), obtenemos que\(\left\{f\left(x_{k}\right)+g\left(x_{k}\right)\right\}\) converge a\(f\left(x_{0}\right)+g\left(x_{0}\right)\). Por lo tanto,

    \[\lim _{k \rightarrow \infty}(f+g)\left(x_{k}\right)=\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)+g\left(x_{k}\right)=f\left(x_{0}\right)+g\left(x_{0}\right)=(f+g)\left(x_{0}\right) .\]

    Ya que\(\left\{x_{k}\right\}\) fue arbitrario, utilizando nuevamente el Teorema 3.3.3 concluimos que\(f+g\) es continuo en\(x_{0}\). \(\square\)

    Teorema\(\PageIndex{5}\)

    Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(g: E \rightarrow \mathbb{R}\) con\(f(D) \subset E\). Si\(f\) es continuo en\(x_{0}\) ang\(g\) es continuo en\(f\left(x_{0}\right)\), entonces\(g \circ f\) es continuo en\(x_{0}\).

    Prueba

    Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Demostrar, utilizando la definición 3.3.1, que cada una de las siguientes funciones es continua en el dominio dado:

    1. \(f(x)=a x+b, a, b \in \mathbb{R}, \text { on } \mathbb{R}\).
    2. \(f(x)=x^{2}-3 \text { on } \mathbb{R}\).
    3. \(f(x)=\sqrt{x} \text { on }[0, \infty)\).
    4. \(f(x)=\frac{1}{x} \text { on } \mathbb{R} \backslash\{0\}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Determinar los valores de\(x\) a los que cada función es continua. El dominio de todas las funciones es\(\mathbb{R}\).

    1. \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \left|\frac{\sin x}{x}\right|, & \text { if } x \neq 0 \text{;} \\ 1, & \text { if } x=0 \text{.} \end{array}\right.\)
    2. \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{\sin x}{|x|}, & \text { if } x \neq 0 \text{;} \\ 1, & \text { if } x=0 \text{.} \end{array}\right.\)
    3. \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x \sin \frac{1}{x}, & \text { if } x \neq 0 \text{;} \\ 0, & \text { if } x=0 \text{.} \end{array}\right.\)
    4. \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \cos \frac{\pi x}{2}, & \text { if }|x| \leq 1 \text{;} \\ |x-1|, & \text { if }|x|>1 \text{.} \end{array}\right.\)
    5. \(f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \frac{\pi}{2\left(1+x^{2 n}\right)}, \quad x \in \mathbb{R}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Dejar\(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) ser la función dada por

    \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^{2}+a, & \text { if } x>2 \text{;} \\ a x-1, & \text { if } x \leq 2 \text{.} \end{array}\right .\]

    Encuentra el valor de\(a\) tal que\(f\) sea continuo

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Dejar\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\) y dejar\(x_{0} \in D\). Demostrar que si\(f\) es continuo en\(x_{0}\), entonces\(|f|\) es continuo en este punto. ¿Es cierto lo contrario en general?

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Demostrar Teorema 3.3.3. (Pista: tratar por separado los casos cuando\(x_{0}\) es un punto límite\(D\) y cuando no lo es.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Demostrar partes (b) y (c) del Teorema 3.3.4

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Teorema de Demostrar 3.3.5

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Explora la continuidad de la función\(f\) en cada caso a continuación.

    1. Dejar\(g, h:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) ser funciones continuas y definir

    \ [f (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
    g (x), &\ text {if} x\ in\ mathbb {Q}\ cap [0,1]\ text {;}\\
    h (x), &\ text {if} x\ in\ mathbb {Q} ^ {c}\ cap [0,1]\ texto {.}
    \ end {array}\ derecho.\]

    Demostrar que si\(g(a)=h(a)\), para algunos\(a \in[0,1]\), entonces\(f\) es continuo en\(a\).

    1. Dejar\(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}\) ser la función dada por

    \ [f (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
    x, &\ text {if} x\ in\ mathbb {Q}\ cap [0,1]\ text {;}\\
    1-x, &\ text {if} x\ in\ mathbb {Q} ^ {c}\ cap [0,1]\ text {.}
    \ end {array}\ derecho.\]

    Encuentra todos los puntos\([0,1]\) en los que la función es continua

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    Considere la función Thomae en\((0,1]\) por

    \ [f (x) =\ left\ {\ begin {array} {ll}
    \ frac {1} {q}, &\ text {if} x=\ frac {p} {q}, p, q\ in\ mathbb {N}\ text {, donde} p\ text {y} q\ text {no tienen factores comunes;}\\
    0, &\ text {si} x\ texto {es irracional.}
    \ end {array}\ derecho.\]

    1. Demostrar que para cada\(\varepsilon > 0\), el conjunto

    \[A_{\varepsilon}=\{x \in(0,1]: f(x) \geq \varepsilon\}\]

    es finito.

    1. Demostrar que\(f\) es continuo en cada punto irracional, y discontinuo en cada punto racional.
    Responder

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    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Considerar puntos\(k\) distintos\(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k} \in \mathbb{R}\),\(k \geq 1\). Encontrar una función definida en\(\mathbb{R}\) que sea continua en cada uno\(x_{i}\),\(i=1, \ldots, k\), y discontinua en todos los demás puntos.

    Responder

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    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Supongamos que\(f, g\) son funciones continuas sobre\(\mathbb{R}\) y\(f(x)=g(x)\) para todos\(x \in \mathbb{Q}\). \(f(x)=g(x)\)Demuéstralo para todos\(x \in \mathbb{R}\).

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