4.2: EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO
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Una aplicación importante de la diferenciación es resolver problemas de optimización. Un método sencillo para identificar los extremos locales de una función fue encontrado por el matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665). El método de Fermat también se puede utilizar para probar el teorema de Rolle.
Comenzamos con algunas definiciones básicas de mínimos y máximos. Recordemos que para\(a \in \mathbb{R}\) y\(\delta > 0\), los conjuntos\(B(a ; \delta)\),\(B_{+}(a ; \delta)\), y\(B_{-}(a ; \delta)\) denotan los intervalos\((a-\delta, a+\delta)\),\((a, a+\delta)\) y\((a-\delta, a)\), respectivamente.
Dejar\(D\) ser un subconjunto no vacío de\(\mathbb{R}\) y let\(f: D \rightarrow \mathbb{R}\). Decimos que\(f\) tiene un mínimo local (o relativo) en\(a \in D\) si existe\(\delta > 0\) tal que
\[f(x) \geq f(a) \text { for all } x \in B(a ; \delta) \cap D.\]
De igual manera, decimos que\(f\) tiene un máximo local (o relativo) en\(a \in D\) si existe\(\delta > 0\) tal que
\[f(x) \leq f(a) \text { for all } x \in B(a ; \delta) \cap D .\]
En enero de 1638, Pierre de Fermat describió su método para encontrar máximos y mínimos en una carta escrita a Marin Mersenne (1588-1648) quien fue considerado como “el centro del mundo de la ciencia y las matemáticas durante la primera mitad del 1600s”. Su método presentado en el teorema a continuación se conoce ahora como Regla de Fermat.
Dejar\(I\) ser un intervalo abierto y\(f: I \rightarrow \mathbb{R}\). Si\(f\) tiene un mínimo o máximo local en\(a \in I\) y\(f\) es diferenciable en\(a\), entonces\(f^{\prime}(a)=0\).
Figura\(4.1\): Ilustración de la regla de Fermat.
- Prueba
-
Supongamos que\(f\) tiene un mínimo local en\(a\). Entonces existe\(\delta > 0\) suficientemente pequeña de tal manera que
\[f(x) \geq f(a) \text { for all } x \in B(a ; \delta).\]
Dado que\(B_{+}(a ; \delta)\) es un subconjunto de\(B(a ; \delta)\), tenemos
\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geq 0 \text { for all } x \in B_{+}(a ; \delta).\]
Teniendo en cuenta la diferenciabilidad de\(f\) los\(a\) rendimientos
\[f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \geq 0 .\]
Del mismo modo,
\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq 0 \text { for all } x \in B_{-}(a ; \delta)\].
De ello se deduce que
\[f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a^{-}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \leq 0 .\]
Por lo tanto,\(f^{\prime}(a)=0\). La prueba es similar para el caso donde\(f\) tiene un máximo local en\(a\). \(\square\)
Dejar\(a,b \in \mathbb{R}\) con\(a < b\) y\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\). Supongamos que\(f\) es continuo\([a,b]\) y diferenciable\((a,b)\) con\(f(a)=f(b)\). Entonces existe\(c \in (a,b)\) tal que
\[f^{\prime}(c)=0 .\]
- Prueba
-
Dado que\(f\) es continuo en el compacto\([a,b]\), por el teorema del valor extremo (Teorema 3.4.2) existe\(\bar{x}_{1} \in[a, b]\) y\(\bar{x}_{2} \in[a, b]\) tal que
\[f\left(\bar{x}_{1}\right)=\min \{f(x): x \in[a, b]\} \text { and } f\left(\bar{x}_{2}\right)=\max \{f(x): x \in[a, b]\} .\]
Entonces
\[f\left(\bar{x}_{1}\right) \leq f(x) \leq f\left(\bar{x}_{2}\right) \text { for all } x \in[a, b] .\]
Figura\(4.2\): Ilustración del teorema de Rolle.
Si\(\bar{x}_{1} \in(a, b)\) o\(\bar{x}_{2} \in(a, b)\), entonces\(f\) tiene un mínimo local en\(\bar{x}_{1}\) o\(f\) tiene un máximo local en\(\bar{x}_{2}\). Por Teorema 4.2.1,\(f^{\prime}\left(\bar{x}_{1}\right)=0\) o\(f^{\prime}\left(\bar{x}_{2}\right)=0\), y (4.3) sostiene con\(c = \bar{x}_{1}\) o\(c = \bar{x}_{2}\).
Si ambos\(\bar{x}_{1}\) y\(\bar{x}_{2}\) son los puntos finales de\([a,b]\), entonces\(f\left(\bar{x}_{1}\right)=f\left(\bar{x}_{2}\right)\) porque\(f(a)=f(b)\). Por (4.4),\(f\) es una función constante, así que\(f^{\prime}(c)=0\) para cualquier\(c \in (a,b)\). \(\square\)
Ahora estamos listos para usar el Teorema de Rolle para probar el Teorema del Valor Medio que se presenta a continuación.
Figura\(4.3\): Ilustración del Teorema del Valor Medio.
Dejar\(a,b \in \mathbb{R}\) con\(a < b\) y\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\). Supongamos que\(f\) es continuo\([a,b]\) y diferenciable en\((a,b)\). Entonces existe\(c \in (a,b)\) tal que
\[f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} .\]
- Prueba
-
La función lineal cuya gráfica atraviesa\((a, f(a))\) y\((b, f(b))\) es
\[g(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a) .\]
Definir
\[h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-\left[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\right] \text { for } x \in[a, b] . \]
Entonces\(h(a) = h(b)\), y\(h\) satisface los supuestos del Teorema 4.2.2. Así, existe\(c \in (a,b)\) tal que\(h^{\prime}(c)=0\). Desde
\[h^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a} ,\]
se deduce que
\[f^{\prime}(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 .\]
Así, (4.5) sostiene. \(\square\)
Eso lo demostramos\(|\sin x| \leq|x|\) para todos\(x \in \mathbb{R}\).
Solución
Dejemos\(f(x)=\sin x\) para todos\(x \in \mathbb{R}\). Entonces\(f^{\prime}(x) = \cos x\). Ahora, arregle\(x \in \mathbb{R}\),\(x > 0\). Por el Teorema del valor medio aplicado al\(f\) intervalo\([0,x]\), existe\(c \in (0,x)\) tal que
\[\frac{\sin x-\sin 0}{x-0}=\cos c .\]
Por lo tanto,\(\frac{|\sin x|}{|x|}=|\cos c|\). Ya que\(|\cos c| \leq 1\) concluimos\(|\sin x| \leq|x|\) para todos\(x > 0\). Siguiente supongamos\(x < 0\). Otra aplicación del Teorema del Valor Medio muestra que existe\(c \in (x,0)\) tal que
\[\frac{\sin 0-\sin x}{0-x}=\cos c .\]
Entonces, de nuevo,\(\frac{|\sin x|}{|x|}=|\cos c| \leq 1\). De ello se deduce que\(|\sin x| \leq|x|\) para\(x < 0\). Dado que la igualdad es para\(x = 0\), concluimos que\(|\sin x| \leq|x|\) para todos\(x \in \mathbb{R}\).
Eso lo demostramos\(\sqrt{1+4 x}<(5+2 x) / 3\) para todos\(x > 2\).
Solución
Dejemos\(f(x)=\sqrt{1+4 x}\) para todos\(x \geq 2\). Entonces
\[f^{\prime}(x)=\frac{4}{2 \sqrt{1+4 x}}=\frac{2}{\sqrt{1+4 x}} .\]
Ahora, arregla\(x \in \mathbb{R}\) tal que\(x > 2\). Aplicamos el Teorema del Valor Medio a\(f\) sobre el intervalo\([2,x]\). Entonces, ya que\(f(2) = 3\), existe\(c \in (2,x)\) tal que
\[\sqrt{1+4 x}-3=f^{\prime}(c)(x-2) .\]
Desde\(f^{\prime}(2)=2 / 3\) y\(f^{\prime}(c)<f^{\prime}(2)\) para\(c > 2\) concluimos que
\[\sqrt{1+4 x}-3<\frac{2}{3}(x-2) .\]
La reorganización de los términos proporciona la desigualdad deseada.
Un resultado más general que sigue directamente del Teorema del Valor Medio se conoce como Teorema de Cauchy.
Déjalo\(a,b \in \mathbb{R}\) con\(a < b\). Supongamos\(f\) y\(g\) son continuos\([a,b]\) y diferenciables en\((a,b)\). Entonces existe\(c \in (a,b)\) tal que
\[[f(b)-f(a)] g^{\prime}(c)=[g(b)-g(a)] f^{\prime}(c).\]
- Prueba
-
Definir
\[h(x)=[f(b)-f(a)] g(x)-[g(b)-g(a)] f(x) \text { for } x \in[a, b].\]
Entonces\(h(a)=f(b) g(a)-f(a) g(b)=h(b)\), y\(h\) satisface los supuestos del Teorema 4.2.2. Así, existe\(c \in (a,b)\) tal que\(h^{\prime}(c)=0\). Desde
\[h^{\prime}(x)=[f(b)-f(a)] g^{\prime}(x)-[g(b)-g(a)] f^{\prime}(x),\]
esto implica (4.6). \(\square\)
El siguiente teorema muestra que la derivada de una función diferenciable on\([a,b]\) satisface la propiedad de valor intermedio aunque no se supone que la función derivada sea continua. Para dar el teorema en su mayor generalidad, introducimos un par de definiciones.
Vamos\(a,b \in \mathbb{R}\),\(a < b\), y\(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\). Si el límite
\[\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
existe, decimos que\(f\) tiene un derecho derivado en\(a\) y escribir
\[f_{+}^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]
Si el límite
\[\lim _{x \rightarrow b^{-}} \frac{f(x)-f(b)}{x-b}\]
existe, decimos que\(f\) tiene un derivado a la izquierda en\(b\) y escribimos
\[f_{-}^{\prime}(b)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} \frac{f(x)-f(b)}{x-b}.\]
Diremos que\(f\) es diferenciable sobre\([a,b]\) si\(f^{\prime}(x)\) existe para cada uno\(x \in (a,b)\) y, además, ambos\(f_{+}^{\prime}(a)\) y\(f_{-}^{\prime}(b)\) existir.
Déjalo\(a,b \in \mathbb{R}\) con\(a < b\). Supongamos que\(f\) es diferenciable en\([a,b]\) y
\[f_{+}^{\prime}(a)<\lambda<f_{-}^{\prime}(b).\]
Entonces existe\(c \in (a,b)\) tal que
\[f^{\prime}(c)=\lambda.\]
Figura\(4.4\): Derivada derecha.
- Prueba
-
Definir la función\(g: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\) por
\[g(x)=f(x)-\lambda x.\]
Entonces\(g\) es diferenciable en\([a,b]\) y
\[g_{+}^{\prime}(a)<0<g_{-}^{\prime}(b).\]
Por lo tanto,
\[\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{g(x)-g(a)}{x-a}<0.\]
De ello se deduce que existe\(\delta_{1} > 0\) tal que
\[g(x)<g(a) \text { for all } x \in\left(a, a+\delta_{1}\right) \cap[a, b].\]
Del mismo modo, existe\(\delta_{2} > 0\) tal que
\[g(x)<g(b) \text { for all } x \in\left(b-\delta_{2}, b\right) \cap[a, b].\]
Dado que\(g\) es continuo\([a,b]\), alcanza su mínimo en un punto\(c \in [a,b]\). De las observaciones anteriores, se deduce que\(c \in (a,b)\). Esto implica\(g^{\prime}(c)=0\) o, equivalentemente, eso\(f^{\prime}(c)=\lambda\). \(square\)
La misma conclusión sigue si\(f_{+}^{\prime}(a)>\lambda>f_{-}^{\prime}(b)\).
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Dejar\(f\) y\(g\) ser diferenciable en\(x_{0}\). Supongamos\(\) y
\[f(x) \leq g(x) \text { for all } x \in \mathbb{R}.\]
Demostrar eso\(f^{\prime}\left(x_{0}\right)=g^{\prime}\left(x_{0}\right)\).
- Responder
-
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Ejercicio\(\PageIndex{2}\)
Demostrar las siguientes desigualdades utilizando el Teorema del Valor Medio.
- \(\sqrt{1+x}<1+\frac{1}{2} x \text { for } x>0\).
- \(e^{x}>1+x\), para\(x > 0\). (Asumir conocido que el derivado de\(e^{x}\) es en sí mismo.)
- \(\frac{x-1}{x}<\ln x<x-1, \text { for } x>1\). (Asumir conocido que el derivado de\(\ln x\) es\(1 / x\).)
- Responder
-
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Ejercicio\(\PageIndex{3}\)
\(|\sin (x)-\sin (y)| \leq|x-y|\)Demuéstralo para todos\(x,y \in \mathbb{R}\).
- Responder
-
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Ejercicio\(\PageIndex{4}\)
Dejar\(n\) ser un entero positivo y dejar\(a_{k}, b_{k} \in \mathbb{R}\) para\(k=1, \ldots, n\). Demostrar que la ecuación
\[x+\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k} \sin k x+b_{k} \cos k x\right)=0\]
tiene una solución en\((-\pi, \pi)\).
- Responder
-
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Ejercicio\(\PageIndex{5}\)
Dejar\(f\) y\(g\) ser funciones diferenciables en\([a,b]\). Supongamos\(g(x) \neq 0\) y\(g^{\prime}(x) \neq 0\) para todos\(x \in [a,b]\). Demostrar que existe\(c \in (a,b)\) tal que
\ [\ frac {1} {g (b) -g (a)}\ mid\ begin {array} {ll}
f (a) & f (b)\
g (a) & g (b)
\ end {array}\ mid=\ frac {1} {g^ {\ prime} (c)}\ mid\ begin {array} {cc}
f (c) & g (c)\\
f^ {\ prime} (c) & g^ {\ prime} (c)
\ end {array}\ mid,\]
donde las barras denotan determinantes de las matrices de dos por dos.
- Responder
-
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Ejercicio\(\PageIndex{6}\)
Let\(n\) Ser un entero positivo fijo.
- Supongamos\(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\) satisfacer
\[a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{n}}{n}=0.\]
Demostrar que la ecuación
\[a_{1}+a_{2} x+a_{3} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n-1}=0\]
tiene una solución en\((0,1)\).
- Supongamos\(a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}\) satisfacer
\[\sum_{k=0}^{n} \frac{a_{k}}{2 k+1}=0.\]
Demostrar que la ecuación
\[\sum_{k=0}^{n} a_{k} \cos (2 k+1) x=0\]
tiene una solución en\(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\).
- Responder
-
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Ejercicio\(\PageIndex{7}\)
Dejar\(f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}\) ser una función diferenciable. Demostrar que si ambos\(\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)\) y\(\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)\) existen, entonces\(\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0\)
- Responder
-
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Ejercicio\(\PageIndex{8}\)
Dejar\(f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}\) ser una función diferenciable.
- Demuéstralo si\(\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=a\), entonces\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=a\).
- Demuéstralo si\(\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=\infty\), entonces\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=\infty\).
- ¿Son verdaderos los conversos en la parte (a) y en la parte (b)?
- Responder
-
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