4.5: Teorema de Taylor

En esta sección, demostramos un resultado que nos permite aproximar funciones diferenciables por polinomios.

Teorema\(\PageIndex{1}\) - Taylor's Theorem.

Dejar\(n\) ser un entero positivo. Supongamos que\(f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}\) es una función tal que\(f^{(n)}\) es continua en\([a, b]\), y\(f^{(n+1)}(x)\) existe para todos\(x \in (a, b)\). Vamos\(\bar{x} \in [a, b]\). Entonces para cualquiera\(x \in [a, b]\) con\(x \neq \bar{x}\), existe un número\(c\) en el medio\(\bar{x}\) y\(x\) tal que\[f(x)=P_{n}(x)+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1) !}(x-\bar{x})^{n+1} ,\] donde\[P_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(\bar{x})}{k !}(x-\bar{x})^{k} .\]

Prueba

Seamos\(\bar{x}\) como en el comunicado y arreglemos\(x \neq \bar{x}\). Ya que\(x-\bar{x} \neq 0\), existe un número\(\lambda \in \mathbb{R}\) tal que ahora\[f(x)=P_{n}(x)+\frac{\lambda}{(n+1) !}(x-\bar{x})^{n+1} .\] vamos a demostrar que\[\lambda=f^{(n+1)}(c) ,\] para algunos\(c\) en el medio\(\bar{x}\) y\(x\).

Consideremos la función\[g(t)=f(x)-\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{k !}(x-t)^{k}-\frac{\lambda}{(n+1) !}(x-t)^{n+1} .\] Entonces\[g(\bar{x})=f(x)-\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(\bar{x})}{k !}(x-\bar{x})^{k}-\frac{\lambda}{(n+1) !}(x-\bar{x})^{n+1}=f(x)-P_{n}(x)-\frac{\lambda}{(n+1) !}(x-\bar{x})^{n+1}=0 .\] y\[g(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x)}{k !}(x-x)^{k}-\frac{\lambda}{(n+1) !}(x-x)^{n+1}=f(x)-f(x)=0 .\] Por el teorema de Rolle, existe\(c\) en el medio\(\bar{x}\) y\(x\) tal que\(g^{\prime}(c)=0\). Tomando la derivada de\(g\) (teniendo en cuenta que\(x\) es fija y la variable independiente es\(t\)) y usando la regla de producto para derivadas, tenemos\ [\ begin {aligned}
g^ {\ prime} (c) &=-f^ {\ prime} (c) +\ sum_ {k=1} ^ {n}\ left (-\ frac {f^ {(k+1)} (c)} {k!} (x-c) ^ {k} +\ frac {f^ {(k)} (c)} {(k-1)!} (x-c) ^ {k-1}\ derecha) +\ frac {\ lambda} {n!} (x-c) ^ {n}\\
&=\ frac {\ lambda} {n!} (x-c) ^ {n} -\ frac {1} {n!} f^ {(n+1)} (c) (x-c) ^ {n}\\
&=0\ texto {.}
\ end {alineado}\] Esto implica\(\lambda=f^{(n+1)}(c)\). La prueba ya está completa. \(\square\)

El polinomio\(P_{n}(x)\) dado en el teorema se llama el\(n\) -ésimo polinomio de Taylor de\(f\) at\(\bar{x}\).

OBSERVACIÓN\(\PageIndex{2}\)

La conclusión del teorema de Taylor sigue siendo cierta si\(x = \bar{x}\). En este caso,\(c = x = \bar{x}\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Utilizaremos el teorema de Taylor para estimar el error al aproximar la función\(f(x)=\sin x\) con ella 3er polinomio de Taylor\(\bar{x} = 0\) en el intervalo\([-\pi / 2, \pi / 2]\).

Solución

Dado que\(f^{\prime}(x)=\cos x\),\(f^{\prime \prime}(x)=-\sin x\) y\(f^{\prime \prime \prime}(x)=-\cos x\), un cálculo directo muestra que\[P_{3}(x)=x-\frac{x^{3}}{3 !} .\]

Además, para cualquiera\(c \in \mathbb{R}\) que tengamos\(\left|f^{(4)}(c)\right|=|\sin c| \leq 1\). Por lo tanto, para\(x \in[-\pi / 2, \pi / 2]\) nosotros obtenemos (para algunos\(c\) entre\(x\) y\(0\)),\[\left|\sin x-P_{3}(x)\right|=\frac{\left|f^{(4)}(c)\right|}{4 !}|x| \leq \frac{\pi / 2}{4 !} \leq 0.066 .\]

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(n\) ser un entero positivo par. Supongamos que\(f^{(n)}\) existe y continua en\((a, b)\). \(\bar{x} \in (a, b)\)Dejar. satisfacer\[f^{\prime}(\bar{x})=\ldots=f^{(n-1)}(\bar{x})=0 \text { and } f^{(n)}(\bar{x}) \neq 0 .\] La siguiente retención:

1. \(f^{(n)}(\bar{x})>0\)si y solo si\(f\) tiene un mínimo local en\(\bar{x}\).
2. \(f^{(n)}(\bar{x})<0\)si y solo si\(f\) tiene un máximo local en\(\bar{x}\).

Prueba

Vamos a probar (a). Supongamos\(f^{(n)}(\bar{x})>0\). Ya que\(f^{(n)}(\bar{x})>0\) y\(f^{(n)}\) es conitnuoso en\(\bar{x}\), existe\(\delta > 0\) tal que\[f^{(n)}(t)>0 \text { for all } t \in B(\bar{x} ; \delta) \subset(a, b) .\] Fix any\(x \in B(\bar{x} ; \delta)\). Por el teorema de Taylor y la suposición dada, existe\(c\) en el medio\(\bar{x}\) y\(x\) tal que\[f(x)=f(\bar{x})+\frac{f^{(n)}(c)}{n !}(x-\bar{x})^{n} .\] Desde\(n\) es par y\(c \in B(\bar{x} ; \delta)\) tenemos\(f(x) \geq f(\bar{x})\). Así,\(f\) tiene un mínimo local en\(\bar{x}\).

Ahora, para el contrario, supongamos que\(f\) tiene un mínimo local en\(\bar{x}\). Entonces existe\(\delta > 0\) tal que\[f(x) \geq f(\bar{x}) \text { for all } x \in B(\bar{x} ; \delta) \subset(a, b) .\] Fijar una secuencia\(\left\{x_{k}\right\}\) en la\((a, b)\) que converge a\(\bar{x}\) con\(x_{k} \neq \bar{x}\) para cada uno\(k\). Por el teorema de Taylor, existe una secuencia\(\left\{c_{k}\right\}\), con\(x_{k} \neq \bar{x}\) para cada\(k\). Por el teorema de Taylor, existe una secuencia\(\left\{c_{k}\right\}\), con\(c_{k}\) entre\(x_{k}\) y\(\bar{x}\) para cada uno\(k\), tal que\[f\left(x_{k}\right)=f(\bar{x})+\frac{f^{(n)}\left(c_{k}\right)}{n !}\left(x_{k}-\bar{x}\right)^{n} .\] Ya que\(x_{k} \in B(\bar{x} ; \delta)\) para suficientemente grande\(k\), tenemos\[f\left(x_{k}\right) \geq f(\bar{x})\] para tal\(k\). De ello se deduce que\[f\left(x_{k}\right)-f(\bar{x})=\frac{f^{(n)}\left(c_{k}\right)}{n !}\left(x_{k}-\bar{x}\right)^{n} \geq 0 .\] Esto implica\(f^{(n)}\left(c_{k}\right) \geq 0\) para tal\(k\). Ya que\(\left\{c_{k}\right\}\) converge a\(\bar{x}\),\(f^{(n)}(\bar{x})=\lim _{k \rightarrow \infty} f^{(n)}\left(c_{k}\right) \geq 0\).

La prueba de (b) es similar. \(\square\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Considera la función\(f(x)=x^{2} \cos x\) definida en\(\mathbb{R}\).

Solución

Entonces\(f^{\prime}(x)=2 x \cos x-x^{2} \sin x\) y\(f^{\prime \prime}(x)=2 \cos x-4 x \sin x-x^{2} \cos x\). Entonces\(f(0)=f^{\prime}(0)=0\) y\(f^{\prime \prime}(0)=2>0\). Se desprende del teorema anterior que\(f\) tiene un mínimo local en\(0\). Observe, por cierto, que desde\(f(0)=0\) y\(f(\pi)<0\), no\(0\) es un mínimo global.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Considera la función\(f(x)=-x^{6}+2 x^{5}+x^{4}-4 x^{3}+x^{2}+2 x-3\) definida en\(\mathbb{R}\).

Solución

A cálculos directos muestran\(f^{\prime}(1)=f^{\prime \prime}(1)=f^{\prime \prime \prime}(1)=f^{(4)}(1)=0\) y\(f^{(5)}(1)<0\). Se deduce del teorema anterior que\(f\) tiene un máximo local en\(1\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Usa el teorema de Taylor para demostrar eso\[e^{x}>\sum_{k=0}^{m} \frac{x^{k}}{k !}\] para todos\(x >0\) y\(m \in \mathbb{N}\).

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

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primero.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Encuentra el quinto polinomio de Taylor,\(P_{5}(x)\), en\(\bar{x} = 0\) para\(\cos x\). Determinar un límite superior para el error\(\left|P_{5}(x)-\cos x\right|\) para\(x \in[-\pi / 2, \pi / 2]\).

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Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Utilice el Teorema 4.5.3 para determinar si las siguientes funciones tienen un mínimo local o un máximo local en los puntos indicados.

1. \(f(x)=x^{3} \sin x \text { at } \bar{x}=0\).
2. \(f(x)=(1-x) \ln x \text { at } \bar{x}=1\).

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Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Supongamos que\(f\) es dos veces diferenciable en\((a, b)\). Demostrar que para cada\(x \in (a, b)\),\[\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)+f(x-h)-2 f(x)}{h^{2}}=f^{\prime \prime}(x) .\]

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Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

1. Supongamos que\(f\) es tres veces diferenciable en\((a, b)\) y\(\bar{x} \in (a, b)\). Demostrar que\[\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\bar{x}+h)-f(\bar{x})-f^{\prime}(\bar{x}) \frac{h}{1 !}-f^{\prime \prime}(\bar{x}) \frac{h^{2}}{2 !}}{h^{3}}=\frac{f^{\prime \prime \prime}(\bar{x})}{3 !} . \]
2. Estado y demostrar un resultado más general para el caso donde\(f\) es\(n\) tiempos diferenciables en\((a, b)\).

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Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Supongamos que\(f\) es\(n\) tiempos diferenciables en\((a, b)\) y\(\bar{x} \in (a, b)\). Definir\[P_{n}(h)=\sum_{k=0}^{n} f^{(n)}(\bar{x}) \frac{h^{n}}{n !} \text { for } h \in \mathbb{R}\] Demostrar eso\[\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(\bar{x}+h)-P_{n}(h)}{h^{n}}=0 .\] (Así, tenemos\[f(\bar{x}+h)=P_{n}(h)+g(h) ,\] donde\(g\) es una función que satisface\(\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(h)}{h^{n}}=0\). Esto se llama la expansión Taylor con el resto de Peano.)

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