11.6: Teorema de Green

Cambio de variables

Nota: Conferencias FIXME4

En una variable, tenemos el cambio familiar de variables\[\int_a^b f\bigl(g(x)\bigr) g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(x) \, dx .\] Puede ser sorprendente que el análogo en dimensiones superiores sea bastante más complicado. La primera complicación es la orientación. Si utilizamos la definición de integral de este capítulo, entonces no tenemos la noción de\(\int_a^b\) versus\(\int_b^a\). Simplemente nos estamos integrando a lo largo de un intervalo\([a,b]\). Con esta notación entonces el cambio de variables se convierte\[\int_{[a,b]} f\bigl(g(x)\bigr) \left\lvert {g'(x)} \right\rvert\, dx = \int_{g([a,b])} f(x) \, dx .\] en En esta sección intentaremos obtener un análogo en esta forma.

Primero deseamos ver qué juega el papel de\(\left\lvert {g'(x)} \right\rvert\). Si lo pensamos, el\(g'(x)\) es una escala de\(dx\). La integral mide volúmenes, por lo que en una dimensión mide la longitud. Si nuestro\(g\) fuera lineal, es decir,\(g(x)=Lx\), entonces\(g'(x) = L\). Entonces la longitud del intervalo\(g([a,b])\) es simplemente\(\left\lvert {L} \right\rvert(b-a)\). Eso es porque\(g([a,b])\) es\([La,Lb]\) o bien\([Lb,La]\). Esta propiedad se mantiene en mayor dimensión con\(\left\lvert {L} \right\rvert\) reemplazada por valor absoluto del determinante.

[prop:volrectdet] Supongamos que\(R \subset {\mathbb{R}}^n\) es un rectángulo y\(T \colon {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}^n\) es lineal. Entonces Jordania\(T(R)\) es mensurable y\(V\bigl(T(R)\bigr) = \left\lvert {\det T} \right\rvert V(R)\).

Basta con probar para matrices elementales. La prueba se deja como ejercicio.

A continuación notamos que este resultado aún se mantiene si no\(g\) es necesariamente lineal, integrando el valor absoluto del jacobiano. Es decir, tenemos el siguiente lema

Supongamos que\(S \subset {\mathbb{R}}^n\) es un conjunto medible Jordan delimitado cerrado, y\(S \subset U\) para un conjunto abierto\(U\). Si\(g \colon U \to {\mathbb{R}}^n\) es un mapeo uno a uno continuamente diferenciable tal que nunca\(J_g\) es cero encendido\(S\). Entonces\[V\bigl(g(S)\bigr) = \int_S \left\lvert {J_g(x)} \right\rvert \, dx .\]

FIXME

El lado izquierdo es\(\int_{R'} \chi_{g(S)}\), donde la integral se toma sobre un rectángulo lo suficientemente grande\(R'\) que contiene\(g(S)\). El lado derecho es\(\int_{R} \left\lvert {J_g} \right\rvert\) para un rectángulo lo suficientemente grande\(R\) que contiene\(S\). Dejemos\(\epsilon > 0\) que se den. \(R\)Dividir en subrectángulos, denotar por\(R_1,R_2,\ldots,R_K\) aquellos subrectángulos que se cruzan\(S\). Supongamos que la partición es lo suficientemente fina como para que\[\epsilon + \int_S \left\lvert {J_g(x)} \right\rvert \, dx \geq \sum_{j=1}^N \Bigl(\sup_{x \in S \cap R_j} \left\lvert {J_g(x)} \right\rvert \Bigr) V(R_j)\]... \[\sum_{j=1}^N \Bigl(\sup_{x \in S \cap R_j} \left\lvert {J_g(x)} \right\rvert \Bigr) V(R_j) \geq \sum_{j=1}^N \left\lvert {J_g(x_j)} \right\rvert V(R_j) = \sum_{j=1}^N V\bigl(Dg(x_j) R_j\bigr)\]... FIXME... ¿hay que recoger\(x_j\) correctamente?

Let

FIXME

Así\(\left\lvert {J_g(x)} \right\rvert\) es el reemplazo de\(\left\lvert {g'(x)} \right\rvert\) para múltiples dimensiones. Tenga en cuenta que el siguiente teorema sostiene en más generalidad, pero esta afirmación es suficiente para muchos usos.

Supongamos que\(S \subset {\mathbb{R}}^n\) es un conjunto medible Jordan acotado abierto, y\(g \colon S \to {\mathbb{R}}^n\) es un mapeo uno a uno continuamente diferenciable tal que\(g(S)\) es Jordan medible y nunca\(J_g\) es cero en\(S\).

Supongamos que\(f \colon g(S) \to {\mathbb{R}}\) es Riemann integrable, entonces Riemann\(f \circ g\) es integrable en\(S\) y\[\int_{g(S)} f(x) \, dx = \int_S f\bigl(g(x)\bigr) \left\lvert {J_g(x)} \right\rvert \, dx .\]

FIXME

FIXME: cambio de variables para funciones con soporte compacto

FIXME4

Ejercicios

Demostrar.

FIXME

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1. Si quieres un espacio vectorial funky sobre un campo diferente,\({\mathbb{R}}\) es un espacio vectorial dimensional infinito sobre los números racionales. ↩