5.2: Forma del resto de Lagrange
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Joseph-Louis Lagrange proporcionó una forma alternativa para el resto en la serie Taylor en su obra de 1797 Théorie des functions analytiques. La forma de Lagrange del resto es la siguiente.
Supongamos que\(f\) es una función tal que\(f^{(n+1)}(t)\) es continua en un intervalo que contiene\(a\) y\(x\). Entonces
\[f(x) - \left ( \sum_{j=0}^{n}\dfrac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j \right ) = \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\]
donde\(c\) hay algún número entre\(a\) y\(x\).
Obsérvese primero que el resultado es verdadero cuando\(x = a\) como ambos lados se reducen a\(0\) (en ese caso)\(c = x = a\). Demostraremos el caso donde\(a < x\); el caso\(x < a\) será un ejercicio.
Primero, ya tenemos
\[f(x) - \left ( \sum_{j=0}^{n}\dfrac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j \right ) = \dfrac{1}{n!}\int_{t=a}^{x} f^{(n+1)}(t)(x-t)^{n}dt \nonumber \]
por lo que basta con demostrar que
\[\dfrac{1}{n!}\int_{t=a}^{x} f^{(n+1)}(t)(x-t)^{n}dt = \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{n+1}(x-a)^{n+1} \nonumber \]
para algunos\(c\) con\(c ∈ [a,x]\). Con este fin, vamos
\[M = \underset{a\leq t\leq x}{\max } \left (f^{(n+1)}(t) \right ) \nonumber \]
y
\[m = \underset{a\leq t\leq x}{\min } \left (f^{(n+1)}(t) \right ) \nonumber \]
Tenga en cuenta que para todos\(t ∈ [a,x]\), tenemos\(m ≤ f^{(n+1)}(t) ≤ M\). Ya que\(x-t ≥ 0\), esto nos da
\[m(x - t)^n \leq f^{(n+1)}(t)(x - t)^n \leq M(x - t)^n \nonumber \]
y así
\[\int_{t=a}^{x}m(x - t)^n dt \leq \int_{t=a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x - t)^n dt \leq \int_{t=a}^{x}M(x - t)^n dt \nonumber \]
Computando las integrales externas, tenemos
\[m\int_{t=a}^{x}(x - t)^n dt \leq \int_{t=a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x - t)^n dt \leq M\int_{t=a}^{x}(x - t)^n dt \nonumber \]
\[m\dfrac{(x-a)^{n+1}}{n+1} \leq \int_{t=a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x - t)^n dt \leq M\dfrac{(x-a)^{n+1}}{n+1} \nonumber \]
\[m \leq \dfrac{\int_{t=a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x - t)^n dt}{\left ( \dfrac{(x-a)^{n+1}}{n+1} \right )} \leq M \nonumber \]
Desde
\[\dfrac{\int_{t=a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x - t)^n dt}{\left ( \dfrac{(x-a)^{n+1}}{n+1} \right )} \nonumber \]
es un valor que se encuentra entre el máximo y el mínimo de\(f^{(n+1)}\) on\([a,x]\), entonces por el Teorema del Valor Intermedio, debe existir un número\(c ∈ [a,x]\) con
\[f^{(n+1)}(c) = \dfrac{\int_{t=a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x - t)^n dt}{\left ( \dfrac{(x-a)^{n+1}}{n+1} \right )} \nonumber \]
Esto nos da
\[\int_{t=a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x - t)^n dt = \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{n+1}(x-a)^{n+1} \nonumber \]
Y el resultado sigue.
\(\square\)
Demostrar teorema\(\PageIndex{1}\) para el caso donde\(x < a\).
- Pista
-
Tenga en cuenta que\[\int_{t=a}^{x}f^{(n+1)}(t)(x - t)^n dt = (-1)^{n+1}\int_{t=x}^{a}f^{(n+1)}(t)(t - x)^n dt \nonumber \] Use el mismo argumento sobre esta integral. Funcionará al final. ¡De veras! Solo necesitas hacer un seguimiento de todos los negativos.
Esta no es la prueba de Lagrange. No utilizó la forma integral del resto. Sin embargo, esto es similar a la prueba de Lagrange en que también utilizó el Teorema del Valor Intermedio (IVT) y el Teorema del Valor Extremo (EVT) tanto como nosotros. En la época de Lagrange, estos fueron tomados como obviamente ciertos para una función continua y hemos seguido el ejemplo de Lagrange asumiendo la IVT y la EVT. Sin embargo, en matemáticas necesitamos mantener nuestras suposiciones pocas y simples. El IVT y el EVT no satisfacen esta necesidad en el sentido de que ambos pueden probarse a partir de ideas más simples. Volveremos a esto en el Capítulo 7.
También, una palabra de precaución sobre esto: La forma de Lagrange del resto es\(\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\), donde\(c\) hay algún número entre\(a\) y\(x\). La prueba no indica cuál\(c\) podría ser esto y, de hecho, esto\(c\) cambia a medida que\(n\) cambia. Todo lo que sabemos es que esto\(c\) se encuentra entre\(a\) y\(x\). Para ilustrar este tema y sus peligros potenciales, considere el siguiente problema donde tenemos la oportunidad de calcular el valor de\(c\) para la función\(f(x) = \dfrac{1}{1+x}\).
Este problema investiga la representación de la serie Taylor
\[\dfrac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots \nonumber \]
- Usa el hecho de que\(\dfrac{1 - (-x)^{n+1}}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-x)^n\) para calcular el resto\[\dfrac{1}{1+x} - \left (1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-x)^n \right ) \nonumber \] Específicamente, computa este resto cuándo\(x = 1\) y concluir que la serie Taylor no converge a\(\dfrac{1}{1+x}\) cuándo\(x = 1\).
- Compare el resto en la parte a con la forma Lagrange del resto para determinar qué\(c\) es cuándo\(x = 1\).
- Considera el siguiente argumento: Si\(f(x) = \dfrac{1}{1+x}\), entonces\[f^{(n+1)}(c) = \dfrac{(-1)^{n+1}(n+1)!}{(1+c)^{n+2}} \nonumber \] así la forma Lagrange del resto cuando\(x = 1\) se da por\[\dfrac{(-1)^{n+1}(n+1)!}{(n+1)!(1+c)^{n+2}} = \dfrac{(-1)^{n+1}}{(1+c)^{n+2}} \nonumber \] donde\(c ∈ [0,1]\). Se puede ver en la parte b que\(c \neq 0\). Así\(1 + c > 1\) y así por el Ejercicio 4.1.4, el resto Lagrange converge a\(0\) as\(n →∞\). Este argumento sugeriría que la serie Taylor converge a\(\dfrac{1}{1+x}\) for\(x = 1\). No obstante, sabemos por la parte (a) que esto es incorrecto. ¿Qué tiene de malo el argumento?
A pesar de que hay peligros potenciales en el mal uso de la forma Lagrange del resto, es una forma útil. Por ejemplo, armados con la forma Lagrange del resto, podemos probar el siguiente teorema.
La serie binomial
\[1 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{1}{2} -1 \right )}{2!}x^2 + \dfrac{\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{1}{2} -1 \right )\left ( \dfrac{1}{2} -2 \right )}{3!}x^3 + \cdots \]
converge a\(\sqrt{1+x}\) for\(x ∈ [0,1]\).
En primer lugar señalar que la serie binomial es, de hecho, la serie Taylor para la función\(f(x) = \sqrt{1+x}\) expandida sobre\(a = 0\). Si dejamos\(x\) ser un número fijo con\(0 ≤ x ≤ 1\), entonces basta con mostrar que la forma Lagrange del resto converge a\(0\). Con esto en mente, observe que
\[f^{(n+1)}(t) = \left ( \dfrac{1}{2} \right )\left ( \dfrac{1}{2} -1 \right )\cdots \left ( \dfrac{1}{2} -n \right )(1+t)^{\dfrac{1}{2} - (n+1)} \nonumber \]
y así la forma Lagrange del resto es
\[\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} x^{n+1}= \dfrac{\left ( \dfrac{1}{2} \right )\left ( \dfrac{1}{2} -1 \right )\cdots \left ( \dfrac{1}{2} -n \right )}{(n+1)!} \dfrac{x^{n+1}}{(1+c)^{n + \dfrac{1}{2}}} \nonumber \]
donde\(c\) hay algún número entre\(0\) y\(x\). Desde\(0 ≤ x ≤ 1\) y\(1 + c ≥ 1\), entonces tenemos\(\dfrac{1}{1+c} \leq 1\), y así
\ [\ begin {align*}
0 &\ leq\ izquierda |\ dfrac {\ izquierda (\ dfrac {1} {2}\ derecha)\ izquierda (\ dfrac {1} {2} -1\ derecha)\ cdots\ izquierda (\ dfrac {1} {2} -n\ derecha)} {(n+1)!} \ dfrac {x^ {n+1}} {(1+c) ^ {n +\ dfrac {1} {2}}}\ derecha |\\
&=\ dfrac {\ izquierda (\ dfrac {1} {2}\ derecha)\ izquierda (1 -\ dfrac {1} {2}\ derecha)\ cdots\ izquierda (n -\ dfrac {1} {2}\ derecha)} {(n+1)!} \ dfrac {x^ {n+1}} {(1+c) ^ {n +\ dfrac {1} {2}}}\\
&=\ dfrac {\ izquierda (\ dfrac {1} {2}\ derecha)\ izquierda (\ dfrac {1} {2}\ derecha)\ izquierda (\ dfrac {3} {2}\ derecha)\ izquierda (\ dfrac {5} {2}\ derecha)\ cdots\ izquierda (\ dfrac {2n-1} {2}\ derecha)} {(n+1)!} x^ {n+1}\ dfrac {1} {(1+c) ^ {n +\ dfrac {1} {2}}}\\
&\ leq\ dfrac {1\ cdot 1\ cdot 3\ cdot 5\ cdots (2n-1)} {2^ {n+1} (n+1)!} \\
&=\ dfrac {1\ cdot 3\ cdot 5\ cdot (2n-1)} {2\ cdot 4\ cdot 6\ cdots 2n\ cdot (2n+2)}\\
&=\ izquierda (\ dfrac {1} {2}\ derecha)\ cdot\ izquierda (\ dfrac {3} {4}\ derecha)\ cdot\ izquierda (\ dfrac {5} {6}\ derecha)\ cdots\ dfrac {2n-1} {2n}\ cdot\ dfrac {1} {2n+2}\\
&\ leq\ dfrac {1} {2n+2}
\ end {alinear*}\]
Desde\(\lim_{n \to \infty }\dfrac{1}{2n+2} = 0 = \lim_{n \to \infty }0\) entonces por el Teorema de Squeeze,
\[\lim_{n \to \infty }\left |\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} x^{n+1} \right | = 0 \nonumber\]
por lo
\[\lim_{n \to \infty }\left (\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!} x^{n+1} \right ) = 0\nonumber \]
Así la serie Taylor\(1 + \dfrac{1}{2}x + \dfrac{\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{1}{2} -1 \right )}{2!}x^2 + \dfrac{\dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{1}{2} -1 \right )\left ( \dfrac{1}{2} -2 \right )}{3!}x^3 + \cdots\) converge a\(\sqrt{1+x}\) for\(0 \leq x \leq 1\).
Desafortunadamente, esta prueba no funcionará para\(-1 < x < 0\). En este caso, el hecho de que\(x ≤ c ≤ 0\) hace\(1 + c ≤ 1\). Así\(\dfrac{1}{1+c}\geq 1\) y así la desigualdad
\[\dfrac{\left ( \dfrac{1}{2} \right )\left ( \dfrac{1}{2} \right )\left ( \dfrac{3}{2} \right )\left ( \dfrac{5}{2} \right )\cdots \left ( \dfrac{2n-1}{2} \right )}{(n+1)!}\dfrac{\left | x \right |^{n+1}}{(1+c)^{n + \dfrac{1}{2}}} \leq \dfrac{1\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2^{n+1}(n+1)!}\]
no puede sostenerse.
Mostrar que si\(-\dfrac{1}{2} ≤ x ≤ c ≤ 0\), entonces\(\left | \dfrac{x}{1+c} \right | \leq 1\) y modificar la prueba anterior para mostrar que la serie binomial converge a\(\sqrt{1+x}\) for\(x ∈ [-\dfrac{1}{2},0]\).
Para encargarnos del caso donde\(-1 < x < -\dfrac{1}{2}\), usaremos otra forma más del resto para la serie Taylor. Sin embargo antes de abordar eso, usaremos la forma Lagrange del resto para abordar algo mencionado en el Capítulo 3. Recordemos que notamos que la representación en serie no\(\dfrac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots\) funcionó cuando\(x = 1,\) sin embargo notamos que las series obtenidas integrando término por término sí parecieron converger a la antiderivada de\(\dfrac{1}{1+x}\). En concreto, tenemos la serie Taylor
\[\ln (1+x) = x - \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x^3 - \cdots\]
Sustituir\(x = 1\) en esto proporcionó la serie convergente\(1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \cdots\). Hicimos la afirmación de que esto, de hecho, converge a\(\ln 2\), pero que esto no era obvio. La forma Lagrange del resto nos da la maquinaria para demostrarlo.
- Calcular la forma Lagrange del resto para la serie Maclaurin para\(\ln(1 + x)\).
- Mostrar que cuando\(x = 1\), la forma Lagrange del resto converge\(0\) y así la ecuación\(\ln 2 = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \cdots\) es realmente correcta.