8.1: Convergencia Uniforme
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Hemos desarrollado definiciones analíticas precisas de la convergencia de una secuencia y continuidad de una función y las hemos utilizado para probar la EVT e IVT para una función continua. Ahora volveremos a llamar nuestra atención sobre la pregunta que originalmente motivó estas definiciones, “¿Por qué las series Taylor se portan bien, pero las series de Fourier no son necesariamente? ” Más precisamente, mencionamos que cada vez que converge una serie de potencias, entonces lo que sea a lo que convergía era continuo. Además, si diferenciamos o integramos estas series término por término entonces la serie resultante convergerá a la derivada o integral de la serie original. Este no siempre fue el caso de las series de Fourier. Por ejemplo, considere la función
\[\begin{align*} f(x) &= \dfrac{4}{\pi } \left ( \sum_{k=0}^{\infty }\dfrac{(-1)^k}{2k+1}\cos ((2k+1)\pi x) \right )\\ &= \dfrac{4}{\pi } \left (\cos (\pi x) - \dfrac{1}{3}\cos (2\pi x) + \dfrac{1}{5}(5\pi x) - \cdots \right ) \end{align*}\]
Hemos visto que la gráfica de\(f\) viene dada por
Figura\(\PageIndex{1}\): Gráfica de\(f\).
Si consideramos la siguiente secuencia de funciones
\[\begin{align*} f_1(x) &= \dfrac{4}{\pi } \cos \left ( \dfrac{\pi }{2}x \right )\\[4pt] f_2(x) &= \dfrac{4}{\pi } \left (\cos \left ( \dfrac{\pi }{2}x \right ) - \dfrac{1}{3}\cos \left ( \dfrac{3\pi }{2}x \right ) \right )\\[4pt] f_3(x) &= \dfrac{4}{\pi } \left (\cos \left ( \dfrac{\pi }{2}x \right ) - \dfrac{1}{3}\cos \left ( \dfrac{3\pi }{2}x \right ) + \dfrac{1}{5}\cos \left ( \dfrac{5\pi }{2}x \right ) \right )\\\vdots \end{align*}\]
vemos que la secuencia de funciones continuas (\(f_n\)) converge a la función no continua\(f\) para cada número real\(x\). Esto no sucedió con la serie Taylor. Las sumas parciales para una serie de Taylor eran polinomios y, por lo tanto, continuas, pero en lo que convergieron también fue continuo.
La dificultad es bastante delicada y los matemáticos tardaron un tiempo en determinar el problema. Hay dos formas muy sutilmente diferentes en las que una secuencia de funciones puede converger: puntual o uniformemente. Esta distinción fue tocada por Niels Henrik Abel (1802-1829) en 1826 mientras estudiaba el dominio de convergencia de una serie de poder. Sin embargo, las definiciones formales necesarias no se hicieron explícitas hasta que Weierstrass lo hizo en su artículo de 1841 Zur Theorie der Potenzreihen (On the Theory of Power Series). Esto fue publicado en sus obras colectadas en 1894.
Será instructivo echar un vistazo a un argumento que no funciona del todo antes de mirar las definiciones formales que necesitaremos. En 1821 Augustin Cauchy “demostró” que la suma infinita de funciones continuas es continua. Por supuesto, es obvio (para nosotros) que esto no es cierto porque hemos visto varios contraejemplos. Pero Cauchy, que era matemático de primer nivel estaba tan seguro de la exactitud de su argumento que lo incluyó en su libro de texto sobre análisis, Cours d'analyse (1821).
Encuentra la flaw en la siguiente “prueba” que también\(f\) es continua en\(a\).
Supongamos que todos\(f_1, f_2, f_3, f_4 ...\) son continuos en\(a\) y eso\(\sum_{n=1}^{\infty } f_n = f\). Vamos\(ε > 0\). Ya que\(f_n\) es continuo en\(a\), podemos elegir\(δ_n > 0\) tal que si\(|x - a| < δ_n\), entonces\(|f_n(x) - f_n(a)| < \dfrac{ε}{2n}\). Vamos\(δ = \inf (δ_1, δ_2, δ_3,...)\). Si\(|x - a| < δ\) entonces
\ izquierda | f (x) - f (a)\ derecha | &=\ izquierda |\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} f_n (x) -\ sum_ {n=1} ^ {\ infty} f_n (a)\ derecha |\\
&=\ izquierda |\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda (f_n (x) - f_n (a)\ derecha)\ derecha |\\
&\ leq\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda |f_n (x) - f_n (a)\ derecha |\\
&\ leq\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ dfrac {\ varepsilon} {2^n}\\
&\ leq\ varepsilon\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ dfrac {1} {2^n}\\
&=\ varepsilon
\ end {align*}
Así\(f\) es continuo en\(a\).
Dejar\(S\) ser un subconjunto del sistema de números reales y dejar\((f_n) = (f_1, f_2, f_3, ...)\) ser una secuencia de funciones definidas en\(S\). Dejar\(f\) ser una función definida en\(S\) también. Decimos que (\(f_n\)) converge a\(f\) pointwise on\(S\) siempre que para todos\(x ∈ S\), la secuencia de números reales (\(f_n(x)\)) converja con el número\(f(x)\). En este caso escribimos\(f_n\xrightarrow[]{ptwise}f\) en\(S\).
Simbólicamente, tenemos\(f_n\xrightarrow[]{ptwise}f\) en\(S ⇔ ∀ x ∈ S,∀ ε > 0, ∃ N\) tal que\(( n > N ⇒|f_n(x) - f(x)| < ε)\).
Este es el tipo de convergencia que hemos estado observando hasta este punto. Por el contrario tenemos la siguiente nueva definición.
Dejar\(S\) ser un subconjunto del sistema de números reales y dejar\((f_n) = (f_1, f_2, f_3, ...)\) ser una secuencia de funciones definidas en\(S\). Dejar\(f\) ser una función definida en\(S\) también. Decimos que (\(f_n\)) converge de manera\(f\) uniforme sobre\(S\) siempre y cuando\(∀ ε > 0, ∃ N\) tal que\(n > N ⇒|f_n(x) - f(x)| < ε, ∀ x ∈ S\).
En este caso escribimos\(f_n\xrightarrow[]{unif}f\) en\(S\).
La diferencia entre estas dos definiciones es sutil. En convergencia puntual, se nos da un fijo\(x ∈ S\) y un\(ε > 0\). Entonces la tarea es encontrar una\(N\) que funcione para ese particular\(x\) y\(ε\). En convergencia uniforme, se da una\(ε > 0\) y se debe encontrar una sola\(N\) que funcione para ese particular\(ε\) pero también simultáneamente (uniformemente) para todos\(x ∈ S\). La convergencia claramente uniforme implica una convergencia puntual como una\(N\) que funciona de manera uniforme para todos\(x\),\(x\) también funciona para cada individuo. Sin embargo, no es cierto lo contrario. Esto se hará evidente, pero primero consideremos el siguiente ejemplo.
Dejar\(0 < b < 1\) y considerar la secuencia de funciones (\(f_n\)) definidas en\([0,b]\) por\(f_n(x) = x_n\). Usa la definición para mostrar eso\(f_n\xrightarrow[]{unif}0\) en\([0 ,b]\).
- Pista
-
\(|x^n - 0| = x^n ≤ b^n\)
La convergencia uniforme no sólo depende de la secuencia de funciones sino también del conjunto\(S\). Por ejemplo, la secuencia\(\left ( f_n(x) \right ) = \left ( x^n \right )_{n=0}^{\infty }\) de Problema\(\PageIndex{2}\) no converge uniformemente en\([0,1]\). Podríamos usar la negación de la definición para probarlo, pero en cambio, será consecuencia del siguiente teorema.
Considere una secuencia de funciones (\(f_n\)) que son todas continuas en un intervalo\(I\). Supongamos\(f_n\xrightarrow[]{unif}f\) en\(I\). Entonces\(f\) debe ser continuo en\(I\).
- Croquis de techo P
-
Dejar\(a ∈ I\) y dejar\(ε > 0\). La idea es utilizar convergencia uniforme para reemplazar\(f\) con una de las funciones continuas conocidas\(f_n\). Específicamente, al descancelar, podemos escribir
\[\begin{align*} \left | f(x) - f(a) \right | &= \left | f(x) - f_n(x) + f_n(x) - f_n(a) + f_n(a) - f(a) \right |\\ &\leq \left |f(x) - f_n(x) \right | + \left | f_n(x) - f_n(a) \right | + \left | f_n(a) - f(a) \right | \end{align*}\]
Si elegimos lo suficientemente\(n\) grande, entonces podemos hacer que el primer y último término sean tan pequeños como queramos, señalando que la convergencia uniforme hace que el primer término sea uniformemente pequeño para todos\(x\). Una vez que tenemos un específico\(n\), entonces podemos usar la continuidad de\(f_n\) para encontrar un\(δ > 0\) tal que el término medio sea pequeño siempre que\(x\) esté dentro\(δ\) de\(a\).
Proporcionar una prueba formal de teorema\(\PageIndex{1}\) basada en las ideas anteriores.
Considere la secuencia de funciones (\(f_n\)) definidas en\([0,1]\) por\(f_n(x) = x^n\). Mostrar que la secuencia converge a la función
\[f(x) = \begin{cases} 0 & \text{ if } x\; \epsilon\; [0,1) \\ 1 & \text{ if } x= 1 \end{cases} \nonumber\]
puntualmente encendido\([0,1]\), pero no uniformemente encendido\([0,1]\).
Observe que para la serie de Fourier al comienzo de este capítulo,
\[f(x) = \dfrac{4}{\pi } \left (\cos \left ( \dfrac{\pi }{2}x \right ) - \dfrac{1}{3}\cos \left ( \dfrac{3\pi }{2}x \right ) + \dfrac{1}{5}\cos \left ( \dfrac{5\pi }{2}x \right ) - \dfrac{1}{7}\cos \left ( \dfrac{7\pi }{2}x \right ) + \cdots \right )\]
la convergencia no puede ser uniforme\((-∞,∞)\), ya que la función no\(f\) es continua. Esto nunca sucede con una serie power, ya que convergen a funciones continuas cada vez que convergen. También veremos que la convergencia uniforme es lo que nos permite integrar y diferenciar una serie de potencias término por término.