8.2: Convergencia Uniforme- Integrales y Derivados
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- Secuencias de Cauchy
Vimos en la sección anterior que si (\(f_n\)) es una secuencia de funciones continuas que converge uniformemente\(f\) en un intervalo, entonces\(f\) debe ser continua en el intervalo también. Esto no era necesariamente cierto si la convergencia era solo puntual, ya que vimos una secuencia de funciones continuas definidas en\((-∞,∞)\) convergencia puntual a una serie de Fourier que no era continua en la línea real. La convergencia uniforme también garantiza algunas otras propiedades agradables.
Supongamos\(f_n\) y\(f\) son integrables y\(f_n \xrightarrow[]{unif}f\) sucesivamente\([a,b]\). Entonces
\[\lim_{n \to \infty }\int_{x=a}^{b}f_n(x)dx = \int_{x=a}^{b}f(x)dx\]
Demostrar teorema\(\PageIndex{1}\).
- Pista
-
Porque\(ε > 0\), tenemos que hacer\(|f_n(x) - f(x)| < \frac{ε}{b-a}\), para todos\(x ∈ [a,b]\).
Observe que este teorema no es cierto si la convergencia es sólo puntual, como lo ilustra lo siguiente.
Considere la secuencia de funciones (\(f_n\)) dada por
\[f_n(x) = \begin{cases} n & \text{ if } x \; \epsilon \; \left ( 0, \frac{1}{n} \right ) \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\]
- \(f_n \xrightarrow[]{ptwise}0\)Demuéstralo encendido\([0,1]\), pero\(\lim_{n \to \infty }\int_{x=0}^{1}f_n(x)dx \neq \int_{x=0}^{1}0 dx\).
- ¿La convergencia puede ser uniforme? Explique.
Aplicando este resultado a series de potencia tenemos lo siguiente.
Si\(\sum_{n=0}^{\infty }a_n x^n\) converge uniformemente 1 a\(f\) en un intervalo que contiene\(0\) y\(x\) luego\(\int_{t=0}^{x}f(t)dt = \sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} \right )\).
Demostrar Corolario\(\PageIndex{1}\).
- Pista
-
Recuerda que
\[\sum_{n=0}^{\infty }f_n(x) = \lim_{N \to \infty }\sum_{n=0}^{N}f_n(x)\]
Sorprendentemente, el tema de la diferenciación término por término no depende de la convergencia uniforme de (\(f_n\)), sino de la convergencia uniforme de (\(f'_n\)). Más precisamente, tenemos el siguiente resultado.
Supongamos que para cada uno\(n ∈ N\)\(f_n\)\(f'_n\) es diferenciable, es continuo\(f_n \xrightarrow[]{ptwise}f\),, y\(f'_n \xrightarrow[]{unif}g\) en un intervalo,\(I\). Entonces\(f\) es diferenciable y\(f' = g\) encendido\(I\).
Demostrar teorema\(\PageIndex{2}\).
- Pista
-
\(a\)Dejemos entrar un punto fijo arbitrario\(I\) y dejar\(x ∈ I\). Por el Teorema Fundamental del Cálculo, tenemos
\[\int_{t=a}^{x}f'_n(t)dt = f_n(x) - f_n(a) \nonumber\]
Tomar el límite de ambos lados y diferenciar con respecto a\(x\).
Como antes, aplicar esto a la serie power da el siguiente resultado.
Si\(\sum_{n=0}^{\infty }a_n x^n\) converge puntualmente a\(f\) en un intervalo que contiene\(0\) y\(x\) y\(\sum_{n=1}^{\infty }a_n nx^{n-1}\) converge uniformemente en un intervalo que contiene\(0\) y\(x\), entonces\(f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty }a_n nx^{n-1}\).
Demostrar Corolario\(\PageIndex{2}\).
Los resultados anteriores dicen que una serie de potencias puede diferenciarse e integrarse término a término siempre que la convergencia sea uniforme. Afortunadamente es, en general, cierto que cuando una serie de potencias converge la convergencia de la misma y su serie integrada y diferenciada también es uniforme (casi).
Sin embargo todavía no contamos con todas las herramientas necesarias para ver esto. Para construir estas herramientas se requiere que volvamos con fuerza a nuestro estudio, iniciado en el Capítulo 4, de la convergencia de secuencias.
Secuencias de Cauchy
Saber que una secuencia o una serie converge y saber a qué converge son típicamente dos asuntos diferentes. Por ejemplo, eso lo sabemos\(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}\) y\(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!n!}\) ambos convergen. El primero converge a\(e\), lo que tiene sentido en otros contextos. No sabemos a qué converge el segundo, aparte de decir a lo que converge\(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!n!}\). De hecho, esa cuestión podría no tener mucho sentido sin algún otro contexto en el que\(\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!n!}\) surja naturalmente. Sea como fuere, necesitamos mirar la convergencia de una serie (o una secuencia para el caso) sin saber necesariamente a qué podría converger. Hacemos la siguiente definición.
Let (\(s_n\)) ser una secuencia de números reales. Decimos que (\(s_n\)) es una secuencia de Cauchy si para alguna\(ε > 0\), existe un número real\(N\) tal que si\(m\),\(n > N\), entonces\(|s_m - s_n| < ε\).
Observe que esta definición dice que los términos en una secuencia de Cauchy se acercan arbitrariamente entre sí y que no hay referencia para acercarse a ningún número real fijo en particular. Además, ya has visto muchos ejemplos de secuencias de Cauchy como se ilustra con el siguiente resultado.
Supongamos (\(s_n\)) es una secuencia de números reales que converge a\(s\). Entonces (\(s_n\)) es una secuencia de Cauchy.
Intuitivamente, este resultado tiene sentido. Si los términos en una secuencia se están acercando arbitrariamente\(s\), entonces deberían estar acercándose arbitrariamente entre sí. 2 Esta es la base de la prueba.
Demostrar teorema\(\PageIndex{3}\).
- Pista
-
\(|s_m - s_n| = |s_m - s + s - s_n| ≤ |s_m - s|+|s - s_n|\)
Entonces cualquier secuencia convergente es automáticamente Cauchy. Para el sistema de números reales, lo contrario también es cierto y, de hecho, equivale a cualquiera de nuestros axiomas de integridad: el NIP, el Teorema de Bolzano-Weierstrass o la Propiedad LUB. Así, esto podría haberse tomado como nuestro axioma de integridad y podríamos haberlo utilizado para probar los demás. Una de las formas más convenientes de probar esta conversa es usar el Teorema de Bolzano-Weierstrass. Para ello, primero debemos demostrar que se debe delimitar una secuencia de Cauchy. Este resultado recuerda el hecho de que una secuencia convergente está acotada (Lema 4.2.2 del Capítulo 4) y la prueba es muy similar.
Supongamos que (\(s_n\)) es una secuencia de Cauchy. Entonces existe\(B > 0\) tal que\(|s_n|≤ B\) para todos\(n\).
Demostrar Lema\(\PageIndex{1}\)
- Pista
-
Esto es similar al Ejercicio 4.2.4 del Capítulo 4. Existe\(N\) tal que si\(m\),\(n > N\) entonces\(|s_n - s_m| < 1\). Elija un fijo\(m > N\) y deje\(B = \max \left (|s_1|, |s_2|,..., |s_{\left \lceil N \right \rceil}|,|s_m|+ 1 \right )\).
Supongamos (\(s_n\)) es una secuencia Cauchy de números reales. Existe un número real\(s\) tal que\(\lim_{n \to \infty }s_n = s\).
- Croquis de Prueba
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Sabemos que (\(s_n\)) está acotado, así que por el Teorema de Bolzano-Weierstrass, tiene una subsecuencia convergente (\(s_{n_k}\)) que converge a algún número real\(s\). Tenemos\(|s_n - s| = |s_n - s_{n_k} + s_{n_k} - s| ≤ |s_n - s_{n_k}|+|s_{n_k} - s|\). Si elegimos\(n\) y lo suficientemente\(n_k\) grande, deberíamos poder hacer que cada término sea arbitrariamente pequeño.
Proporcionar una prueba formal de teorema\(\PageIndex{4}\).
Del teorema\(\PageIndex{3}\) vemos que cada secuencia de Cauchy converge en\(\mathbb{R}\). Además, la prueba de este hecho depende del Teorema de Bolzano-Weierstrass que, como hemos visto, es equivalente a nuestro axioma de integridad, la Propiedad de Intervalo Anidado. Lo que esto significa es que si hay una secuencia de Cauchy que no converge entonces el NIP no es cierto. Una pregunta natural que hacer es si cada secuencia de Cauchy converge ¿sigue el NIP? Es decir, ¿la convergencia de las secuencias de Cauchy es también equivalente a nuestro axioma de integridad? El siguiente teorema muestra que la respuesta es sí.
Supongamos que cada secuencia de Cauchy converge. Entonces la Propiedad Intervalo Anidado es verdadera.
Demostrar teorema\(\PageIndex{5}\).
- Pista
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Si empezamos con dos secuencias (\(x_n\)) y (\(y_n\)), satisfaciendo todas las condiciones del NIP, deberías poder demostrar que estas son ambas secuencias de Cauchy.
Ejercicios\(\PageIndex{8}\) y nos\(\PageIndex{9}\) dicen que los siguientes son equivalentes: la Propiedad Intervalo Anidado, el Teorema de Bolzano-Weierstrass, la Propiedad de Límite Mínimo Superior, y la convergencia de secuencias de Cauchy. Así, cualquiera de estos podría haber sido tomado como el axioma de integridad del sistema numérico real y luego utilizado para probar cada uno de los otros como teorema de acuerdo con la siguiente gráfica de dependencia:
Figura\(\PageIndex{1}\): Gráfica de dependencia.
Ya que podemos llegar de cualquier nodo de la gráfica a cualquier otro, simplemente siguiendo las implicaciones (indicadas con flechas), cualquiera de estas afirmaciones es lógicamente equivalente a cada una de las otras.
Dado que la convergencia de las secuencias de Cauchy puede tomarse como el axioma de integridad para el sistema de números reales, no se sostiene para el sistema numérico racional. Dé un ejemplo de una secuencia Cauchy de números racionales que no converge a un número racional.
Si aplicamos las ideas anteriores a series obtenemos el siguiente resultado importante, que proporcionará la base para nuestra investigación de series de poder.
La serie\(\sum_{k=0}^{\infty }a_k\) converge si y sólo si\(∀ ε > 0, ∃N\) tal que si\(m > n > N\) entonces\(\left |\sum_{k=n+1}^{m}a_k \right | < \varepsilon\).
Demostrar el criterio de Cauchy.
En este punto se prueban fácilmente varias de las pruebas de convergencia que probablemente aprendiste en cálculo. Por ejemplo:
Demostrar que si\(\sum_{n=1}^{\infty }a_n\) converge entonces\(\lim_{n \to \infty }a_n = 0\).
Demostrar que\(\sum_{k=1}^{\infty }a_k\) converge si y solo si\(\lim_{n \to \infty }\sum_{k=n+1}^{\infty }a_k = 0\).
- Pista
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La parte más difícil de este problema es reconocer que realmente se trata del límite de una secuencia como en el Capítulo 4.
También puede recordar la Prueba de Comparación del estudio de series en cálculo: supongamos\(0 ≤ a_n ≤ b_n\), si\(\sum b_n\) converge entonces\(\sum a_n\) converge. Este resultado se desprende del hecho de que las sumas parciales de\(\sum a_n\) forman una secuencia creciente que está delimitada arriba por\(\sum b_n\). (Ver Corolario 7.4.1 del Capítulo 7.) El Criterio de Cauchy nos permite extender esto al caso donde los términos an también podrían ser negativos. Esto se puede ver en el siguiente teorema.
Supongamos\(|a_n| ≤ b_n\) para todos\(n\). Si\(\sum b_n\) converge entonces\(\sum a_n\) también converge.
Demostrar teorema\(\PageIndex{7}\).
- Pista
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Utilizar el criterio de Cauchy con el hecho de que\(\left |\sum_{k=n+1}^{m}a_k \right | \leq \sum_{k=n+1}^{m}\left |a_k \right |\).
La siguiente definición es de marcada importancia en el estudio de las series.
Dada una serie\(\sum a_n\), la serie\(\sum \left |a_n \right |\) se llama la serie absoluta de\(\sum a_n\) y si\(\sum \left |a_n \right |\) converge entonces decimos que\(\sum a_n\) converge absolutamente.
La significación de esta definición proviene del siguiente resultado.
Si\(\sum a_n\) converge absolutamente, entonces\(\sum a_n\) converge.
Demostrar que el Corolario\(\PageIndex{3}\) es una consecuencia directa del Teorema\(\PageIndex{7}\).
Si\(\sum_{n=0}^{\infty } \left | a_n \right | = s\), entonces ¿sigue eso\(s = \left | \sum_{n=0}^{\infty } a_n \right |\)? Justifica tu respuesta. ¿Qué se puede decir?
Lo contrario de Corolario no\(\PageIndex{3}\) es cierto como lo demuestra la serie\(\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n}{n+1}\). Como señalamos en el Capítulo 3, esta serie converge a\(\ln 2\). Sin embargo, su serie absoluta es la Serie Armónica que diverge. Cualquier serie de este tipo que converja, pero no absolutamente, se dice que converge condicionalmente. Recordemos también que en el Capítulo 3, demostramos que podíamos reordenar los términos de la serie\(\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n}{n+1}\) para hacerla converger a cualquier número que deseáramos. Señalamos además que todos los reordenamientos de la serie\(\sum_{n=0}^{\infty } \frac{(-1)^n}{(n+1)^2}\) convergieron al mismo valor. La diferencia entre las dos series es que esta última converge absolutamente mientras que la primera no. En concreto, tenemos el siguiente resultado.
Supongamos\(\sum a_n\) converge absolutamente y vamos\(s = \sum_{n=0}^{\infty } a_n\). Entonces cualquier reordenamiento de\(\sum a_n\) debe converger a\(s\).
- Croquis de Prueba
-
Primero demostraremos que este resultado es cierto en el caso donde\(a_n ≥ 0\). Si\(\sum b_n\) representa un reordenamiento de\(\sum a_n\), entonces observe que la secuencia de sumas parciales\(\left ( \sum_{k=0}^{n}b_k \right )_{n=0}^{\infty }\) es una secuencia creciente que está limitada por\(s\). Por Corolario 7.4.1 del Capítulo 7, esta secuencia debe converger a algún número\(t\) y\(t ≤ s\). Además también\(\sum a_n\) es un reordenamiento de\(\sum b_n\). Así el resultado se mantiene para este caso especial. (¿Por qué?) Para el caso general, fíjese eso\(a_n = \frac{|a_n|+a_n}{2} - \frac{|a_n| - a_n}{2}\) y\(\sum \frac{\left | a_n \right | + a_n}{2}\) aquello y ambas\(\sum \frac{\left | a_n \right | - a_n}{2}\) son series convergentes con términos no negativos. Por el caso especial\(\sum \frac{\left | b_n \right | + b_n}{2} = \sum \frac{\left | a_n \right | + a_n}{2}\) y\(\sum \frac{\left | b_n \right | - b_n}{2} = \sum \frac{\left | a_n \right | - a_n}{2}\)
Rellene los datos y proporcione una prueba formal del Teorema\(\PageIndex{8}\).