1.1.E: Problemas en la Teoría de Conjuntos (Ejercicios)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Demostrar Teorema 1 (mostrar que\(x\) está en el conjunto de la izquierda si está en el conjunto de la derecha). Por ejemplo, para\((\mathrm{d}),\)
\ [
\ begin {alineado} x\ in (A\ copa B)\ cap C &\ Longleftrightarrow [x\ in (A\ copa B)\ texto {y} x\ en C]\\ &\ Longleftrightarrow [(x\ en A\ texto {o} x\ en B),\ texto {y} x\ en C]\\ &\ Longlefleflefthtarrow Trightarrow [(x\ en A, x\ en C)\ texto {o} (x\ en B, x\ en C)]. \ end {alineado}
\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que
(i)\(-(-A)=A\);
(ii)\(A \subseteq B\) iff\(-B \subseteq-A\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar que
\ [
A-B=A\ cap (-B) =( -B) - (-A) =- [(-A)\ copa B].
\]
Además, dar tres expresiones para\(A \cap B\) y\(A \cup B,\) en términos de complementos.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar la segunda ley de dualidad (Teorema 2 (ii)).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Describe geométricamente los siguientes conjuntos en la línea real:
\ [
\ begin {array} {ll} {\ text {(i)}\ {x | x<0\};} & {\ text {(ii)}\ {x| | x |<1\}};\\ {\ text {(iii)}\ {x| | x-a |<\ varepsilon\};} & {\ text {(iv)}\ {x | a<x\ leq b\}};\\ {\ texto {(v)}\ {x| | x |<0\} }. \ end {array}
\]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Dejar\((a, b)\) denotar el conjunto
\ [
\ {\ {a\},\ {a, b\}\}
\]
(definición de Kuratowski de un par ordenado).
i) ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?
\ [
\ begin {array} {ll} {\ text {(a)} a\ in (a, b);} & {\ text {(b)}\ {a\}\ in (a, b)};\\ {\ text {(c)} (a, a) =\ {a\};} & {\ text {(d)} b\ in (a, b)};\\ {\ text {(e)}\ {b\}\ in (a, b);} & {\ text {(f)}\ {a, b\}\ in (a, b)}. \ end {array}
\]
(ii) Demostrar que\((a, b)=(u, v)\) si\(a=u\) y\(b=v\).
[Pista: Considere por separado los dos casos\(a=b\) y\(a \neq b,\) señalando que\(\{a, a\}=\)\(\{a\} .\) También tenga en cuenta que\(\{a\} \neq a . ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Describa geométricamente los siguientes conjuntos en el\(x y\) plano.
(i)\(\{(x, y) | x<y\}\);
(ii)\(\left\{(x, y) | x^{2}+y^{2}<1\right\}\);
(iii)\(\{(x, y)|\max (|x|,|y|)<1\}\);
(iii)\(\left\{(x, y) | y>x^{2}\right\}\);
(iv)\(\left\{(x, y) | y>x^{2}\right\}\);
(vii)\(\{(x, y)| | x|+| y |<4\}\);
(vii)\(\left\{(x, y) |(x-2)^{2}+(y+5)^{2} \leq 9\right\}\);
(viii)\(\left\{(x, y) | x^{2}-2 x y+y^{2}<0\right\}\);
(ix)\(\left\{(x, y) | x^{2}-2 x y+y^{2}=0\right\}\).

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Demostrar que
(i)\((A \cup B) \times C=(A \times C) \cup(B \times C)\);
(ii)\((A \cap B) \times(C \cap D)=(A \times C) \cap(B \times D)\);
(iii)\((X \times Y)-\left(X^{\prime} \times Y^{\prime}\right)=\left[\left(X \cap X^{\prime}\right) \times\left(Y-Y^{\prime}\right)\right] \cup\left[\left(X-X^{\prime}\right) \times Y\right]\);
[Pista: En cada caso, mostrar que un par ordenado\((x, y)\) está en el conjunto de la izquierda si está en el conjunto de la derecha, tratando\((x, y)\) como un elemento del producto cartesiano. \(]\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Demostrar las leyes distributivas
(i)\(A \cap \cup X_{i}=\bigcup\left(A \cap X_{i}\right)\);
(ii)\(A \cup \cap X_{i}=\bigcap\left(A \cup X_{i}\right)\);
(iii)\(\left(\cap X_{i}\right)-A=\cap\left(X_{i}-A\right)\);
(iv)\((\cup X _{i} )-A=\cup\left(X_{i}-A\right)\);
(v)\(\cap X_{i} \cup \cap Y_{j}=\cap_{i, j}\left(X_{i} \cup Y_{j}\right) ;\)
(vi)\(\cup X_{i} \cap \cup Y_{j}=\cup_{i, j}\left(X_{i} \cap Y_{j}\right)\).

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Demostrar que
(i)\(\left(\cup A_{i}\right) \times B=\bigcup\left(A_{i} \times B\right)\);
(ii)\(\left(\cap A_{i}\right) \times B=\cap\left(A_{i} \times B\right)\);
(iii)\(\left(\cap_{i} A_{i}\right) \times\left(\cap_{j} B_{j}\right)=\bigcap_{i, j}\left(A_{i} \times B_{i}\right)\);
(iv)\(\left(\cup_{i} A_{i}\right) \times\left(\bigcup_{j} B_{j}\right)=\bigcup_{i, j}\left(A_{i} \times B_{j}\right)\).