1.2.E: Problemas en Relaciones y Mapeos (Ejercicios)
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Para las relaciones especificadas en el Problema 7 de §§1-3, encontrar\(D_{R}, D_{R}^{\prime},\) y\(R^{-1}\). Además, encuentra\(R[A]\) y\(R^{-1}[A]\) si
\ [
\ begin {array} {ll} {\ text {(a)} A=\ left\ {\ frac {1} {2}\ right\};} & {\ text {(b)} A=\ {1\}}\\ {\ text {(c)} A=\ {0\};} & {\ text {(d)} A=\ vacío conjunto\ texto {;}}\\ {\ texto {(e)} A=\ {0,3, -15\};} & {\ texto {(f)} A=\ {3,4,7,0, -1 ,6\}}\\ {\ texto {(g)} A=\ {x |-20<x<5\}}\ end {array}
\]
Demostrar que si\(A \subseteq B\), entonces\(R[A] \subseteq R[B] .\) desacreditar lo contrario con un contraejemplo.
Demostrar que
(i)\(R[A \cup B]=R[A] \cup R[B]\);
(ii)\(R[A \cap B] \subseteq R[A] \cap R[B]\);
(iii)\(R[A-B] \supseteq R[A]-R[B]\).
Desmentir las inclusiones inversas en (ii) y (iii) con ejemplos. Hacer (i) y (ii) con\(A, B\) reemplazado por una familia de conjuntos arbitrarios\(\left\{A_{i} | i \in I\right\}\).
¿Bajo qué condiciones son ciertas las siguientes afirmaciones?
\ [
\ begin {array} {cc}\ text {(i)} R [x] =\ emptyset; &\ text {(ii)} R^ {-1} [x] =\ emptyset;\\\ text {(iii)} R [A] =\ emptyset; &\ text {(iv)} R^ {-1} [A] =\ conjunto vacío;\ end {array}
\]
Let\(f : N \rightarrow N(N=\{\text { naturals }\}) .\) Para cada una de las siguientes funciones, especifique\(f[N],\)\(D_{f}^{\prime},\) i.e., y determine si\(f\) es uno a uno y sobre\(N,\) dado que para todos\(x \in N\),
\ [\ begin {array} {ll} {\ text {(i)} f (x) =x^ {3};} & {\ text {(ii)} f (x) =1;\ quad\ text {(iii)} f (x) =|x|+3}\\ {\ text {(iv)} f (x) =x^ {2};} & {(\ mathrm {v}) f (x) =4 x+5}\ end {array}
\]
Haz todo esto también si\(N\) denota
(a) el conjunto de todos los enteros;
(b) el conjunto de todos los reales.
Demostrar que para cualquier mapeo\(f\) y cualquier conjunto\(A, B, A_{i}(i \in I)\),
(a)\(f^{-1}[A \cup B]=f^{-1}[A] \cup f^{-1}[B]\);
(b)\(f^{-1}[A \cap B]=f^{-1}[A] \cap f^{-1}[B]\);
(c)\(f^{-1}[A-B]=f^{-1}[A]-f^{-1}[B]\);
(d)\(f^{-1}\left[\bigcup_{i} A_{i}\right]=\bigcup_{i} f^{-1}\left[A_{i}\right]\);
(e)\(f^{-1}\left[\bigcap_{i} A_{i}\right]=\bigcap_{i} f^{-1}\left[A_{i}\right]\).
Comparar con Problema 3.
[Pista: Primero verifica que\(x \in f^{-1}[A]\) iff\(x \in D_{f}\) y\(f(x) \in A . ]\)
\(f\)Déjese ser un mapa. Demostrar que
(a)\(f\left[f^{-1}[A]\right] \subseteq A\);
(b)\(f\left[f^{-1}[A]\right]=A\) si\(A \subseteq D_{f}^{\prime}\);
(c) si\(A \subseteq D_{f}\) y\(f\) es uno a uno,\(A=f^{-1}[f[A]]\)/
Es\(f[A] \cap B \subseteq f\left[A \cap f^{-1}[B]\right] ?\)
Es\(R\) una relación de equivalencia sobre el conjunto\(J\) de todos los enteros, y, si es así, cuáles son las\(R\) -clases, si
(a)\(R=\{(x, y) | x-y \text { is divisible by a fixed } n\}\);
(b)\(R=\{(x, y) | x-y \text { is odd }\}\);
(c)\(R=\{(x, y) | x-y \text { is a prime }\}\).
\((x, y, n \text { denote integers.) }\)
¿Alguna relación en el Problema 7 de §§1-3 es reflexiva? ¿Simétrico? Transitivo?
10. Mostrar con ejemplos que\(R\) pueden ser
(a) reflexivos y simétricos, sin ser transitivos;
(b) reflexivos y transitivos sin ser simétricos.
¿La simetría más la transitividad implica reflexividad? Dar una prueba o contraejemplo.