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1.2.E: Problemas en Relaciones y Mapeos (Ejercicios)

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

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$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Para las relaciones especificadas en el Problema 7 de §§1-3, encontrar$$D_{R}, D_{R}^{\prime},$$ y$$R^{-1}$$. Además, encuentra$$R[A]$$ y$$R^{-1}[A]$$ si
\ [
\ begin {array} {ll} {\ text {(a)} A=\ left\ {\ frac {1} {2}\ right\};} & {\ text {(b)} A=\ {1\}}\\ {\ text {(c)} A=\ {0\};} & {\ text {(d)} A=\ vacío conjunto\ texto {;}}\\ {\ texto {(e)} A=\ {0,3, -15\};} & {\ texto {(f)} A=\ {3,4,7,0, -1 ,6\}}\\ {\ texto {(g)} A=\ {x |-20<x<5\}}\ end {array}
\]

Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Demostrar que si$$A \subseteq B$$, entonces$$R[A] \subseteq R[B] .$$ desacreditar lo contrario con un contraejemplo.

Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Demostrar que
(i)$$R[A \cup B]=R[A] \cup R[B]$$;
(ii)$$R[A \cap B] \subseteq R[A] \cap R[B]$$;
(iii)$$R[A-B] \supseteq R[A]-R[B]$$.
Desmentir las inclusiones inversas en (ii) y (iii) con ejemplos. Hacer (i) y (ii) con$$A, B$$ reemplazado por una familia de conjuntos arbitrarios$$\left\{A_{i} | i \in I\right\}$$.

Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

¿Bajo qué condiciones son ciertas las siguientes afirmaciones?
\ [
\ begin {array} {cc}\ text {(i)} R [x] =\ emptyset; &\ text {(ii)} R^ {-1} [x] =\ emptyset;\\\ text {(iii)} R [A] =\ emptyset; &\ text {(iv)} R^ {-1} [A] =\ conjunto vacío;\ end {array}
\]

Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Let$$f : N \rightarrow N(N=\{\text { naturals }\}) .$$ Para cada una de las siguientes funciones, especifique$$f[N],$$$$D_{f}^{\prime},$$ i.e., y determine si$$f$$ es uno a uno y sobre$$N,$$ dado que para todos$$x \in N$$,

\ [\ begin {array} {ll} {\ text {(i)} f (x) =x^ {3};} & {\ text {(ii)} f (x) =1;\ quad\ text {(iii)} f (x) =|x|+3}\\ {\ text {(iv)} f (x) =x^ {2};} & {(\ mathrm {v}) f (x) =4 x+5}\ end {array}
\]
Haz todo esto también si$$N$$ denota
(a) el conjunto de todos los enteros;
(b) el conjunto de todos los reales.

Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Demostrar que para cualquier mapeo$$f$$ y cualquier conjunto$$A, B, A_{i}(i \in I)$$,
(a)$$f^{-1}[A \cup B]=f^{-1}[A] \cup f^{-1}[B]$$;
(b)$$f^{-1}[A \cap B]=f^{-1}[A] \cap f^{-1}[B]$$;
(c)$$f^{-1}[A-B]=f^{-1}[A]-f^{-1}[B]$$;
(d)$$f^{-1}\left[\bigcup_{i} A_{i}\right]=\bigcup_{i} f^{-1}\left[A_{i}\right]$$;
(e)$$f^{-1}\left[\bigcap_{i} A_{i}\right]=\bigcap_{i} f^{-1}\left[A_{i}\right]$$.
Comparar con Problema 3.
[Pista: Primero verifica que$$x \in f^{-1}[A]$$ iff$$x \in D_{f}$$ y$$f(x) \in A . ]$$

Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

$$f$$Déjese ser un mapa. Demostrar que
(a)$$f\left[f^{-1}[A]\right] \subseteq A$$;
(b)$$f\left[f^{-1}[A]\right]=A$$ si$$A \subseteq D_{f}^{\prime}$$;
(c) si$$A \subseteq D_{f}$$ y$$f$$ es uno a uno,$$A=f^{-1}[f[A]]$$/
Es$$f[A] \cap B \subseteq f\left[A \cap f^{-1}[B]\right] ?$$

Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Es$$R$$ una relación de equivalencia sobre el conjunto$$J$$ de todos los enteros, y, si es así, cuáles son las$$R$$ -clases, si
(a)$$R=\{(x, y) | x-y \text { is divisible by a fixed } n\}$$;
(b)$$R=\{(x, y) | x-y \text { is odd }\}$$;
(c)$$R=\{(x, y) | x-y \text { is a prime }\}$$.
$$(x, y, n \text { denote integers.) }$$

Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

¿Alguna relación en el Problema 7 de §§1-3 es reflexiva? ¿Simétrico? Transitivo?

10. Mostrar con ejemplos que$$R$$ pueden ser
(a) reflexivos y simétricos, sin ser transitivos;
(b) reflexivos y transitivos sin ser simétricos.
¿La simetría más la transitividad implica reflexividad? Dar una prueba o contraejemplo.

1.2.E: Problemas en Relaciones y Mapeos (Ejercicios) is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.