1.4: Algunos teoremas sobre conjuntos contables
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Ahora derivamos algunos corolarios de la Definición 4 en el § 3.
Si un conjunto\(A\) es contable o finito, también lo es cualquier subconjunto\(B \subseteq A\).
Porque si\(A \subset D_{u}^{\prime}\) por una secuencia\(u,\) entonces ciertamente\(B \subseteq A \subseteq D_{u}^{\prime}\)
Si\(A\) es incontable (o simplemente infinito), también lo es cualquier superconjunto\(B \supset A\).
Porque, si\(B\) fueran contables o finitos, así sería\(A \subseteq B,\) por Corolario 1
Si\(A\) y\(B\) son contables, también lo es su producto cruzado\(A \times B\)
- Prueba
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Si\(A\) o\(B\) es\(\emptyset,\) entonces\(A \times B=\emptyset,\) y no hay nada que probar.
Así dejar\(A\) y\(B\) ser no vacío y contable. Podemos suponer que llenan dos secuencias infinitas,\(A=\left\{a_{n}\right\}, B=\left\{b_{n}\right\}\) (repetir términos si es necesario). Entonces, por definición,\(A \times B\) es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma
\[\left(a_{n}, b_{m}\right), \quad n, m \in N\]
Llama\(n+m\) al\(r a n k\) de la pareja\(\left(a_{n}, b_{m}\right) .\) Por cada uno\(r \in N,\) hay\(r-1\) pares de rango\(r :\)
\[\left(a_{1}, b_{r-1}\right),\left(a_{2}, b_{r-2}\right), \ldots,\left(a_{r-1}, b_{1}\right)\]
Ahora ponemos todos los pares\(\left(a_{n}, b_{m}\right)\) en una secuencia de la siguiente manera. Empezamos con
\[\left(a_{1}, b_{1}\right)\]
como primer término; luego tomar los dos pares de rango tres,
\[\left(a_{1}, b_{2}\right),\left(a_{2}, b_{1}\right)\]
luego los tres pares de rango cuatro, y así sucesivamente. En el\((r-1)\) st paso, tomamos todos los pares de rango\(r,\) en el orden indicado en\((1)\).
Repitiendo este proceso para todos los rangos ad infinitum, obtenemos la secuencia de pares
\[\left(a_{1}, b_{1}\right),\left(a_{1}, b_{2}\right),\left(a_{2}, b_{1}\right),\left(a_{1}, b_{3}\right),\left(a_{2}, b_{2}\right),\left(a_{3}, b_{1}\right), \ldots\]
en el que\(u_{1}=\left(a_{1}, b_{1}\right), u_{2}=\left(a_{1}, b_{2}\right),\) etc.
Por construcción, esta secuencia contiene todos los pares de todos los rangos de\(r,\) ahí todos los pares que forman el conjunto\(A \times B\) (para cada par de este tipo tiene algún rango\(r\) y así debe ocurrir eventualmente en la secuencia). Así se\(A \times B\) puede poner en una secuencia. \(\square\)
El conjunto\(R\) de todos los números racionales es contable.
- Prueba
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Considere primero el conjunto\(Q\) de todos los racionales positivos, es decir,
\[\text{ fractions } \frac{n}{m}, \text{ with } n, m \in N\]
Podemos identificarlos formalmente con pares ordenados\((n, m),\) es decir, con\(N \times N\) Llamamos\(n+m\) al rango de\((n, m) .\) Como en Teorema\(1,\) obtenemos la secuencia
\[\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{1}{3}, \frac{2}{2}, \frac{3}{1}, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{4}{1}, \ldots\]
Al dejar caer fracciones reducibles e insertando también 0 y los racionales negativos, ponemos\(R\) en la secuencia
\[0,1,-1, \frac{1}{2},-\frac{1}{2}, 2,-2, \frac{1}{3},-\frac{1}{3}, 3,-3, \ldots, \text{ as required. } \square\]
La unión de cualquier secuencia\(\left\{A_{n}\right\}\) de conjuntos contables es contable.
- Prueba
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Como cada uno\(A_{n}\) es contable, podemos poner
\[A_{n}=\left\{a_{n 1}, a_{n 2}, \dots, a_{n m}, \ldots\right\}\]
(Los subíndices dobles son para distinguir las secuencias que representan diferentes conjuntos\(A_{n} .\)) Como antes, podemos suponer que todas las secuencias son infinitas. Ahora,\(U_{n} A_{n}\) obviamente consiste en los elementos de todos\(A_{n}\) combinados, es decir, todos\(a_{n m}(n, m \in N) .\) Nosotros llamamos\(n+m\) el\(r a n k\) de\(a_{n m}\) y procedemos como en Teorema obteniendo\(1,\) así
\[\bigcup_{n} A_{n}=\left\{a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{13}, a_{22}, a_{31}, \ldots\right\}\]
Así se\(\cup_{n} A_{n}\) puede poner en una secuencia. \(\square\)
Nota 1: El teorema 2 se expresa brevemente como
“Cualquier unión contable de conjuntos contables es un conjunto contable. ”
(El término "unión contable" significa “unión de una familia contable de conjuntos”, es decir, una familia de conjuntos cuyos elementos se pueden poner en una secuencia\(\left\{A_{n}\right\} .\)) En particular, si\(A\) y\(B\) son contables, así son\(A \cup B, A \cap B,\) y\(A-B\) (por Corolario 1\()\).
Nota 2: De la prueba también se deduce que el rango de cualquier secuencia doble\(\left\{a_{n m}\right\}\) es contable. (Una secuencia doble es una función\(u\) cuyo dominio\(D_{u}\) es\(N \times N ;\) decir,\(u : N \times N \rightarrow B .\) Si\(n, m \in N,\) escribimos\(u_{n m}\) para\(u(n, m)\) aquí\(u_{n m}=a_{n m} . )\)
Para probar la existencia de conjuntos incontables, ahora mostraremos que el intervalo
\[[0,1)=\{x | 0 \leq x<1\}\]
del eje real es incontable.
Asumimos como conocido el hecho de que cada número real\(x \in[0,1)\) tiene una expansión decimal infinita única
\[0 . x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, \dots\]
donde los\(x_{n}\) son los dígitos decimales (posiblemente ceros), y la secuencia\(\left\{x_{n}\right\}\) no termina en nueves (esto asegura la singularidad).”
El intervalo\([0,1)\) del eje real es incontable.
- Prueba
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Debemos demostrar que ninguna secuencia puede comprender todo de\([0,1) .\) Indeed, dado cualquier\(\left\{u_{n}\right\},\) escritura cada término\(u_{n}\) como una fracción infinita; digamos,
\[u_{n}=0 . a_{n 1}, a_{n 2}, \dots, a_{n m}, \dots\]
A continuación, construya una nueva fracción decimal
\[z=0 . x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \dots\]
eligiendo sus dígitos de\(x_{n}\) la siguiente manera.
Si\(a_{n n}\) (es decir, el dígito\(n\) th de\(u_{n} )\) se\(0,\) pone\(x_{n}=1 ;\) si, sin embargo,\(a_{n n} \neq 0,\) put\(x_{n}=0 .\) Así, en todos los casos,\(x_{n} \neq a_{n n},\) es decir,\(z\) difiere de cada uno\(u_{n}\) en al menos un dígito decimal (es decir, el dígito\(n\) th). De ello se deduce que\(z\) es diferente de todos\(u_{n}\) y por lo tanto no está en\(\left\{u_{n}\right\},\) aunque\(z \in[0,1)\).
Así, no importa cuál\(\left\{u_{n}\right\}\) fuera la elección, encontramos algunos que\(z \in[0,1)\) no estaban en el rango de esa secuencia. Por lo tanto,\(n o\left\{u_{n}\right\}\) contiene todos\([0,1) . \square\)
Nota 3: Por Corolario\(2,\) cualquier superconjunto de\([0,1),\) por ejemplo, todo el eje real, es incontable.
Nota 4: Observe que los números\(a_{n n}\) utilizados en la prueba del Teorema 3 forman la diagonal del cuadrado infinitamente extendido compuesto por todos\(a_{n m} .\) Por lo tanto, el método utilizado anteriormente se denomina proceso diagonal (debido a G. Cantor).