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# 2.2: Números Naturales. Inducción

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El elemento 1 se introdujo en Axioma 4 (b). Dado que la adición también se asume conocida, podemos usarla para definir, paso a paso, los elementos

$2=1+1,3=2+1,4=3+1, \text{ etc.}$

Si este proceso se continúa indefinidamente, obtenemos lo que se llama el conjunto$$N$$ de todos los elementos naturales en el campo dado$$F .$$ En particular, los elementos naturales de$$E^{1}$$ se denominan números naturales. Tenga en cuenta que

$(\forall n \in N) \quad n+1 \in N$

*Un enfoque más preciso de los elementos naturales es el siguiente. $$A$$subconjunto$$S$$ de un campo$$F$$ se dice que es inductivo iff

\begin{align} (i)& \hskip 4pt 1 \in S \text{ and } \\ (ii)& \hskip 4pt (\forall x \in S) \hskip 4pt x+1 \in S \end{align}

Tales subconjuntos ciertamente existen; por ejemplo, todo el campo$$F$$ es inductivo ya que

$1 \in F \text{ and } (\forall x \in F) \hskip 4pt x+1 \in F.$

Definir$$N$$ como la intersección de todos los conjuntos inductivos en$$F$$.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

El conjunto$$N$$ así definido es inductivo en sí mismo. De hecho, es el subconjunto inductivo “más pequeño” de$$F$$ (es decir, contenido en cualquier otro subconjunto de este tipo).

Prueba

Tenemos que demostrar que

\begin{align} (i)& \hskip 4pt 1 \in N, \text{ and } \\ (ii)& \hskip 4pt (\forall x \in N) \hskip 4pt x+1 \in N. \end{align}

Ahora, por definición, la unidad 1 está en cada conjunto inductivo; de ahí que también pertenezca a la intersección de tales conjuntos, es decir, a$$N .$$ Así$$1 \in N,$$ como se reivindica.

A continuación, tomar cualquier$$x \in N .$$ Entonces, por nuestra definición de$$N, x$$ está en cada conjunto inductivo$$S ;$$ así, por propiedad$$(i i)$$ de tales conjuntos, también$$x+1$$ está en cada uno de tales$$S$$; de ahí$$x+1$$ está en la intersección de todos los conjuntos inductivos, es decir,

$x+1 \in N$

y así$$N$$ es inductivo, en efecto.

Finalmente, por definición,$$N$$ es la parte común de todos esos conjuntos y por lo tanto contenida en cada uno. $$\square$$

Para aplicaciones, el Teorema 1 generalmente se expresa de la siguiente manera.

## Teorema$$\PageIndex{1'}$$

(primera ley de inducción). Una proposición$$P(n)$$ que involucra una retención$$n$$ natural para todos$$n \in N$$ en un campo$$F$$ si

\begin{align} (i)& \text{ it holds for } n=1,\text{ i.e., } P(1) \text{ is true; and } \\ (ii)& \text{ whenever } P(n) \text{ holds for } n=m, \text{ it holds for } n=m+1, \text{ i.e., } \end{align}

$P(m) \Longrightarrow P(m+1).$

Prueba

$$S$$Sea el conjunto de todos aquellos$$n \in N$$ para los que$$P(n)$$ es cierto,

$S=\{n \in N | P(n)\}$

Tenemos que demostrar que en realidad cada uno$$n \in N$$ está en$$S,$$ i.e.,$$N \subseteq S$$

Primero, mostramos que$$S$$ es inductivo.

En efecto, por suposición$$(\mathrm{i}), P(1)$$ es cierto; entonces 1$$\in S$$.

Siguiente, vamos$$x \in S .$$ Esto significa que eso$$P(x)$$ es cierto. Por supuesto (ii), sin embargo, esto implica$$P(x+1),$$ i.e.,$$x+1 \in S .$$ Así

$1 \in S \text{ and } (\forall x \in S) \hskip 4pt x+1 \in S$

$$S$$es inductivo.

Entonces, por el Teorema 1 (segunda cláusula),$$N \subseteq S,$$ y todo está probado. $$\square$$

Este teorema se utiliza para probar diversas propiedades de$$N$$ "por inducción”.

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

(a) Si$$m, n \in N,$$ entonces también$$m+n \in N$$ y$$m n \in N$$.

Para probar la primera propiedad, arreglar cualquier$$m \in N .$$ Let$$P(n)$$ mean

$m+n \in N \quad(n \in N)$

Entonces

(i)$$P(1)$$ es cierto, pues como$$m \in N,$$ la definición de$$N$$ rendimientos$$m+1 \in N$$, es decir,$$P(1)$$.

ii)$$P(k) \Rightarrow P(k+1)$$ para$$k \in N .$$ Indeed,

\begin{align} P(k) \Rightarrow& m+k \in N \Rightarrow(m+k)+1 \in N\ \\ \Rightarrow& m+(k+1) \in N \Rightarrow P(k+1) \end{align}

Así, por Teorema$$1^{\prime}, P(n)$$ sostiene para todos$$n ;$$ es decir,

$$(\forall n \in N) \quad m+n \in N$$

para cualquier$$m \in N$$.

Para probar lo mismo para dejar$$m n,$$ que$$P(n)$$ signifique

$$m n \in N \quad(n \in N)$$

y proceder de manera similar.

b) Si$$n \in N,$$ entonces$$n-1=0$$ o$$n-1 \in N$$.

Para una prueba inductiva,$$P(n)$$ digamos

$n-1=0 \text{ or } n-1 \in N \quad(n \in N)$

Después proceder como en (a).

(c) En un campo ordenado, todos los naturales son$$\geq 1$$.

En efecto,$$P(n)$$ digamos que

$n \geq 1 \quad(n \in N).$

Entonces

(i)$$P(1)$$ mantiene desde$$1=1$$
(ii)$$P(m) \Rightarrow P(m+1)$$ para$$m \in N,$$ desde

$P(m) \Rightarrow m \geq 1 \Rightarrow(m+1)>1 \Rightarrow P(m+1)$

Así el teorema$$1^{\prime}$$ arroja el resultado.

(d) En un campo ordenado,$$m, n \in N$$ e$$m>n$$ implica$$m-n \in N$$
Para una prueba inductiva, fijar cualquiera$$m \in N$$ y dejar que$$P(n)$$ signifique

$m-n \leq 0 \text{ or } m-n \in N \quad(n \in N).$

Uso (b).

(e) En un campo ordenado,$$m, n \in N$$ e$$m<n+1$$ implica$$m \leq n$$
For, por$$(\mathrm{d}), m>n$$ implicaría de$$m-n \in N,$$ ahí$$m-n \geq 1,$$ o$$m \geq n+1,$$ contrario a$$m<n+1$$.

Nuestro siguiente teorema afirma la llamada propiedad bien ordenada de$$N$$.

## Teorema$$\PageIndex{2}$$ (well-ordering of N)

En un campo ordenado, cada conjunto no vacío$$A \subseteq N$$ tiene un miembro mínimo (es decir, uno que no exceda ningún otro elemento de$$A )$$.

Prueba

Lo siguiente es solo un esquema de una prueba:

Dada$$\emptyset \neq A \subseteq N,$$ dejó$$P(n)$$ ser la proposición “Cualquier subconjunto de elementos$$A$$ que contienen$$\leq n$$ tiene un miembro menor”$$(n \in N) .$$ Use Teorema$$1^{\prime}$$ y Ejemplo (e). $$\square$$

Este teorema arroja una nueva forma de la ley de inducción.

## Teorema$$\PageIndex{2'}$$ (second induction law)

Una propuesta$$P(n)$$ es para todos$$n \in N$$

(i')$$P(1)$$ sostiene y
(ii') siempre que se$$P(n)$$ mantenga para todos los naturales menos de algunos$$m \in N,$$ entonces$$P(n)$$
también se sostiene para$$n=m$$.

Prueba

Asumir$$\left(\mathrm{i}^{\prime}\right)$$ y$$\left(\mathrm{ii}^{\prime}\right) .$$ Buscando una contradicción, supongamos que hay algunos los$$n \in N($$ llaman “malos”) para lo cual$$P(n)$$ falla. Entonces estos naturales “malos” forman un subconjunto no vacío de$$N,$$ llamarlo$$A$$.

Por teorema$$2, A$$ tiene menos miembro$$m .$$ Así$$m$$ es el menos natural para el que$$P(n)$$ falla. De ello se deduce que todos$$n$$ menos que$$m$$ satisfacer$$P(n) .$$ Pero entonces, por nuestra suposición (ii'),$$P(n)$$ también sostiene para$$n=m,$$ lo cual es imposible porque, por construcción,$$m$$ es “malo” (es en$$A ) .$$ Esta contradicción demuestra que no hay naturales “malos”. Así todo está probado. $$\square$$

Nota 1: Todos los argumentos precedentes se mantienen también si, en nuestra definición de$$N$$ y todas las formulaciones, la unidad 1 es reemplazada por 0 o por alguna$$k( \pm k \in N)$$. Entonces, sin embargo, se deben cambiar las conclusiones para decir que se$$P(n)$$ mantiene para todos los enteros$$n \geq k$$ (en lugar de “n\ geq 1 “). Entonces decimos que “la inducción empieza con$$k .$$

También se aplica una ley de inducción análoga a las definiciones de conceptos$$C(n)$$.

$$A$$noción$$C(n)$$ que implica un natural$$n$$ se considera como definido para cada uno$$n \in N$$$$\left(i n E^{1}\right)$$ si

(i)$$i t$$ se define para$$n=1$$ y

(ii) se da alguna regla que expresa$$C(n+1)$$ en términos de$$C(1), \ldots, C(n)$$.

(La nota 1 también se aplica aquí.)

$$C(n)$$en sí no necesita ser un número; puede ser de naturaleza bastante general.

Adoptaremos este principio como una especie de axioma lógico, sin pruebas (aunque se pueda probar de manera similar a Teoremas$$1^{\prime}$$ y$$2^{\prime} ) .$$ La idea intuitiva subyacente es un proceso “paso a paso” - primero, definimos$$C(1) ;$$ luego, como$$C(1)$$ se sabe, podemos usarlo para definir$$C(2) ;$$ siguiente, una vez que se conocen ambos, podemos utilizarlos para definir$$C(3) ;$$ y así sucesivamente, ad infinitum. Las definiciones basadas en ese principio se denominan inductivas o recursivas. Los siguientes ejemplos son importantes.

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$ (continued)

(f) Para cualquier elemento$$x$$ de un campo, definimos su$$n^{th}$$ poder$$x^{n}$$ y su$$n$$ - múltiplo$$n x$$ por

i)$$x^{1}=1 x=x$$
ii)$$x^{n+1}=x^{n} x$$ (respectivamente,$$(n+1) x=n x+x )$$.

Podemos pensarlo como una definición paso a paso:

$x^{1}=x, x^{2}=x^{1} x, x^{3}=x^{2} x, \text{ etc.}$

(g) Para cada número natural$$n,$$ definimos su factorial$$n !$$ por

$1 !=1,(n+1) !=n !(n+1);$

ej.$$, 2 !=1 !(2)=2,3 !=2 !(3)=6,$$ etc. También definimos$$0 !=1$$.

h) La suma y el producto de n elementos de campo$$x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n},$$ denotados por

$\sum_{k=1}^{n} x_{k} \text{ and } \prod_{k=1}^{n} x_{k}$

o

$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n} \text{ and } x_{1} x_{2} \cdots x_{n}, \text{ respectively}$

se definen recursivamente.

Las sumas se definen por

\begin{align} (i)& \hskip 4pt \sum_{k=1}^{1} x_{k}=x_{1} \\ (ii)& \hskip 4pt \sum_{k=1}^{n+1} x_{k}=\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k}\right)+x_{n+1}, n=1,2, \ldots \end{align}

Así

$x_{1}+x_{2}+x_{3}=\left(x_{1}+x_{2}\right)+x_{3}$

$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)+x_{4}, \text{ etc.}$

Los productos están definidos por

\begin{align}(i)& \hskip 4pt \prod_{k=1}^{1} x_{k}=x_{1} \\ (ii)& \hskip 4pt \prod_{k=1}^{n+1} x_{k}=\left(\prod_{k=1}^{n} x_{k}\right) \cdot x_{n+1} \end{align}

(i) Dado cualquier objeto$$x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, \ldots,$$ de la n-tupla ordenada

$\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$

se define inductivamente por

(i)$$\left(x_{1}\right)=x_{1}$$ (es decir, la “tupla única” ordenada$$\left(x_{1}\right)$$ es$$x_{1}$$ en sí misma$$)$$ y

ii)$$\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1}\right)=\left(\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), x_{n+1}\right),$$ es decir, la$$(n+1)-$$ tupla ordenada es un par$$\left(y, x_{n+1}\right)$$ en el que el primer término$$y$$ es en sí mismo una$$n$$ tupla ordenada,$$\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) ;$$ por ejemplo,

$\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(\left(x_{1}, x_{2}\right), x_{3}\right), \text{ etc.}$

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