2.4: Limita Superior e Inferior. Completitud
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\[(\forall x \in A) \quad p \leq x\]
\(A\)está delimitado por encima (o acotado a la derecha) si hay\(q \in F\) tal que
\[(\forall x \in A) \quad x \leq q\]
En este caso,\(p\) y\(q\) se denominan, respectivamente, un límite inferior (o izquierdo) y un límite superior (o derecho), de\(A .\) Si ambos existen, simplemente decimos que\(A\) está delimitado (por\(p\) y\(q ) .\) El conjunto vacío\(\emptyset\) se considera (“vacuamente”) delimitado por cualquier p y\(q\) (cf. el final del Capítulo\(1, §3 )\).
Los límites\(p\) y\(q\) puede, pero no es necesario, pertenecer a\(A .\) Si un límite izquierdo\(p\) está en sí mismo en lo\(A,\) llamamos el elemento mínimo o mínimo de\(A,\) denotado min\(A\). De igual manera, si\(A\) contiene un límite superior\(q,\) escribimos\(q=\max A\) y llamamos\(q\) al elemento más grande o máximo de\(A .\) Sin embargo, bien\(A\) puede no tener mínimo o
máximo.
Nota 1. Un conjunto finito\(A \neq \emptyset\) siempre tiene un mínimo y un máximo (ver Problema 9 de §§ 5-6)\).
Nota 2. Un conjunto\(A\) puede tener como máximo un máximo y como máximo un mínimo. Porque si tuviera\(t w o\) máximos\(q, q^{\prime},\) entonces
\[q \leq q^{\prime}\]
(ya que\(q \in A\) y\(q^{\prime}\) es un derecho vinculado); de manera similar
\[q^{\prime} \leq q;\]
así que\(q=q^{\prime}\) después de todo. La singularidad de\(\min A\) se demuestra de la misma manera.
Nota 3. Si\(A\) tiene un límite inferior\(p,\) tiene muchos (e.g., tomar cualquiera\(p^{\prime}<p )\).
De igual manera, si\(A\) tiene un límite superior\(q,\) tiene muchos (tomar alguno\(q^{\prime}>q )\).
Geométricamente, en el eje real, todos los límites inferiores (superiores) se encuentran a la izquierda (derecha) de\(A ;\) ver Figura\(1 .\)
(1) Dejar
\[A=\{1,-2,7\}.\]
Luego\(A\) se limita arriba,\((\) por ejemplo, por\(7,8,10, \dots)\) y\(,\) por debajo\((\), por ejemplo,\(,\) por\(-2,-5,-12, \dots )\).
Tenemos\(\min A=-2, \max A=7\).
(2) El conjunto\(N\) de todos los naturales está delimitado por debajo (e.g., por\(1,0, \frac{1}{2},-1, \ldots\)) y\(1=\min N;\) N no tiene máximo, para cada uno\(q \in N\) es superado por algunos\(n \in N\) (e.g.\(, n=q+1\)).
(3) Dado\(a, b \in F(a \leq b),\) definimos en\(F\) el intervalo abierto
\[(a, b)=\{x | a<x<b\};\]
el intervalo cerrado
\[[a, b]=\{x | a \leq x \leq b\};\]
el intervalo medio abierto
\[(a, b]=\{x | a<x \leq b\};\]
y el intervalo semicerrado
\[[a, b)=\{x | a \leq x<b\}.\]
Claramente, cada uno de estos intervalos está limitado por los puntos finales a y\(b ;\) además,\(a \in[a, b]\) y\(a \in[a, b)\) (este último proporcionó\([a, b) \neq \emptyset,\) es decir,\(a<\)\(b ),\) y de\(a=\min [a, b]=\min [a, b) ;\) manera similar,\(b=\max [a, b]=\max (a, b]\). Pero no\([a, b)\) tiene máximo, no\((a, b]\) tiene mínimo, y no\((a, b)\) tiene ninguno. (¿Por qué?)
Geométricamente, parece plausible que entre todos los límites izquierdo y derecho de\(A\) (si los hubiera) haya algunos “más cercanos” a\(A,\) tales como\(u\) y\(v\) en la Figura,\(1,\) es decir, un límite inferior mínimo superior\(v\) y un límite inferior mayor\(u .\) Estos son abreviados
\[\operatorname{lub} A \text{ and } \mathrm{glb} A\]
y también se les llama supremo e infimum de\(A,\) respectivamente; brevemente,
\[v=\sup A, u=\inf A\]
Sin embargo, esta afirmación, aunque válida en\(E^{1},\) no se materializa en muchos otros campos como el campo\(R\) de todos los racionales (cf.\( §§11-12 ) .\) incluso\(E^{1},\) porque no se puede probar desde los Axiomas 1 al 9.
Por otro lado, esta propiedad es de suma importancia para el análisis matemático; por lo que la introducimos como un axioma (para el\(E^{1} ),\) llamado axioma de integridad. Es conveniente primero dar una definición general.
Se dice que un campo ordenado\(F\) está completo si cada subconjunto no vacío acotado a la derecha\(A \subset F\) tiene un supremo,\((\) es decir, un lub) in\(F\).
Tenga en cuenta que utilizamos el término “completo” solo para los campos ordenados.
Con esta definición, podemos dar el décimo y último axioma para\(E^{1}\).
El axioma de la integridad
El campo real\(E^{1}\) está completo en el sentido anterior. Es decir, cada conjunto acotado a la derecha\(A \subset E^{1}\) tiene un supremo\((\operatorname{sup} A ) \text { in } E ^ { 1 }\), siempre y cuando sea\(A \neq \emptyset\).
La aseveración correspondiente para infima ahora puede probarse como teorema.
En un campo completo\(F\) (como\(E^{1}\)), cada subconjunto no vacío delimitado a la izquierda\(A \subset F\) tiene un infimum\((i . e .,\) a glb\()\).
- Prueba
-
\(B\)Sea el conjunto (no vacío) de todos los límites inferiores de\(A\) (tales límites existen ya que\(A\) se deja delimitado\() .\) Entonces, claramente, ningún miembro de\(B\) excede a ningún miembro de\(A,\) y así\(B\) está delimitado a la derecha por un elemento de\(A .\) Por lo tanto, por la supuesta integridad de\(F, B\) tiene un supremo en\(F,\) llamarlo\(p .\)
Demostraremos que también\(p\) es el infimum requerido de cumplimentar\(A,\) así la prueba.
En efecto, tenemos
(i)\(p\) es un límite inferior de Porque,\(A .\) por definición,\(p\) es el límite inferior superior de\(B .\) Pero, como se muestra arriba, cada uno\(x \in A\) es un límite superior de\(B .\) Así
\[(\forall x \in A) \quad p \leq x\]
(ii)\(p\) es el mayor límite inferior de\(A .\) Para no\(p=\sup B\) es rebasado por ningún miembro de\(B .\) Pero, por definición,\(B\) contiene todos los límites inferiores de\(A ;\) lo que no\(p\) es rebasado por ninguno de ellos, es decir,
\[p=\mathrm{g} 1 \mathrm{b} A=\mathrm{inf} A\]
Nota 4. El lub y glb de\(A\) (si existen) son únicos. Para inf\(A\) es, por definición, el máximo del conjunto\(B\) de todos los límites inferiores de\(A,\) y por lo tanto único, por Nota\(2 ;\) similar para la singularidad de sup\(A .\)
Nota 5. A diferencia de min\(A\) y max\(A,\) el glb y lub de\(A\) necesidad no pertenecen a A. Por ejemplo, si\(A\) es el intervalo\((a, b)\) en\(E^{1}(a<b)\) entonces, como se ve fácilmente,
\[a=\inf A \text{ and } b=\sup A\]
aunque\(a, b \notin A .\) Así\(A\) pueden existir sup\(A\) e inf, aunque max\(A\) y min\(A\) no.
Por otro lado, si
\[q=\max A(p=\min A)\]
luego también
\[q=\sup A(p=\inf A) . \quad(\mathrm{Why} ?)\]
I n un campo ordenado\(F,\) tenemos\(q=\sup A(A \subset F)\) iff
i)\((\forall x \in A) \quad x \leq q\) y
(ii) cada elemento de campo\(p<q\) es excedido por algunos,\(x \in A ;\) es decir,
\[(\forall p<q)(\exists x \in A) \quad p<x.\]
Equivalentemente,
(ii')\[(\forall \varepsilon>0)(\exists x \in A) \quad q-\varepsilon<x ; \quad(\varepsilon \in F)\]
Del mismo modo,\(p=\inf A\) iff
\[(\forall x \in A) \quad p \leq x \quad \text{ and } \quad(\forall \varepsilon>0)(\exists x \in A) \quad p+\varepsilon>x.\]
- Prueba
-
La condición (i) establece que\(q\) es un límite superior de\(A,\) mientras que (ii) implica que ningún elemento menor\(p\) es tal límite (ya que es excedido por algunos\(x\) en A). Cuando se combinan, (i) y (ii) indican que\(q\) es el límite inferior superior.
Además, cualquier elemento\(p<q\) puede escribirse como\(q-\varepsilon(\varepsilon>0) .\) Por lo tanto (ii) puede reformularse como\(\left(\mathrm{ii}^{\prime}\right) .\)
La prueba para inf\(A\) es bastante análoga. \(\square\)
Let\(b \in F\) y\(A \subset F\) en un campo ordenado\(F .\) Si cada elemento\(x\) de\(A\) satisface\(x \leq b(x \geq b),\) así lo hace sup\(A\), respectivamente), siempre que exista en\(F .\)
De hecho, la condición
\[(\forall x \in A) \quad x \leq b\]
significa que\(b\) es un límite derecho de\(A .\) Sin embargo, sup\(A\) es el menos derecho, así que sup de\(A \leq b ;\) manera similar para inf\(A .\)
En cualquier campo ordenado,\(\emptyset \neq A \subseteq B\) implica
\[\sup A \leq \sup B \text{ and } \inf A \geq \inf B\]
así como
\[inf A \leq \sup A\]
siempre y cuando existan la suprema y el infima involucrados.
- Prueba
-
Dejar\(p=\inf B\) y\(q=\sup B\).
Como\(q\) es un derecho vinculado a\(B\),
\[x \leq q \text{ for all } x \in B.\]
Pero\(A \subseteq B,\) así\(B\) contiene todos los elementos de\(A .\) Así
\[x \in A \Rightarrow x \in B \Rightarrow x \leq q\]
así, por Corolario\(1,\) también
\[\sup A \leq q=\sup B,\]
como se afirma.
Del mismo modo, uno obtiene inf\(A \geq \inf B\).
Por último, si\(A \neq \emptyset,\) podemos arreglar algunos\(x \in A .\) Entonces
\[\inf A \leq x \leq \sup A\]
y todo está probado. \(\square\)