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# 2.4: Limita Superior e Inferior. Completitud

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Se dice que un subconjunto$$A$$ de un campo ordenado$$F$$ está limitado por debajo (o delimitado a la izquierda) si hay$$p \in F$$ tal que

$(\forall x \in A) \quad p \leq x$

$$A$$está delimitado por encima (o acotado a la derecha) si hay$$q \in F$$ tal que

$(\forall x \in A) \quad x \leq q$

En este caso,$$p$$ y$$q$$ se denominan, respectivamente, un límite inferior (o izquierdo) y un límite superior (o derecho), de$$A .$$ Si ambos existen, simplemente decimos que$$A$$ está delimitado (por$$p$$ y$$q ) .$$ El conjunto vacío$$\emptyset$$ se considera (“vacuamente”) delimitado por cualquier p y$$q$$ (cf. el final del Capítulo$$1, §3 )$$.

Los límites$$p$$ y$$q$$ puede, pero no es necesario, pertenecer a$$A .$$ Si un límite izquierdo$$p$$ está en sí mismo en lo$$A,$$ llamamos el elemento mínimo o mínimo de$$A,$$ denotado min$$A$$. De igual manera, si$$A$$ contiene un límite superior$$q,$$ escribimos$$q=\max A$$ y llamamos$$q$$ al elemento más grande o máximo de$$A .$$ Sin embargo, bien$$A$$ puede no tener mínimo o
máximo.

Nota 1. Un conjunto finito$$A \neq \emptyset$$ siempre tiene un mínimo y un máximo (ver Problema 9 de §§ 5-6)\).

Nota 2. Un conjunto$$A$$ puede tener como máximo un máximo y como máximo un mínimo. Porque si tuviera$$t w o$$ máximos$$q, q^{\prime},$$ entonces

$q \leq q^{\prime}$

(ya que$$q \in A$$ y$$q^{\prime}$$ es un derecho vinculado); de manera similar

$q^{\prime} \leq q;$

así que$$q=q^{\prime}$$ después de todo. La singularidad de$$\min A$$ se demuestra de la misma manera.

Nota 3. Si$$A$$ tiene un límite inferior$$p,$$ tiene muchos (e.g., tomar cualquiera$$p^{\prime}<p )$$.

De igual manera, si$$A$$ tiene un límite superior$$q,$$ tiene muchos (tomar alguno$$q^{\prime}>q )$$.

Geométricamente, en el eje real, todos los límites inferiores (superiores) se encuentran a la izquierda (derecha) de$$A ;$$ ver Figura$$1 .$$

##### Ejemplos

(1) Dejar

$A=\{1,-2,7\}.$

Luego$$A$$ se limita arriba,$$($$ por ejemplo, por$$7,8,10, \dots)$$ y$$,$$ por debajo$$($$, por ejemplo,$$,$$ por$$-2,-5,-12, \dots )$$.

Tenemos$$\min A=-2, \max A=7$$.

(2) El conjunto$$N$$ de todos los naturales está delimitado por debajo (e.g., por$$1,0, \frac{1}{2},-1, \ldots$$) y$$1=\min N;$$ N no tiene máximo, para cada uno$$q \in N$$ es superado por algunos$$n \in N$$ (e.g.$$, n=q+1$$).

(3) Dado$$a, b \in F(a \leq b),$$ definimos en$$F$$ el intervalo abierto

$(a, b)=\{x | a<x<b\};$

el intervalo cerrado

$[a, b]=\{x | a \leq x \leq b\};$

el intervalo medio abierto

$(a, b]=\{x | a<x \leq b\};$

y el intervalo semicerrado

$[a, b)=\{x | a \leq x<b\}.$

Claramente, cada uno de estos intervalos está limitado por los puntos finales a y$$b ;$$ además,$$a \in[a, b]$$ y$$a \in[a, b)$$ (este último proporcionó$$[a, b) \neq \emptyset,$$ es decir,$$a<$$$$b ),$$ y de$$a=\min [a, b]=\min [a, b) ;$$ manera similar,$$b=\max [a, b]=\max (a, b]$$. Pero no$$[a, b)$$ tiene máximo, no$$(a, b]$$ tiene mínimo, y no$$(a, b)$$ tiene ninguno. (¿Por qué?)

Geométricamente, parece plausible que entre todos los límites izquierdo y derecho de$$A$$ (si los hubiera) haya algunos “más cercanos” a$$A,$$ tales como$$u$$ y$$v$$ en la Figura,$$1,$$ es decir, un límite inferior mínimo superior$$v$$ y un límite inferior mayor$$u .$$ Estos son abreviados

$\operatorname{lub} A \text{ and } \mathrm{glb} A$

y también se les llama supremo e infimum de$$A,$$ respectivamente; brevemente,

$v=\sup A, u=\inf A$

Sin embargo, esta afirmación, aunque válida en$$E^{1},$$ no se materializa en muchos otros campos como el campo$$R$$ de todos los racionales (cf.$$§§11-12 ) .$$ incluso$$E^{1},$$ porque no se puede probar desde los Axiomas 1 al 9.

Por otro lado, esta propiedad es de suma importancia para el análisis matemático; por lo que la introducimos como un axioma (para el$$E^{1} ),$$ llamado axioma de integridad. Es conveniente primero dar una definición general.

##### Definición

Se dice que un campo ordenado$$F$$ está completo si cada subconjunto no vacío acotado a la derecha$$A \subset F$$ tiene un supremo,$$($$ es decir, un lub) in$$F$$.

Tenga en cuenta que utilizamos el término “completo” solo para los campos ordenados.

Con esta definición, podemos dar el décimo y último axioma para$$E^{1}$$.

## El axioma de la integridad

##### Definición

El campo real$$E^{1}$$ está completo en el sentido anterior. Es decir, cada conjunto acotado a la derecha$$A \subset E^{1}$$ tiene un supremo$$(\operatorname{sup} A ) \text { in } E ^ { 1 }$$, siempre y cuando sea$$A \neq \emptyset$$.

La aseveración correspondiente para infima ahora puede probarse como teorema.

##### Teorema$$\PageIndex{1}$$

En un campo completo$$F$$ (como$$E^{1}$$), cada subconjunto no vacío delimitado a la izquierda$$A \subset F$$ tiene un infimum$$(i . e .,$$ a glb$$)$$.

Prueba

$$B$$Sea el conjunto (no vacío) de todos los límites inferiores de$$A$$ (tales límites existen ya que$$A$$ se deja delimitado$$) .$$ Entonces, claramente, ningún miembro de$$B$$ excede a ningún miembro de$$A,$$ y así$$B$$ está delimitado a la derecha por un elemento de$$A .$$ Por lo tanto, por la supuesta integridad de$$F, B$$ tiene un supremo en$$F,$$ llamarlo$$p .$$

Demostraremos que también$$p$$ es el infimum requerido de cumplimentar$$A,$$ así la prueba.

En efecto, tenemos

(i)$$p$$ es un límite inferior de Porque,$$A .$$ por definición,$$p$$ es el límite inferior superior de$$B .$$ Pero, como se muestra arriba, cada uno$$x \in A$$ es un límite superior de$$B .$$ Así

$(\forall x \in A) \quad p \leq x$

(ii)$$p$$ es el mayor límite inferior de$$A .$$ Para no$$p=\sup B$$ es rebasado por ningún miembro de$$B .$$ Pero, por definición,$$B$$ contiene todos los límites inferiores de$$A ;$$ lo que no$$p$$ es rebasado por ninguno de ellos, es decir,

$p=\mathrm{g} 1 \mathrm{b} A=\mathrm{inf} A$

Nota 4. El lub y glb de$$A$$ (si existen) son únicos. Para inf$$A$$ es, por definición, el máximo del conjunto$$B$$ de todos los límites inferiores de$$A,$$ y por lo tanto único, por Nota$$2 ;$$ similar para la singularidad de sup$$A .$$

Nota 5. A diferencia de min$$A$$ y max$$A,$$ el glb y lub de$$A$$ necesidad no pertenecen a A. Por ejemplo, si$$A$$ es el intervalo$$(a, b)$$ en$$E^{1}(a<b)$$ entonces, como se ve fácilmente,

$a=\inf A \text{ and } b=\sup A$

aunque$$a, b \notin A .$$ Así$$A$$ pueden existir sup$$A$$ e inf, aunque max$$A$$ y min$$A$$ no.

Por otro lado, si

$q=\max A(p=\min A)$

luego también

$q=\sup A(p=\inf A) . \quad(\mathrm{Why} ?)$

##### Teorema$$\PageIndex{2}$$

I n un campo ordenado$$F,$$ tenemos$$q=\sup A(A \subset F)$$ iff

i)$$(\forall x \in A) \quad x \leq q$$ y

(ii) cada elemento de campo$$p<q$$ es excedido por algunos,$$x \in A ;$$ es decir,

$(\forall p<q)(\exists x \in A) \quad p<x.$

Equivalentemente,

(ii')$(\forall \varepsilon>0)(\exists x \in A) \quad q-\varepsilon<x ; \quad(\varepsilon \in F)$

Del mismo modo,$$p=\inf A$$ iff

$(\forall x \in A) \quad p \leq x \quad \text{ and } \quad(\forall \varepsilon>0)(\exists x \in A) \quad p+\varepsilon>x.$

Prueba

La condición (i) establece que$$q$$ es un límite superior de$$A,$$ mientras que (ii) implica que ningún elemento menor$$p$$ es tal límite (ya que es excedido por algunos$$x$$ en A). Cuando se combinan, (i) y (ii) indican que$$q$$ es el límite inferior superior.

Además, cualquier elemento$$p<q$$ puede escribirse como$$q-\varepsilon(\varepsilon>0) .$$ Por lo tanto (ii) puede reformularse como$$\left(\mathrm{ii}^{\prime}\right) .$$

La prueba para inf$$A$$ es bastante análoga. $$\square$$

##### Corolario$$\PageIndex{1}$$

Let$$b \in F$$ y$$A \subset F$$ en un campo ordenado$$F .$$ Si cada elemento$$x$$ de$$A$$ satisface$$x \leq b(x \geq b),$$ así lo hace sup$$A$$, respectivamente), siempre que exista en$$F .$$

De hecho, la condición

$(\forall x \in A) \quad x \leq b$

significa que$$b$$ es un límite derecho de$$A .$$ Sin embargo, sup$$A$$ es el menos derecho, así que sup de$$A \leq b ;$$ manera similar para inf$$A .$$

##### Corolario$$\PageIndex{2}$$

En cualquier campo ordenado,$$\emptyset \neq A \subseteq B$$ implica

$\sup A \leq \sup B \text{ and } \inf A \geq \inf B$

así como

$inf A \leq \sup A$

siempre y cuando existan la suprema y el infima involucrados.

Prueba

Dejar$$p=\inf B$$ y$$q=\sup B$$.

Como$$q$$ es un derecho vinculado a$$B$$,

$x \leq q \text{ for all } x \in B.$

Pero$$A \subseteq B,$$ así$$B$$ contiene todos los elementos de$$A .$$ Así

$x \in A \Rightarrow x \in B \Rightarrow x \leq q$

así, por Corolario$$1,$$ también

$\sup A \leq q=\sup B,$

como se afirma.

Del mismo modo, uno obtiene inf$$A \geq \inf B$$.

Por último, si$$A \neq \emptyset,$$ podemos arreglar algunos$$x \in A .$$ Entonces

$\inf A \leq x \leq \sup A$

y todo está probado. $$\square$$

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