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# 2.4.E: Problemas en los límites superiores e inferiores (ejercicios)

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

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$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

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$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Completar las pruebas del Teorema 2 y Corolarios 1 y 2 para infima.
Demostrar la última cláusula de Nota$$4 .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Demostrar que$$F$$ está completo si cada conjunto no vacío delimitado a la izquierda$$F$$ tiene un infimum.

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Demostrar que si$$A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$$ están acotados a la derecha (delimitados a la izquierda) en$$F,$$ así es

\ [\ bigcup_ {k=1} ^ {n} A_ {k}
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Demostrar que si$$A=(a, b)$$ es un intervalo abierto$$(a<b),$$ entonces
\ [
a=\ inf A\ text {y} b=\ sup A.
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

En un campo ordenado$$F,$$ vamos$$\emptyset \neq A \subset F .$$ Let$$c \in F$$ y let$$c A$$ denotan el conjunto de todos los productos$$c x(x \in A) ;$$ es decir,
\ [
c A=\ {c x | x\ in A\}.
\]
\ [
\ begin {array} {l} {\ text {(i) if} c\ geq 0\ text {, entonces}}\\ {\ qquad\ begin {array} {l} {\ sup (c A) =c\ cdot\ sup A\ text {y}\ inf (c A) =c\ cdot\ inf A}\\ {\ text {(ii) si} c<0\ texto {, entonces}}\\ {\ qquad\ sup (c A) =c\ cdot\ inf A\ texto {y}\ inf (c A) =c\ cdot\ sup A}\ end {array}}\ end {array}
\]
En ambos casos, supongamos que el sup del lado derecho$$A$$ (respectivamente, inf$$A )$$ existe.

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Del Problema 5$$(\text { ii })$$ con$$c=-1,$$ obtener una nueva prueba del Teorema 1.
[Pista: Si$$A$$ está delimitada a la izquierda, muestra que$$(-1) A$$ está acotada a la derecha y usa su supremo. $$]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Dejar$$A$$ y$$B$$ ser subconjuntos de un campo ordenado$$F .$$ Suponiendo que el lub y glb requeridos existen en$$F,$$ probar que
(i) si$$(\forall x \in A)(\forall y \in B) x \leq y,$$ entonces$$\sup A \leq \inf B$$; (ii) si entonces;
(iii) si$$(\forall x \in A)(\exists y \in B) x \leq y,$$ entonces$$\sup A \leq \sup B$$;
(iii) si$$(\forall y \in B)(\exists x \in A) x \leq y,$$ entonces$$\inf A \leq \inf B$$.
$$[\text { Hint for }(\mathrm{i}) : \text { By Corollary } 1,(\forall y \in B) \sup A \leq y, \text { so } \sup A \leq \inf B .(\text { Why? })]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Para dos subconjuntos cualesquiera$$A$$ y$$B$$ de un campo ordenado$$F,$$ vamos a$$A+B$$ denotar el conjunto de todas las sumas$$x+y$$ con$$x \in A$$ y$$y \in B ;$$ es decir,
\ [
A+B=\ {x+y | x\ in A, y\ in B\}.
\]
Demostrar que si$$\sup A=p$$ y$$\sup B=q$$ existir en$$F,$$ entonces
\ [
p+q=\ sup (A+B);
\] de
manera similar para infima.
[Pista para sup: Por teorema$$2,$$ debemos demostrar que
(i)$$(\forall x \in A)(\forall y \in B) x+y \leq p+q(\text { which is easy })$$ y
(ii')$$(\forall \varepsilon>0)(\exists x \in A)(\exists y \in B) x+y>(p+q)-\varepsilon$$.
Arreglar cualquier$$\varepsilon>0 .$$ Por Teorema 2,
\ [
(\ existe x\ en A) (\ existe y\ en B)\ quad p-\ frac {\ varepsilon} {2} <x\ text {y} q-\ frac {\ varepsilon} {2} <y. (\ mathrm {¿Por qué}?)
\]
Entonces
\ [
x+y>\ izquierda (p-\ frac {\ varepsilon} {2}\ derecha) +\ izquierda (q-\ frac {\ varepsilon} {2}\ derecha) =( p+q) -\ varepsilon,
\]
según se requiera. $$]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

En Problema 8 dejar$$A$$ y$$B$$ constar de elementos positivos solamente, y dejar
\ [
A B=\ {x y | x\ en A, y\ en B\}.
\]
Demostrar que si$$\sup A=p$$ y$$\sup B=q$$ existir en$$F,$$ entonces
\ [
p q=\ sup (A B);
\] de
manera similar para infima.
[Pista: Usar de nuevo Teorema 2$$\left(\mathrm{ii}^{\prime}\right) .$$ Para$$\sup (A B),$$ tomar
\ [
0<\ varepsilon< (p+q)\ min\ {p, q
\}\]
y
\ [
x>p-\ frac {\ varepsilon} {p+q}\ text {y} y>q-\ frac {\ varepsilon} {p+q};
\]
muestran que
\ [
x y>p q-\ varepsilon+\ frac {\ varepsilon^ {2}} {(p+q) ^ {2}} >p q-\ varepsilon.
\]
Para inf$$(A B),$$ let$$s=\inf B$$ y$$r=\inf A ;$$ elija$$d<1,$$ con
\ [
0<d<\ frac {\ varepsilon} {1+r+s}.
\]
Ahora toma$$x \in A$$ y$$y \in B$$ con
\ [
x<r+d\ text {y} y<s+d,
\]
y muestra que
\ [
x y<r s+\ varepsilon.
\] ¡
Explique!

## Ejercicio$$\PageIndex{10}$$

Demostrar que
(i) si$$(\forall \varepsilon>0) a \geq b-\varepsilon,$$ entonces$$a \geq b$$;
(ii) si$$(\forall \varepsilon>0) a \leq b+\varepsilon,$$ entonces$$a \leq b$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{11}$$

Demostrar el principio de intervalos anidados: Si$$\left[a_{n}, b_{n}\right]$$ son intervalos cerrados en un campo ordenado completo$$F,$$ con
\ [
\ left [a_ {n}, b_ {n}\ right]\ supseteq\ left [a_ {n+1}, b_ {n+1}\ right],\ quad n=1,2,\ ldots
\]
entonces
\ [
\ bigcap_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda [a_ {n}, b_ {n}\ derecha]\ neq\ emptyset.
\]
[Pista: Vamos
\ [
A=\ izquierda\ {a_ {1}, a_ {2},\ ldots, a_ {n},\ ldots\ derecha\}.
\]
Mostrar que$$A$$ está delimitado arriba por cada uno$$b_{n}$$.
Let$$p=\sup A .$$ (¿Existe?)
Mostrar que
\ [
(\ forall n)\ quad a_ {n}\ leq p\ leq b_ {n},
\]
es decir,
\ [
p\ in\ izquierda [a_ {n}, b_ {n}\ derecha].]
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{12}$$

Demostrar que cada conjunto delimitado$$A \neq \emptyset$$ en un campo completo$$F$$ está contenido en un intervalo cerrado más pequeño$$[a, b]$$ (por lo que$$[a, b]$$ está contenido en cualquier otro$$[c, d] \supseteq A )$$.
$$[\text { Hint: Take } a=\inf A, b=\sup A]$$.
## Ejercicio$$\PageIndex{13}$$
Demostrar que si$$A$$ consiste únicamente en elementos positivos, entonces$$q=\sup A$$ iff
(i)$$(\forall x \in A) x \leq q$$ y
(ii)$$(\forall d>1)(\exists x \in A) q / d<x$$.
[Pista: Utilice el teorema 2. $$]$$