Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

2.4.E: Problemas en los límites superiores e inferiores (ejercicios)

  • Page ID
    114147
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Completar las pruebas del Teorema 2 y Corolarios 1 y 2 para infima.
    Demostrar la última cláusula de Nota\(4 .\)

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Demostrar que\(F\) está completo si cada conjunto no vacío delimitado a la izquierda\(F\) tiene un infimum.

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Demostrar que si\(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) están acotados a la derecha (delimitados a la izquierda) en\(F,\) así es

    \ [\ bigcup_ {k=1} ^ {n} A_ {k}
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Demostrar que si\(A=(a, b)\) es un intervalo abierto\((a<b),\) entonces
    \ [
    a=\ inf A\ text {y} b=\ sup A.
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    En un campo ordenado\(F,\) vamos\(\emptyset \neq A \subset F .\) Let\(c \in F\) y let\(c A\) denotan el conjunto de todos los productos\(c x(x \in A) ;\) es decir,
    \ [
    c A=\ {c x | x\ in A\}.
    \]
    \ [
    \ begin {array} {l} {\ text {(i) if} c\ geq 0\ text {, entonces}}\\ {\ qquad\ begin {array} {l} {\ sup (c A) =c\ cdot\ sup A\ text {y}\ inf (c A) =c\ cdot\ inf A}\\ {\ text {(ii) si} c<0\ texto {, entonces}}\\ {\ qquad\ sup (c A) =c\ cdot\ inf A\ texto {y}\ inf (c A) =c\ cdot\ sup A}\ end {array}}\ end {array}
    \]
    En ambos casos, supongamos que el sup del lado derecho\(A\) (respectivamente, inf\(A )\) existe.

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Del Problema 5\((\text { ii })\) con\(c=-1,\) obtener una nueva prueba del Teorema 1.
    [Pista: Si\(A\) está delimitada a la izquierda, muestra que\((-1) A\) está acotada a la derecha y usa su supremo. \(]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Dejar\(A\) y\(B\) ser subconjuntos de un campo ordenado\(F .\) Suponiendo que el lub y glb requeridos existen en\(F,\) probar que
    (i) si\((\forall x \in A)(\forall y \in B) x \leq y,\) entonces\(\sup A \leq \inf B\); (ii) si entonces;
    (iii) si\((\forall x \in A)(\exists y \in B) x \leq y,\) entonces\(\sup A \leq \sup B\);
    (iii) si\((\forall y \in B)(\exists x \in A) x \leq y,\) entonces\(\inf A \leq \inf B\).
    \([\text { Hint for }(\mathrm{i}) : \text { By Corollary } 1,(\forall y \in B) \sup A \leq y, \text { so } \sup A \leq \inf B .(\text { Why? })]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Para dos subconjuntos cualesquiera\(A\) y\(B\) de un campo ordenado\(F,\) vamos a\(A+B\) denotar el conjunto de todas las sumas\(x+y\) con\(x \in A\) y\(y \in B ;\) es decir,
    \ [
    A+B=\ {x+y | x\ in A, y\ in B\}.
    \]
    Demostrar que si\(\sup A=p\) y\(\sup B=q\) existir en\(F,\) entonces
    \ [
    p+q=\ sup (A+B);
    \] de
    manera similar para infima.
    [Pista para sup: Por teorema\(2,\) debemos demostrar que
    (i)\((\forall x \in A)(\forall y \in B) x+y \leq p+q(\text { which is easy })\) y
    (ii')\((\forall \varepsilon>0)(\exists x \in A)(\exists y \in B) x+y>(p+q)-\varepsilon\).
    Arreglar cualquier\(\varepsilon>0 .\) Por Teorema 2,
    \ [
    (\ existe x\ en A) (\ existe y\ en B)\ quad p-\ frac {\ varepsilon} {2} <x\ text {y} q-\ frac {\ varepsilon} {2} <y. (\ mathrm {¿Por qué}?)
    \]
    Entonces
    \ [
    x+y>\ izquierda (p-\ frac {\ varepsilon} {2}\ derecha) +\ izquierda (q-\ frac {\ varepsilon} {2}\ derecha) =( p+q) -\ varepsilon,
    \]
    según se requiera. \(]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    En Problema 8 dejar\(A\) y\(B\) constar de elementos positivos solamente, y dejar
    \ [
    A B=\ {x y | x\ en A, y\ en B\}.
    \]
    Demostrar que si\(\sup A=p\) y\(\sup B=q\) existir en\(F,\) entonces
    \ [
    p q=\ sup (A B);
    \] de
    manera similar para infima.
    [Pista: Usar de nuevo Teorema 2\(\left(\mathrm{ii}^{\prime}\right) .\) Para\(\sup (A B),\) tomar
    \ [
    0<\ varepsilon< (p+q)\ min\ {p, q
    \}\]
    y
    \ [
    x>p-\ frac {\ varepsilon} {p+q}\ text {y} y>q-\ frac {\ varepsilon} {p+q};
    \]
    muestran que
    \ [
    x y>p q-\ varepsilon+\ frac {\ varepsilon^ {2}} {(p+q) ^ {2}} >p q-\ varepsilon.
    \]
    Para inf\((A B),\) let\(s=\inf B\) y\(r=\inf A ;\) elija\(d<1,\) con
    \ [
    0<d<\ frac {\ varepsilon} {1+r+s}.
    \]
    Ahora toma\(x \in A\) y\(y \in B\) con
    \ [
    x<r+d\ text {y} y<s+d,
    \]
    y muestra que
    \ [
    x y<r s+\ varepsilon.
    \] ¡
    Explique!

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    Demostrar que
    (i) si\((\forall \varepsilon>0) a \geq b-\varepsilon,\) entonces\(a \geq b\);
    (ii) si\((\forall \varepsilon>0) a \leq b+\varepsilon,\) entonces\(a \leq b\).

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Demostrar el principio de intervalos anidados: Si\(\left[a_{n}, b_{n}\right]\) son intervalos cerrados en un campo ordenado completo\(F,\) con
    \ [
    \ left [a_ {n}, b_ {n}\ right]\ supseteq\ left [a_ {n+1}, b_ {n+1}\ right],\ quad n=1,2,\ ldots
    \]
    entonces
    \ [
    \ bigcap_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda [a_ {n}, b_ {n}\ derecha]\ neq\ emptyset.
    \]
    [Pista: Vamos
    \ [
    A=\ izquierda\ {a_ {1}, a_ {2},\ ldots, a_ {n},\ ldots\ derecha\}.
    \]
    Mostrar que\(A\) está delimitado arriba por cada uno\(b_{n}\).
    Let\(p=\sup A .\) (¿Existe?)
    Mostrar que
    \ [
    (\ forall n)\ quad a_ {n}\ leq p\ leq b_ {n},
    \]
    es decir,
    \ [
    p\ in\ izquierda [a_ {n}, b_ {n}\ derecha].]
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

    Demostrar que cada conjunto delimitado\(A \neq \emptyset\) en un campo completo\(F\) está contenido en un intervalo cerrado más pequeño\([a, b]\) (por lo que\([a, b]\) está contenido en cualquier otro\([c, d] \supseteq A )\).
    Demuestre que esto falla si “cerrado” es reemplazado por “abierto”.
    \([\text { Hint: Take } a=\inf A, b=\sup A]\).

    Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

    Demostrar que si\(A\) consiste únicamente en elementos positivos, entonces\(q=\sup A\) iff
    (i)\((\forall x \in A) x \leq q\) y
    (ii)\((\forall d>1)(\exists x \in A) q / d<x\).
    [Pista: Utilice el teorema 2. \(]\)


    2.4.E: Problemas en los límites superiores e inferiores (ejercicios) is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.