2.4.E: Problemas en los límites superiores e inferiores (ejercicios)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Completar las pruebas del Teorema 2 y Corolarios 1 y 2 para infima.
Demostrar la última cláusula de Nota\(4 .\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Demostrar que\(F\) está completo si cada conjunto no vacío delimitado a la izquierda\(F\) tiene un infimum.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Demostrar que si\(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}\) están acotados a la derecha (delimitados a la izquierda) en\(F,\) así es

\ [\ bigcup_ {k=1} ^ {n} A_ {k}
\]

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Demostrar que si\(A=(a, b)\) es un intervalo abierto\((a<b),\) entonces
\ [
a=\ inf A\ text {y} b=\ sup A.
\]

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

En un campo ordenado\(F,\) vamos\(\emptyset \neq A \subset F .\) Let\(c \in F\) y let\(c A\) denotan el conjunto de todos los productos\(c x(x \in A) ;\) es decir,
\ [
c A=\ {c x | x\ in A\}.
\]
\ [
\ begin {array} {l} {\ text {(i) if} c\ geq 0\ text {, entonces}}\\ {\ qquad\ begin {array} {l} {\ sup (c A) =c\ cdot\ sup A\ text {y}\ inf (c A) =c\ cdot\ inf A}\\ {\ text {(ii) si} c<0\ texto {, entonces}}\\ {\ qquad\ sup (c A) =c\ cdot\ inf A\ texto {y}\ inf (c A) =c\ cdot\ sup A}\ end {array}}\ end {array}
\]
En ambos casos, supongamos que el sup del lado derecho\(A\) (respectivamente, inf\(A )\) existe.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Del Problema 5\((\text { ii })\) con\(c=-1,\) obtener una nueva prueba del Teorema 1.
[Pista: Si\(A\) está delimitada a la izquierda, muestra que\((-1) A\) está acotada a la derecha y usa su supremo. \(]\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Dejar\(A\) y\(B\) ser subconjuntos de un campo ordenado\(F .\) Suponiendo que el lub y glb requeridos existen en\(F,\) probar que
(i) si\((\forall x \in A)(\forall y \in B) x \leq y,\) entonces\(\sup A \leq \inf B\); (ii) si entonces;
(iii) si\((\forall x \in A)(\exists y \in B) x \leq y,\) entonces\(\sup A \leq \sup B\);
(iii) si\((\forall y \in B)(\exists x \in A) x \leq y,\) entonces\(\inf A \leq \inf B\).
\([\text { Hint for }(\mathrm{i}) : \text { By Corollary } 1,(\forall y \in B) \sup A \leq y, \text { so } \sup A \leq \inf B .(\text { Why? })]\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Para dos subconjuntos cualesquiera\(A\) y\(B\) de un campo ordenado\(F,\) vamos a\(A+B\) denotar el conjunto de todas las sumas\(x+y\) con\(x \in A\) y\(y \in B ;\) es decir,
\ [
A+B=\ {x+y | x\ in A, y\ in B\}.
\]
Demostrar que si\(\sup A=p\) y\(\sup B=q\) existir en\(F,\) entonces
\ [
p+q=\ sup (A+B);
\] de
manera similar para infima.
[Pista para sup: Por teorema\(2,\) debemos demostrar que
(i)\((\forall x \in A)(\forall y \in B) x+y \leq p+q(\text { which is easy })\) y
(ii')\((\forall \varepsilon>0)(\exists x \in A)(\exists y \in B) x+y>(p+q)-\varepsilon\).
Arreglar cualquier\(\varepsilon>0 .\) Por Teorema 2,
\ [
(\ existe x\ en A) (\ existe y\ en B)\ quad p-\ frac {\ varepsilon} {2} <x\ text {y} q-\ frac {\ varepsilon} {2} <y. (\ mathrm {¿Por qué}?)
\]
Entonces
\ [
x+y>\ izquierda (p-\ frac {\ varepsilon} {2}\ derecha) +\ izquierda (q-\ frac {\ varepsilon} {2}\ derecha) =( p+q) -\ varepsilon,
\]
según se requiera. \(]\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

En Problema 8 dejar\(A\) y\(B\) constar de elementos positivos solamente, y dejar
\ [
A B=\ {x y | x\ en A, y\ en B\}.
\]
Demostrar que si\(\sup A=p\) y\(\sup B=q\) existir en\(F,\) entonces
\ [
p q=\ sup (A B);
\] de
manera similar para infima.
[Pista: Usar de nuevo Teorema 2\(\left(\mathrm{ii}^{\prime}\right) .\) Para\(\sup (A B),\) tomar
\ [
0<\ varepsilon< (p+q)\ min\ {p, q
\}\]
y
\ [
x>p-\ frac {\ varepsilon} {p+q}\ text {y} y>q-\ frac {\ varepsilon} {p+q};
\]
muestran que
\ [
x y>p q-\ varepsilon+\ frac {\ varepsilon^ {2}} {(p+q) ^ {2}} >p q-\ varepsilon.
\]
Para inf\((A B),\) let\(s=\inf B\) y\(r=\inf A ;\) elija\(d<1,\) con
\ [
0<d<\ frac {\ varepsilon} {1+r+s}.
\]
Ahora toma\(x \in A\) y\(y \in B\) con
\ [
x<r+d\ text {y} y<s+d,
\]
y muestra que
\ [
x y<r s+\ varepsilon.
\] ¡
Explique!

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Demostrar que
(i) si\((\forall \varepsilon>0) a \geq b-\varepsilon,\) entonces\(a \geq b\);
(ii) si\((\forall \varepsilon>0) a \leq b+\varepsilon,\) entonces\(a \leq b\).

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Demostrar el principio de intervalos anidados: Si\(\left[a_{n}, b_{n}\right]\) son intervalos cerrados en un campo ordenado completo\(F,\) con
\ [
\ left [a_ {n}, b_ {n}\ right]\ supseteq\ left [a_ {n+1}, b_ {n+1}\ right],\ quad n=1,2,\ ldots
\]
entonces
\ [
\ bigcap_ {n=1} ^ {\ infty}\ izquierda [a_ {n}, b_ {n}\ derecha]\ neq\ emptyset.
\]
[Pista: Vamos
\ [
A=\ izquierda\ {a_ {1}, a_ {2},\ ldots, a_ {n},\ ldots\ derecha\}.
\]
Mostrar que\(A\) está delimitado arriba por cada uno\(b_{n}\).
Let\(p=\sup A .\) (¿Existe?)
Mostrar que
\ [
(\ forall n)\ quad a_ {n}\ leq p\ leq b_ {n},
\]
es decir,
\ [
p\ in\ izquierda [a_ {n}, b_ {n}\ derecha].]
\]

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Demostrar que cada conjunto delimitado\(A \neq \emptyset\) en un campo completo\(F\) está contenido en un intervalo cerrado más pequeño\([a, b]\) (por lo que\([a, b]\) está contenido en cualquier otro\([c, d] \supseteq A )\).
Demuestre que esto falla si “cerrado” es reemplazado por “abierto”.
\([\text { Hint: Take } a=\inf A, b=\sup A]\).

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Demostrar que si\(A\) consiste únicamente en elementos positivos, entonces\(q=\sup A\) iff
(i)\((\forall x \in A) x \leq q\) y
(ii)\((\forall d>1)(\exists x \in A) q / d<x\).
[Pista: Utilice el teorema 2. \(]\)