2.5: Algunas consecuencias del axioma de la integridad
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El antiguo geómetro y científico griego Arquímedes fue el primero en observar que incluso una gran distancia se\(y\) puede medir con un pequeño estándar\(x ;\) uno solo tiene que\(x\) marcar suficientemente muchas veces. Matemáticamente, esto quiere decir que, dado cualquiera\(x>0\) y cualquiera\(y,\) hay\(n \in N\) tal que\(n x>y .\) Este hecho, conocido como la propiedad de Arquímedes, se mantiene no sólo en\(E^{1}\) sino también en muchos otros campos ordenados. Tales campos se llaman Arquímedes. En particular, tenemos el siguiente teorema.
Cualquier campo completo F\(\left(e . g ., E^{1}\right)\) es Arquímedes.
Es decir, dado cualquiera\(x, y \in F(x>0)\) en tal campo, hay un natural\(n \in F\) tal que\(n x>y .\)
- Prueba
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(por contradicción) Supongamos que esto falla. Así, dado\(y, x \in F(x>0)\), supongamos que no hay\(n \in N\) con\(n x>y\).
Entonces
\[(\forall n \in N) \quad n x \leq y\]
es decir,\(y\) es un límite superior del conjunto de todos los productos\(n x(n \in N) .\) Let
\[A=\{n x | n \in N\}\]
Claramente,\(A\) está delimitado arriba\((\) por\(y)\) y\(A \neq \emptyset ;\) así, por la supuesta integridad de\(F, A\) tiene un supremo, digamos,\(q=\sup A\).
Como\(q\) es un límite superior, tenemos (por la definición de\(A )\) eso\(n x \leq q\) para todos de\(n \in N,\) ahí también\((n+1) x \leq q ;\) i.e.,
\[n x \leq q-x\]
para todos\(n \in N(\) desde entonces\(n \in N \Rightarrow n+1 \in N)\).
Así\(q-x\) (que es menor que\(q\) para\(x>0\)) es otro límite superior de todos\(nx\) es decir, del conjunto\(A .\)
Esto es imposible, sin embargo, ya que\(q=\sup A\) es el límite inferior superior de\(A .\)
Esta contradicción completa la prueba. \(\square\)
En cualquier campo de Arquímedes (de ahí también en cualquier completo)\(F,\) el conjunto\(N\) de todos los elementos naturales no tiene límites superiores, y el conjunto\(J\) de todos los enteros no
tiene límites superiores ni inferiores. Así
\[(\forall y \in F)(\exists m, n \in N) \quad-m<y<n\]
- Prueba
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Dado que\(y \in F,\) cualquiera puede usar la propiedad de Arquímedes (con\(x=1 )\) para encontrar una\(n \in N\) tal que
\[n \cdot 1>y, \text{ i.e., } n>y.\]
Del mismo modo, existe\(m \in N\) tal que
\[m>-y, \text{ i.e., } -m<y.\]
Esto prueba nuestra última afirmación y demuestra que\(n o y \in F\) puede ser un derecho obligado de\(N(\) para\(y<n \in N),\) o un límite izquierdo de\(J(\) para\(y>-m \in J). \square\)
En cualquier campo de Arquímedes (por lo tanto, también en cualquier campo completo),\(F,\) cada conjunto\(A\) de enteros delimitados a la izquierda (derecha)\((\emptyset \neq A \subset J)\) tiene un mínimo (máximo, respectivamente\) ).
- Prueba
-
Supongamos\(\emptyset \neq A \subseteq J,\) y\(A\) tiene un límite inferior\(y\).
Entonces el Corolario 1 (última parte) rinde un natural\(m,\) con\(-m<y,\) para que
\[(\forall x \in A) \quad-m<x,\]
y así\(x+m>0\).
Así, al\(m\) sumar a cada uno\(x \in A,\) obtenemos un conjunto\((\) llamarlo\(A+m)\) de naturales.
Ahora, por Teorema 2 de\(§§5-6, A+m\) tiene un mínimo; llamarlo\(p .\) Como\(p\) es la menor de todas las sumas\(x+m, p-m\) es la menor de todas\(x \in A ;\) así\(p-m=\min A\) existe, como se afirma.
A continuación, vamos a\(A\) tener un encuadernado derecho\(z .\) Luego mira el conjunto de todos los inversos aditivos\(-x\) de puntos\(x \in A ;\) llamarlo\(B .\)
Claramente,\(B\) se deja acotado\((\mathrm{by}-z),\) por lo que tiene un mínimo, digamos,\(u=\min B\). Entonces\(-u=\max A .\) (¡Verifica!) \(\square\)
En particular, dado cualquier\(x \in F(F\) Arquímedes), vamos a\([x]\) denotar el mayor número entero\(\leq x\) (llamado la parte integral de\(x ) .\) Obtenemos así el siguiente corolario.
Cualquier elemento\(x\) de un campo de Arquímedes\(F\) tiene una parte integral\([x] .\) Es el entero único\(n\) tal que
\[n \leq x<n+1\]
(Existe, por Teorema 2.)
Cualquier campo ordenado tiene la llamada propiedad de densidad:
Si\(a<b\)\(F,\) hay\(x \in F\) tal que,\(a<x<b ;\) por ejemplo, tome
\[x=\frac{a+b}{2}.\]
Ahora vamos a demostrar que, en los campos de Arquímedes, se\(x\) puede elegir racional, aunque\(a\) y no lo\(b\) sean. Nos referimos a esto como la densidad de racionales en un campo de Arquímedes
(densidad de racionales) Entre cualquier elemento\(a\) y\(b\)\((a<b)\) de un campo de Arquímedes\(F\) (como\(E^{1}\)), hay un racional\(r \in F\) con
\[a<r<b.\]
Dejar\(p=[a]\) (la parte integral de\(a ) .\) La idea de la prueba es comenzar con\(p\) y marcar un pequeño “vara de medir”
\[\frac{1}{n}<b-a\]
varias\((m)\) veces, hasta
\[p+\frac{m}{n} \text{ lands inside } (a, b)\]
entonces\(r=p+\frac{m}{n}\) es el racional deseado.
Ahora lo hacemos preciso. Como\(F\) es Arquímedes, hay\(m, n \in N\) tales que
\[n(b-a)>1 \text{ and } m\left(\frac{1}{n}\right)>a-p\]
Arreglamos lo menos tal\(m\) (existe, por Teorema 2 en\(§§ 5-6 ) .\) Entonces
\[a-p<\frac{m}{n}, \text{ but } \frac{m-1}{n} \leq a-p\]
(por la minimalidad de\(m ) .\) Por lo tanto
\[a<p+\frac{m}{n} \leq a+\frac{1}{n}<a+(b-a),\]
desde\(\frac{1}{n}<b-a .\) Setting
\[r=p+\frac{m}{n},\]
encontramos
\[a<r<a+b-a=b. \square\]
Nota. Habiendo encontrado una racional\(r_{1}\),
\[a<r_{1}<b,\]
podemos aplicar el Teorema 3 para encontrar otro\(r_{2} \in R\),
\[r_{1}<r_{2}<b,\]
luego un tercero\(r_{3} \in R\),
\[r_{2}<r_{3}<b,\]
y así sucesivamente. Continuando este proceso indefinidamente, obtenemos infinitamente muchos racionales en\((a, b) .\)