2.5: Algunas consecuencias del axioma de la integridad

El antiguo geómetro y científico griego Arquímedes fue el primero en observar que incluso una gran distancia se\(y\) puede medir con un pequeño estándar\(x ;\) uno solo tiene que\(x\) marcar suficientemente muchas veces. Matemáticamente, esto quiere decir que, dado cualquiera\(x>0\) y cualquiera\(y,\) hay\(n \in N\) tal que\(n x>y .\) Este hecho, conocido como la propiedad de Arquímedes, se mantiene no sólo en\(E^{1}\) sino también en muchos otros campos ordenados. Tales campos se llaman Arquímedes. En particular, tenemos el siguiente teorema.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Cualquier campo completo F\(\left(e . g ., E^{1}\right)\) es Arquímedes.

Es decir, dado cualquiera\(x, y \in F(x>0)\) en tal campo, hay un natural\(n \in F\) tal que\(n x>y .\)

Prueba

(por contradicción) Supongamos que esto falla. Así, dado\(y, x \in F(x>0)\), supongamos que no hay\(n \in N\) con\(n x>y\).

Entonces

\[(\forall n \in N) \quad n x \leq y\]

es decir,\(y\) es un límite superior del conjunto de todos los productos\(n x(n \in N) .\) Let

\[A=\{n x | n \in N\}\]

Claramente,\(A\) está delimitado arriba\((\) por\(y)\) y\(A \neq \emptyset ;\) así, por la supuesta integridad de\(F, A\) tiene un supremo, digamos,\(q=\sup A\).

Como\(q\) es un límite superior, tenemos (por la definición de\(A )\) eso\(n x \leq q\) para todos de\(n \in N,\) ahí también\((n+1) x \leq q ;\) i.e.,

\[n x \leq q-x\]

para todos\(n \in N(\) desde entonces\(n \in N \Rightarrow n+1 \in N)\).

Así\(q-x\) (que es menor que\(q\) para\(x>0\)) es otro límite superior de todos\(nx\) es decir, del conjunto\(A .\)

Esto es imposible, sin embargo, ya que\(q=\sup A\) es el límite inferior superior de\(A .\)

Esta contradicción completa la prueba. \(\square\)

corolario\(\PageIndex{1}\)

En cualquier campo de Arquímedes (de ahí también en cualquier completo)\(F,\) el conjunto\(N\) de todos los elementos naturales no tiene límites superiores, y el conjunto\(J\) de todos los enteros no
tiene límites superiores ni inferiores. Así

\[(\forall y \in F)(\exists m, n \in N) \quad-m<y<n\]

Prueba

Dado que\(y \in F,\) cualquiera puede usar la propiedad de Arquímedes (con\(x=1 )\) para encontrar una\(n \in N\) tal que

\[n \cdot 1>y, \text{ i.e., } n>y.\]

Del mismo modo, existe\(m \in N\) tal que

\[m>-y, \text{ i.e., } -m<y.\]

Esto prueba nuestra última afirmación y demuestra que\(n o y \in F\) puede ser un derecho obligado de\(N(\) para\(y<n \in N),\) o un límite izquierdo de\(J(\) para\(y>-m \in J). \square\)

Teorema\(\PageIndex{2}\)

En cualquier campo de Arquímedes (por lo tanto, también en cualquier campo completo),\(F,\) cada conjunto\(A\) de enteros delimitados a la izquierda (derecha)\((\emptyset \neq A \subset J)\) tiene un mínimo (máximo, respectivamente\) ).

Prueba

Supongamos\(\emptyset \neq A \subseteq J,\) y\(A\) tiene un límite inferior\(y\).

Entonces el Corolario 1 (última parte) rinde un natural\(m,\) con\(-m<y,\) para que

\[(\forall x \in A) \quad-m<x,\]

y así\(x+m>0\).

Así, al\(m\) sumar a cada uno\(x \in A,\) obtenemos un conjunto\((\) llamarlo\(A+m)\) de naturales.

Ahora, por Teorema 2 de\(§§5-6, A+m\) tiene un mínimo; llamarlo\(p .\) Como\(p\) es la menor de todas las sumas\(x+m, p-m\) es la menor de todas\(x \in A ;\) así\(p-m=\min A\) existe, como se afirma.

A continuación, vamos a\(A\) tener un encuadernado derecho\(z .\) Luego mira el conjunto de todos los inversos aditivos\(-x\) de puntos\(x \in A ;\) llamarlo\(B .\)

Claramente,\(B\) se deja acotado\((\mathrm{by}-z),\) por lo que tiene un mínimo, digamos,\(u=\min B\). Entonces\(-u=\max A .\) (¡Verifica!) \(\square\)

En particular, dado cualquier\(x \in F(F\) Arquímedes), vamos a\([x]\) denotar el mayor número entero\(\leq x\) (llamado la parte integral de\(x ) .\) Obtenemos así el siguiente corolario.

corolario\(\PageIndex{2}\)

Cualquier elemento\(x\) de un campo de Arquímedes\(F\) tiene una parte integral\([x] .\) Es el entero único\(n\) tal que

\[n \leq x<n+1\]

(Existe, por Teorema 2.)

Cualquier campo ordenado tiene la llamada propiedad de densidad:

Si\(a<b\)\(F,\) hay\(x \in F\) tal que,\(a<x<b ;\) por ejemplo, tome

\[x=\frac{a+b}{2}.\]

Ahora vamos a demostrar que, en los campos de Arquímedes, se\(x\) puede elegir racional, aunque\(a\) y no lo\(b\) sean. Nos referimos a esto como la densidad de racionales en un campo de Arquímedes

Teorema\(\PageIndex{3}\)

(densidad de racionales) Entre cualquier elemento\(a\) y\(b\)\((a<b)\) de un campo de Arquímedes\(F\) (como\(E^{1}\)), hay un racional\(r \in F\) con

\[a<r<b.\]

Dejar\(p=[a]\) (la parte integral de\(a ) .\) La idea de la prueba es comenzar con\(p\) y marcar un pequeño “vara de medir”

\[\frac{1}{n}<b-a\]

varias\((m)\) veces, hasta

\[p+\frac{m}{n} \text{ lands inside } (a, b)\]

entonces\(r=p+\frac{m}{n}\) es el racional deseado.

Ahora lo hacemos preciso. Como\(F\) es Arquímedes, hay\(m, n \in N\) tales que

\[n(b-a)>1 \text{ and } m\left(\frac{1}{n}\right)>a-p\]

Arreglamos lo menos tal\(m\) (existe, por Teorema 2 en\(§§ 5-6 ) .\) Entonces

\[a-p<\frac{m}{n}, \text{ but } \frac{m-1}{n} \leq a-p\]

(por la minimalidad de\(m ) .\) Por lo tanto

\[a<p+\frac{m}{n} \leq a+\frac{1}{n}<a+(b-a),\]

desde\(\frac{1}{n}<b-a .\) Setting

\[r=p+\frac{m}{n},\]

encontramos

\[a<r<a+b-a=b. \square\]

Nota. Habiendo encontrado una racional\(r_{1}\),

\[a<r_{1}<b,\]

podemos aplicar el Teorema 3 para encontrar otro\(r_{2} \in R\),

\[r_{1}<r_{2}<b,\]

luego un tercero\(r_{3} \in R\),

\[r_{2}<r_{3}<b,\]

y así sucesivamente. Continuando este proceso indefinidamente, obtenemos infinitamente muchos racionales en\((a, b) .\)