2.6: Poderes con Exponentes Reales Arbitrarios. Irracionales
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En campos completos, se puede definir\(a^{r}\) para cualquiera\(a>0\) y\(r \in E^{1}\) (para\(r \in N,\) ver §§5-6, Ejemplo\((\mathrm{f}) ) .\) En primer lugar, tenemos el siguiente teorema.
Dado\(a \geq 0\) en un campo completo\(F,\) y un número natural\(n \in E^{1}\), siempre hay un elemento único\(p \in F, p \geq 0,\) tal que
\[p^{n}=a.\]
Se llama la raíz\(n\) th o f\(a,\) denotada
\[\sqrt[n]{a} \text{ or } a^{1 / n}.\]
(Obsérvese que\(\sqrt[n]{a} \geq 0,\) por definición.)
- Prueba
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Una prueba directa, a partir del axioma de integridad, se esboza en los Problemas 1 y 2 a continuación. Daremos una prueba más sencilla en el Capítulo 4, §9, Ejemplo (a). En la actualidad, lo omitimos y temporalmente damos por sentado el Teorema 1. De ahí que obtengamos el siguiente resultado.
Todo campo completo\(F\) (como\(E^{1}\)) tiene elementos irracionales, es decir, elementos que no son racionales.
En particular,\(\sqrt{2}\) es irracional.
- Prueba
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Por Teorema 1,\(F\) tiene el elemento
\[p=\sqrt{2} \text{ with } p^{2}=2\]
Buscar una contradicción, supongamos que\(\sqrt{2}\) es racional, es decir,
\[\sqrt{2}=\frac{m}{n}\]
para algunos\(m, n \in N\) en términos más bajos (ver §7, nota final).
Entonces\(m\) y no\(n\) son ambos pares (de lo contrario, la reducción en 2 produciría un menor\(n ) .\) De\(m / n=\sqrt{2},\) obtenemos
\[m^{2}=2 n^{2};\]
así\(m^{2}\) es parejo.
Sin embargo, sólo los elementos pares tienen cuadrados pares. Así\(m\) mismo debe ser parejo; es decir,\(m=2 r\) para algunos De\(r \in N .\) ello se deduce que
\[4 r^{2}=m^{2}=2 n^{2}, \text{ i.e., } 2 r^{2}=n^{2}\]
y, por el mismo argumento,\(n\) debe ser parejo.
Esto contradice el hecho de que\(m\) y no\(n\) son ambos parejos, y esta contradicción demuestra que\(\sqrt{2}\) debe ser irracional. \(\square\)
Nota 1. De igual manera, se puede probar la irracionalidad de\(\sqrt{a}\) dónde\(a \in N\) y no\(a\) es el cuadrado de un natural. Consulte el Problema 3 a continuación para obtener una pista.
Nota 2. El teorema 2 muestra que el campo\(R\) de todos los racionales no está completo (porque no contiene irracionales), aunque sea de Arquímedes (ver Problema 6). Así la propiedad de Arquímedes no tiene impleteidad (sino ver Teorema 1 de §10).
A continuación, definimos\(a^{r}\) para cualquier número racional\(r>0\).
Dado\(a \geq 0\) en un campo completo\(F,\) y un número racional
\[r=\frac{m}{n} \quad\left(m, n \in N \subseteq E^{1}\right)\]
definimos
\[a^{r}=\sqrt[n]{a^{m}}.\]
Aquí debemos esclarecer dos hechos.
(1) Si\(n=1,\) tenemos
\[a^{r}=a^{m / 1}=\sqrt[1]{a^{m}}=a^{m}.\]
Si\(m=1,\) conseguimos
\[a^{r}=a^{1 / n}=\sqrt[n]{a}.\]
Por lo tanto, la definición 1 concuerda con nuestras definiciones anteriores de\(a^{m}\) y\(\sqrt[n]{a}\)\((m, n \in N) .\)
2) Si\(r\) se escribe como fracción de dos maneras distintas,
\[r=\frac{m}{n}=\frac{p}{q},\]
entonces, como se ve fácilmente,
\[\sqrt[n]{a^{m}}=\sqrt[q]{a^{p}}=a^{r},\]
y así nuestra definición es inequívoca (independiente de la representación particular de\(r ) .\)
En efecto,
\[\frac{m}{n}=\frac{p}{q} \text{ implies } m q=n p,\]
de donde
\[a^{m q}=a^{p n},\]
es decir,
\[\left(a^{m}\right)^{q}=\left(a^{p}\right)^{n};\]
cf. §§5-6, Problema 6.
Por definición, sin embargo,
\[\left(\sqrt[n]{a^{m}}\right)^{n}=a^{m} \text{ and } \left(\sqrt[q]{a^{p}}\right)^{q}=a^{p}.\]
Sustituyendo esto en\(\left(a^{m}\right)^{q}=\left(a^{p}\right)^{n},\) obtenemos
\[\left(\sqrt[n]{a^{m}}\right)^{n q}=\left(\sqrt[q]{a^{p}}\right)^{n q},\]
de donde
\[\sqrt[n]{a^{m}}=\sqrt[q]{a^{p}}.\]
Por lo tanto, la Definición 1 es válida, en efecto.
Al utilizar los resultados de los Problemas 4 y 6 de §§5-6, el lector obtendrá fácilmente fórmulas análogas para potencias con exponentes racionales positivos, es decir,
\[\begin{aligned} a^{r} a^{s} &=a^{r+s} ;\left(a^{r}\right)^{s}=a^{r s} ;(a b)^{r}=a^{r} b^{r} ; a^{r}<a^{s} \text { if } 0<a<1 \text { and } r>s \\ a &<b \text { iff } a^{r}<b^{r}(a, b, r>0) ; a^{r}>a^{s} \text { if } a>1 \text { and } r>s ; 1^{r}=1 \end{aligned}\]
En adelante asumimos estas fórmulas conocidas, por racionales\(r, s>0\).
A continuación, definimos\(a^{r}\) para cualquier elemento real\(r>0\) y cualquier elemento\(a>1\) en un campo completo\(F .\)
Dejar\(A_{a r}\) denotar el conjunto de todos los miembros\(F\) de la forma\(a^{x},\) con\(x \in R\) y\(0<x \leq r ;\) i.e.
\[A_{ar}=\{a^{x} | 0<x \leq r, x \text{ rational}\}.\]
Por la densidad de los racionales en\(E^{1}\) (Teorema 3 de §10), tales racionales\(x\) sí existen; así\(A_{\text {ar}} \neq \emptyset\).
Por otra parte,\(A_{a r}\) es justo acotado en\(F .\) Indeed, fijar cualquier número racional\(y>r\). Por las fórmulas en\((1),\) tenemos, para cualquier racional positivo\(x \leq r\),
\[a^{y}=a^{x+(y-x)}=a^{x} a^{y-x}>a^{x}\]
ya que\(a>1\) e\(y-x>0\) implica
\[a^{y-x}>1.\]
Así\(a^{y}\) es un límite superior de todo\(a^{x}\) en\(A_{a r}\).
De ahí que por la supuesta completitud del\(F,\) sup\(A_{ar}\) exista. Así que podemos definir
\[a^{r}=\sup A_{a r}.\]
También ponemos
\[a^{-r}=\frac{1}{a^{r}}.\]
Si\(0<a<1\) (para que\(\frac{1}{a}>1 ),\) pongamos
\[a^{r}=\left(\frac{1}{a}\right)^{-r} \text{ and } a^{-r}=\frac{1}{a^{r}},\]
donde
\[\left(\frac{1}{a}\right)^{r}=\sup A_{1 / a, r},\]
como se ha indicado anteriormente.
Resumiendo, tenemos las siguientes definiciones.
Dado\(a>0\) en un campo completo\(F\), y\(r \in E^{1}\), definimos lo siguiente. i) Si\(r>0\) y\(a>1\), entonces
\[a^{r}=\sup A_{a r}=\sup \left\{a^{x} | 0<x \leq r, x \text { rational }\right\}\]
ii) Si\(r>0\) y\(0<a<1\), entonces\(a^{r}=\frac{1}{(1 / a)^{r}}\), también escrito\((1 / a)^{-r}.\)
iii)\(a^{-r}=1 / a^{r}\). (Esto también define potencias con exponentes negativos).
También definimos\(0^{r}=0\) para cualquier real\(r>0\), y\(a^{0}=1\) para cualquiera\(a \in F\),\(a \neq 0\);\(0^{0}\) permanece indefinido.
El poder también\(a^{r}\) se define si\(a<0\) y\(r\) es un racional\(\frac{m}{n}\) con\(n\) porque\(a^{r}=\sqrt[n]{a^{m}}\) tiene sentido en este caso. (¿Por qué?) Esto no funciona para otros valores de\(r\). Por lo tanto, en general, asumimos\(a>0\).
Nuevamente, es fácil demostrar que las fórmulas en (1) siguen siendo válidas también para potencias con exponentes reales (ver Problemas} 8-13 a continuación), siempre y cuando\(F\) esté completo.