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LibreTexts Español

2.7.E: Problemas en los límites superior e inferior de las secuencias en\(E^{*}\) (Exercises)

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    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Completar los detalles faltantes en las pruebas de Teoremas 2 y\(3,\) Corolario\(1,\) y Ejemplos (a) y (b).

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Estado y probar los análogos de los Teoremas 1 y 2 y Corolario 2 para
    \(\underline{\lim} x_{n}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Encontrar\(\overline{\lim } x_{n}\) y\(\underline{\lim} x_{n}\) si
    (a)\(x_{n}=c\) (constante);
    (b)\(x_{n}=-n\);
    (c)\(x_{n}=n ;\) y
    (d)\(x_{n}=(-1)^{n} n-n\)
    ¿\(\lim x_{n}\)Existe en cada caso?

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    \(\Rightarrow 4 .\)Se dice que una secuencia\(\left\{x_{n}\right\}\) se agrupa en\(q \in E^{*},\) y\(q\) se llama su punto de clúster, iff cada uno\(G_{q}\) contiene\(x_{n}\) infinitamente muchos valores de\(n\).
    Mostrar que ambos\(\underline{L}\) y\(\overline{L}\) son los puntos de clúster\((\underline{L} \text { the least and } \overline{L} \text { the }\) más grandes).
    [Pista: Utilice el teorema 2 y su análogo para\(\underline{L}\).
    Para demostrar que no\(p<\underline{L}\) (o\(q>\overline{L} )\) es un punto de cúmulo, asumir lo contrario y encontrar una contradicción al Corolario 2.]

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    \(\Rightarrow 5 .\)Demostrar que
    (i)\(\overline{\lim} \left(-x_{n}\right)=-\underline{\lim} x_{n}\) y
    (ii)\(\overline{\lim} \left(a x_{n}\right)=a \cdot \overline{\lim } x_{n}\) si\(0 \leq a<+\infty\).

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    Demostrar que

    \ [\ overline {\ lim} x_ {n} <+\ infty\ left (\ underline {\ lim} x_ {n} >-\ infty\ right)
    \]
    iff\(\left\{x_{n}\right\}\) está delimitado arriba (abajo) en\(E^{1}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    Demostrar que si\(\left\{x_{n}\right\}\) y\(\left\{y_{n}\right\}\) están delimitados en\(E^{1},\) entonces

    \ [\ overline {\ lim} x_ {n} +\ overline {\ lim} y_ {n}\ geq\ overline {\ lim}\ left (x_ {n} +y_ {n}\ right)\ geq\ overline {\ lim} x_ {n} +\ subrayado {\ lim} y_ {n}\ geq\ subrayado {\ lim} (x_ {n} + y_ {n})\ geq\ subrayado {\ lim} x_ {n } +\ subrayado {\ lim} y_ {n}.
    \]
    [Pista: Demostrar la primera desigualdad y luego usar eso y el Problema 5\((\mathrm{i})\) para los demás.]

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    \(\Rightarrow 8 .\)Demostrar que si\(p=\lim x_{n}\) en\(E^{1},\) entonces

    \ [\ subrayar {\ lim} (x_ {n} + y_ {n}) = p +\ subrayado {\ lim} y_ {n};
    \] de
    manera similar para\(\overline{L}\).

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    \(\Rightarrow 9 .\)Demostrar que si\(\left\{x_{n}\right\}\) es monótona,\(\left\{x_{n}\right\} \uparrow,\) entonces\(\lim x_{n}\) existe\(i n E^{*} .\) Específicamente, si entonces

    \ [\ lim x_ {n} =\ sup _ {n} x_ {n},
    \]
    y si\(\left\{x_{n}\right\} \downarrow,\) entonces

    \ [\ lim x_ {n} =\ inf _ {n} x_ {n}.
    \]

    Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

    \(\Rightarrow 10 .\)Demostrar que
    (i) si lim\(x_{n}=+\infty\) y\((\forall n) x_{n} \leq y_{n},\) luego también\(\lim y_{n}=+\infty,\) y
    (ii) si\(\lim x_{n}=-\infty\) y\((\forall n) y_{n} \leq x_{n},\) entonces también\(\lim y_{n}=-\infty\).

    Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

    Demostrar que si\(x_{n} \leq y_{n}\) para todos\(n,\) entonces

    \ [\ subrayar {\ lim} x_ {n}\ leq\ subrayado {\ lim} y_ {n}\ text {y}\ overline {\ lim} x_ {n}\ leq\ overline {\ lim} y_ {n}.
    \]


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