3.1: El espacio N euclidiano, E

Por definición, el espacio euclidiano\(n\)\(E^{n}\) es el conjunto de todas las\(n\) tuplas ordenadas posibles de números reales, es decir, el producto cartesiano

\[E^{1} \times E^{1} \times \cdots \times E^{1}(n \text{ times}).\]

En particular\(E^{2}=E^{1} \times E^{1}=\left\{(x, y) | x, y \in E^{1}\right\}\),

\[E^{3}=E^{1} \times E^{1} \times E^{1}=\left\{(x, y, z) | x, y, z \in E^{1}\right\},\]

y así sucesivamente. \(E^{1}\)sí mismo es un caso especial de\(E^{n}(n=1).\) De una manera familiar, los pares se\((x, y)\) pueden trazar como puntos del\(x y\) -plano, o como “vectores” (segmentos de línea dirigidos) uniéndose\((0,0)\) a tales puntos. Por lo tanto, los\((x, y)\) propios pares se denominan puntos o vectores de manera\(E^{2} ;\) similar para\(E^{3}\).

\(\operatorname{In} E^{n}(n>3),\)no hay una representación geométrica real, pero es conveniente usar el lenguaje geométrico en este caso, también. Así, cualquier\(n\) tupla ordenada\(\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\) de números reales también se llamará punto o vector en\(E^{n},\) y los números únicos\(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) se llamarán sus coordenadas o componentes. Un punto en a menudo\(E^{n}\) se denota con una sola letra (preferiblemente con una barra o una flecha encima), y luego sus\(n\) componentes se denotan con la misma letra, con subíndices (pero sin la barra o flecha). Por ejemplo,

\[\overline{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \vec{u}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), etc.;\]

\(\overline{x}=(0,-1,2,4)\)es un punto (vector)\(E^{4}\) con coordenadas\(0,-1,2,\) y 4 (en este orden). La fórmula\(\overline{x} \in E^{n}\) significa que\(\overline{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\) es un punto (vector) en\(E^{n} .\) ya que tales “puntos” están ordenados\(n\) -tuplas,\(\overline{x}\) y\(\overline{y}\) son iguales\((\overline{x}=\overline{y})\) si las coordenadas correspondientes son las mismas, es decir,\(x_{1}=y_{1}, x_{2}=y_{2}\)\(\ldots, x_{n}=y_{n}\) (ver Problema 1 a continuación).

El punto cuyas coordenadas son todas 0 se llama el\(z\) ero-vector o el origen, denotado\(\overrightarrow{0}\) o\(\overline{0} .\) El vector cuyo\(k\) th componente es\(1,\) y los otros componentes son\(0,\) se llama el\(k\) th vector de unidad básica, denotado\(\vec{e}_{k} .\) Hay exactamente \(n\)tales vectores,

\[\vec{e}_{1}=(1,0,0, \ldots, 0), \vec{e}_{2}=(0,1,0, \ldots, 0), \ldots, \vec{e}_{n}=(0, \ldots, 0,1)\]

En\(E^{3},\) a menudo escribimos\(\overline{i}, \overline{j},\) y\(\vec{k}\) para\(\vec{e}_{1},\) y\((x, y, z)\) para\(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) .\) Similarmente en\(E^{2} .\) Single los números reales se llaman escalares (a diferencia de vectores).

Definición

Dado\(\overline{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\) y\(\overline{y}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)\) en\(E^{n},\) definimos lo siguiente.

1. La suma de\(\overline{x}\) y\(\overline{y}\),

\[\overline{x}+\overline{y}=\left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, \ldots, x_{n}+y_{n}\right) (\text{hence } \overline{x}+\overline{0}=\overline{x} ).\]

2. El producto de punto, o producto interno, de\(\overline{x}\) y\(\overline{y},\)

\[\overline{x} \cdot \overline{y}=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\cdots+x_{n} y_{n}.\]

3. La distancia entre\(\overline{x}\) y\(\overline{y},\)

\[\rho(\overline{x}, \overline{y})=\sqrt{\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-y_{n}\right)^{2}}.\]

4. El valor absoluto, o longitud, de\(\overline{x},\)

\[|\overline{x}|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}=\rho(\overline{x}, \overline{0})=\sqrt{\overline{x} \cdot \overline{x}}\]

(tres fórmulas que son todas iguales por las Definiciones 2 y 3\()\).

5. La inversa de\(\overline{x},\)

\[-\overline{x}=\left(-x_{1},-x_{2}, \dots,-x_{n}\right).\]

6. El producto de\(\overline{x}\) por un escalar\(c \in E^{1},\)

\[c \overline{x}=\overline{x} c=\left(c x_{1}, c x_{2}, \dots, c x_{n}\right);\]

en particular,\((-1) \overline{x}=\left(-x_{1},-x_{2}, \dots,-x_{n}\right)=-\overline{x}, 1 \overline{x}=\overline{x},\) y\(0 \overline{x}=\overline{0}\).

7. La diferencia de\(\overline{x}\) y\(\overline{y},\)

\[\overline{x}-\overline{y}=\overrightarrow{y x}=\left(x_{1}-y_{1}, x_{2}-y_{2}, \dots, x_{n}-y_{n}\right).\]

En particular,\(\overline{x}-\overline{0}=\overline{x}\) y\(\overline{0}-\overline{x}=-\overline{x} .\) (¡Verifica!)

Nota 1. Las definiciones\(2-4\) producen escalares, mientras que el resto son vectores.

Nota 2. No definiremos desigualdades\((<)\)\(E^{n}(n \geq 2),\) ni definiremos productos vectoriales distintos del producto punto\((2),\) que es un escalar.

Nota 3. De las Definiciones 3, 4 y 7, obtenemos\(\rho(\overline{x}, \overline{y})=|\overline{x}-\overline{y}| .\) (¡Verifica!)

Nota 4. A menudo escribimos\(\overline{x} / c\) para\((1 / c) \overline{x},\) dónde\(c \in E^{1}, c \neq 0\).

Nota 5. En\(E^{1}, \overline{x}=\left(x_{1}\right)=x_{1} .\) Así, por Definición 4,

\[|\overline{x}|=\sqrt{x_{1}^{2}}=\left|x_{1}\right|,\]

donde\(\left|x_{1}\right|\) se define como en el Capítulo 2, §§1, Definición 4. Así concuerdan las dos definiciones.

Llamamos a\(\overline{x}\) un vector de unidad iff su longitud es\(1,\) i.e.,\(|x|=1 .\) Tenga en cuenta que si\(\overline{x} \neq \overline{0}\), entonces\(\overline{x} / | \overline{x} /\) es un vector de unidad, ya que

\[\left|\frac{\overline{x}}{|\overline{x}|}\right|=\sqrt{\frac{x_{1}^{2}}{|\overline{x}|^{2}}+\cdots+\frac{x_{n}^{2}}{|\overline{x}|^{2}}}=1.\]

Los vectores\(\overline{x}\) y\(\overline{y}\) se dice que son ortogonales o perpendiculares\((\overline{x} \perp \overline{y})\) iff\(\overline{x} \cdot \overline{y}=0\) e\(\operatorname{parallel}(\overline{x} \| \overline{y})\) iff\(\overline{x}=t \overline{y}\) o\(\overline{y}=t \overline{x}\) para algunos\(t \in E^{1} .\) Tenga en cuenta que\(\overline{x} \perp \overline{0}\) y\(\overline{x} \| \overline{0}\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Si\(\overline{x}=(0,-1,4,2)\) y\(\overline{y}=(2,2,-3,2)\) son vectores en\(E^{4},\) entonces

\(\begin{aligned} \overline{x}+\overline{y} &=(2,1,1,4); \\ \overline{x}-\overline{y} &=(-2,-3,7,0); \\ \rho(\overline{x}, \overline{y}) &=|\overline{x}-\overline{y}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+7^{2}+0^{2}}=\sqrt{62}; \\(\overline{x}+\overline{y}) \cdot(\overline{x}-\overline{y}) &=2(-2)+1(-3)+7+0=0. \end{aligned}\)

\(\mathrm{So}(\overline{x}+\overline{y}) \perp(\overline{x}-\overline{y})\)aquí.

Teorema\(\PageIndex{1}\)

Para cualquier vector\(\overline{x}, \overline{y},\) y\(\overline{z} \in E^{n}\) y cualquiera\(a, b \in E^{1},\) que tengamos

a)\(\overline{x}+\overline{y}\) y a\(\overline{x}\) son vectores en\(E^{n}\) (leyes de cierre);

b)\(\overline{x}+\overline{y}=\overline{y}+\overline{x}\) (conmutatividad de la adición de vectores);

c)\((\overline{x}+\overline{y})+\overline{z}=\overline{x}+(\overline{y}+\overline{z})\) (asociatividad de la adición de vectores);

d)\(\overline{x}+\overline{0}=\overline{0}+\overline{x}=\overline{x},\) es decir,\(\overline{0}\) es el elemento neutro de adición;

(e)\(\overline{x}+(-\overline{x})=\overline{0},\) es decir,\(-\overline{x}\) es la inversa aditiva de\(\overline{x}\);

f)\(a(\overline{x}+\overline{y})=a \overline{x}+a \overline{y}\) y\((a+b) \overline{x}=a \overline{x}+b \overline{x}\) (leyes distributivas);

g)\((a b) \overline{x}=a(b \overline{x})\);

h)\(1 \overline{x}=\overline{x}\).

Prueba

La aserción (a) es inmediata de las Definiciones 1 y\(6 .\) El resto se deriva de las propiedades correspondientes de los números reales.

Por ejemplo, para probar (b), let\(\overline{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \overline{y}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) .\) Entonces por definición, tenemos

\[\overline{x}+\overline{y}=\left(x_{1}+y_{1}, \dots, x_{n}+y_{n}\right) \text{ and } \overline{y}+\overline{x}=\left(y_{1}+x_{1}, \ldots, y_{n}+x_{n}\right).\]

Los lados derechos en ambas expresiones, sin embargo, coinciden ya que la adición es conmutativa\(i n E^{1} .\) Así\(\overline{x}+\overline{y}=\overline{y}+\overline{x},\) como se afirma; de manera similar para el resto, que dejamos al lector. \(\square\)

Teorema\(\PageIndex{2}\)

Si\(\overline{x}=\left(x_{1}, \dots, x_{n}\right)\) es un vector en\(E^{n},\) entonces, con\(\overline{e}_{k}\) como arriba,

\[\overline{x}=x_{1} \overline{e}_{1}+x_{2} \overline{e}_{2}+\cdots+x_{n} \overline{e}_{n}=\sum_{k=1}^{n} x_{k} \overline{e}_{k}.\]

Por otra parte, si\(\overline{x}=\sum_{k=1}^{n} a_{k} \overline{e}_{k}\) para algunos\(a_{k} \in E^{1},\) entonces necesariamente\(a_{k}=x_{k}\),\(k=1, \ldots, n\).

Prueba

Por definición,

\[\overline{e}_{1}=(1,0, \ldots, 0), \overline{e}_{2}=(0,1, \ldots, 0), \ldots, \overline{e}_{n}=(0,0, \ldots, 1).\]

Así

\[x_{1} \overline{e}_{1}=\left(x_{1}, 0, \ldots, 0\right), x_{2} \overline{e}_{2}=\left(0, x_{2}, \dots, 0\right), \ldots, x_{n} \overline{e}_{n}=\left(0,0, \ldots, x_{n}\right).\]

Sumando componentwise, obtenemos

\[\sum_{k=1}^{n} x_{k} \overline{e}_{k}=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\overline{x},\]

como se afirma.

Además, si los\(x_{k}\) son reemplazados por cualquier otro,\(a_{k} \in E^{1},\) el mismo proceso rinde

\[\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=\overline{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),\]

es decir, las dos\(n\) -tuplas coinciden, de donde\(a_{k}=x_{k}, k=1, \ldots, n\). \(\square\)

Nota 6. Cualquier suma de la forma

\[\sum_{k=1}^{m} a_{k} \overline{x}_{k} \quad\left(a_{k} \in E^{1}, \overline{x}_{k} \in E^{n}\right)\]

se llama una combinación lineal de los vectores\(\overline{x}_{k}\) (cuyo número\(m\) es arbitrario). Así, el Teorema 2 muestra que se\(a n y \overline{x} \in E^{n}\) puede expresar, de una manera única, como una combinación lineal de los vectores unitarios\(n\) básicos. En\(E^{3},\) escribimos

\[\overline{x}=x_{1} \overline{i}+x_{2} \overline{j}+x_{3} \overline{k}.\]

Nota 7. Si, como anteriormente, algunos vectores están numerados (por ejemplo\(\overline{x}_{1}, \overline{x}_{2}, \ldots, \overline{x}_{m} )\),, denotamos sus componentes uniendo un segundo subíndice; por ejemplo, los componentes de\(\overline{x}_{1}\) son\(x_{11}, x_{12}, \ldots, x_{1 n}\).

Teorema\(\PageIndex{3}\)

Para cualquier vector\(\overline{x}, \overline{y},\) y\(\overline{z} \in E^{n}\) y cualquiera\(a, b \in E^{1},\) que tengamos

a)\(\overline{x} \cdot \overline{x} \geq 0,\) e\(\overline{x} \cdot \overline{x}>0\) iff\(\overline{x} \neq \overline{0}\);

b)\((a \overline{x}) \cdot(b \overline{y})=(a b)(\overline{x} \cdot \overline{y})\);

c)\(\overline{x} \cdot \overline{y}=\overline{y} \cdot \overline{x}\) (conmutatividad de los productos internos);

d)\((\overline{x}+\overline{y}) \cdot \overline{z}=\overline{x} \cdot \overline{z}+\overline{y} \cdot \overline{z}(\) distributivo\(\operatorname{law})\).

Prueba

Para probar estas propiedades, expresar todo en términos de los componentes de\(\overline{x}\),\(\overline{y},\)\(\overline{z},\) y proceder como en el Teorema 1. \(\square\)

Obsérvese que (b) implica\(\overline{x} \cdot \overline{0}=0\) (poner\(a=1, b=0 )\).

Teorema\(\PageIndex{4}\)

Para cualquier vector\(\overline{x}\) y\(\overline{y} \in E^{n}\) y cualquiera\(a \in E^{1},\) tenemos las siguientes propiedades:

(a')\(|\overline{x}| \geq 0,\) e\(|\overline{x}|>0\) iff\(\overline{x} \neq \overline{0}\).

(b')\(|a \overline{x}|=|a||\overline{x}|\).

(c')\(|\overline{x} \cdot \overline{y}| \leq|\overline{x}||\overline{y}|,\) o, en componentes,

\[\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}\right)^{2} \leq\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}\right)\left(\sum_{k=1}^{n} y_{k}^{2}\right) \quad(\text{Cauchy-Schwarz inequality})\]

Igualdad,\(|\overline{x} \cdot \overline{y}|=|\overline{x}||\overline{y}|,\) sostiene iff\(\overline{x} \| \overline{y}\).

(d')\(|\overline{x}+\overline{y}| \leq|\overline{x}|+|\overline{y}|\) y\(| | \overline{x}|-| \overline{y}| | \leq|\overline{x}-\overline{y}|\) (desigualdades triangulares).

Prueba

La propiedad (a') se desprende del Teorema 3\((\mathrm{a})\) desde

\[|\overline{x}|^{2}=\overline{x} \cdot \overline{x}( \text{see Definition 4}).\]

Para (b'), use Teorema\(3(\mathrm{b}),\) para obtener

\[(a \overline{x}) \cdot(a \overline{x})=a^{2}(\overline{x} \cdot \overline{x})=a^{2}|\overline{x}|^{2}.\]

\(4,\)Sin embargo, por definición,

\[(a \overline{x}) \cdot(a \overline{x})=|a \overline{x}|^{2}.\]

Así

\[|a \overline{x}|^{2}=a^{2}|x|^{2}\]

para que\(|a \overline{x}|=|a||\overline{x}|,\) como se reclame.

AHORA probamos (c'). Si\(\overline{x} \| \overline{y}\) entonces\(\overline{x}=t \overline{y}\) o\(\overline{y}=t \overline{x} ;\) así\(|\overline{x} \cdot \overline{y}|=|\overline{x}||\overline{y}|\) sigue por (b'). (¡Verifica!)

De lo contrario,\(\overline{x} \neq t \overline{y}\) y\(\overline{y} \neq t \overline{x}\) para todos\(t \in E^{1} .\) Entonces obtenemos, para todos\(t \in E^{1}\)

\[0 \neq|t \overline{x}-\overline{y}|^{2}=\sum_{k=1}^{n}\left(t x_{k}-y_{k}\right)^{2}=t^{2} \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}-2 t \sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}+\sum_{k=1}^{n} y_{k}^{2}.\]

Por lo tanto, establecer

\[A=\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}, B=2 \sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}, \text{ and } C=\sum_{k=1}^{n} y_{k}^{2},\]

vemos que la ecuación cuadrática

\[0=A t^{2}-B t+C\]

tiene soluciones\(n o\) reales en\(t,\) lo que su discriminante,\(B^{2}-4 A C,\) debe ser negativo; es decir,

\[4\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}\right)^{2}-4\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}\right)\left(\sum_{k=1}^{n} y_{k}^{2}\right)<0,\]

demostrando (c').

Para probar (d'), utilizar la Definición 2 y el Teorema 3 (d), para obtener

\[|\overline{x}+\overline{y}|^{2}=(\overline{x}+\overline{y}) \cdot(\overline{x}+\overline{y})=\overline{x} \cdot \overline{x}+\overline{y} \cdot \overline{y}+2 \overline{x} \cdot \overline{y}=|\overline{x}|^{2}+|\overline{y}|^{2}+2 \overline{x} \cdot \overline{y}.\]

Pero\(\overline{x} \cdot \overline{y} \leq|\overline{x}||\overline{y}|\) por (c'). Así tenemos

\[|\overline{x}+\overline{y}|^{2} \leq|\overline{x}|^{2}+|\overline{y}|^{2}+2|\overline{x}||\overline{y}|=(|\overline{x}|+|\overline{y}| |)^{2},\]

de donde\(|\overline{x}+\overline{y}| \leq|\overline{x}|+|\overline{y}|,\) según se requiera.

Por último, reemplazando aquí\(\overline{x}\) por\(\overline{x}-\overline{y},\) tenemos

\[|\overline{x}-\overline{y}|+|\overline{y}| \geq|\overline{x}-\overline{y}+\overline{y}|=|\overline{x}|, \text{ or } |\overline{x}-\overline{y}| \geq|\overline{x}|-|\overline{y}|,\]

Del mismo modo, reemplazando\(\overline{y}\) por\(\overline{y}-\overline{x},\) obtenemos\(|\overline{x}-\overline{y}|-|\overline{y}|-|\overline{x}| .\) Por lo tanto

\[|\overline{x}-\overline{y}| \geq \pm(|\overline{x}|-|\overline{y}|),\]

es decir,\(|\overline{x}-\overline{y}| \geq| | \overline{x}|-| \overline{y}| |,\) probar la segunda fórmula en (d'). \(square\)

Teorema\(\PageIndex{5}\)

Para cualquier punto\(\overline{x}, \overline{y},\) y\(\overline{z} \in E^{n},\) tenemos

i)\(\rho(\overline{x}, \overline{y}) \geq 0,\) e\(\rho(\overline{x}, \overline{y})=0\) iff\(\overline{x}=\overline{y}\);

ii)\(\rho(\overline{x}, \overline{y})=\rho(\overline{y}, \overline{x})\);

iii) desigualdad\(\rho(\overline{x}, \overline{z}) \leq \rho(\overline{x}, \overline{y})+\rho(\overline{y}, \overline{z})(\) triangular\()\);

Prueba

(i) Por Definición 3 y Nota por\(3, \rho(\overline{x}, \overline{y})=|\overline{x}-\overline{y}| ;\) lo tanto, por Teorema 4\(\left(\mathrm{a}^{\prime}\right)\),\(\rho(\overline{x}, \overline{y})=|\overline{x}-\overline{y}| \geq 0\).

También,\(|\overline{x}-\overline{y}|>0\) iff\(\overline{x}-\overline{y} \neq 0,\) es decir, iff\(\overline{x} \neq \overline{y} .\) De ahí\((\mathrm{i})\) sigue\(\rho(\overline{x}, \overline{y}) \neq 0\) iff\(\overline{x} \neq \overline{y},\) y aserción.

(ii) Por Teorema\(4\left(\mathrm{b}^{\prime}\right),|\overline{x}-\overline{y}|=|(-1)(\overline{y}-\overline{x})|=|\overline{y}-\overline{x}|,\) así (ii) sigue.

iii) Por teorema 4\(\left(\mathrm{d}^{\prime}\right)\),

\(\rho(\overline{x}, \overline{y})+\rho(\overline{y}, \overline{z})=|\overline{x}-\overline{y}|+|\overline{y}-\overline{z}| \geq|\overline{x}-\overline{y}+\overline{y}-\overline{z}|=\rho(\overline{x}, \overline{z}) . \square\)

Nota 8. También tenemos\(|\rho(\overline{x}, \overline{y})-\rho(\overline{z}, \overline{y})| \leq \rho(\overline{x}, \overline{z}) .\) (¡Demuébalo!) Las dos desigualdades triangulares tienen una interpretación geométrica simple (lo que explica su nombre). Si\(\overline{x}, \overline{y},\) y\(\overline{z}\) son tratados como los vértices de un triángulo, obtenemos que la longitud de un lado,\(\rho(\overline{x}, \overline{z})\) nunca supera la suma de los otros dos lados y nunca es menor su diferencia.

Como\(E^{1}\) es un caso especial de\(E^{n}\) (en el que los “vectores” son números únicos), toda nuestra teoría\(E^{1}\) también se aplica a ellos. En particular, las distancias en\(E^{1}\) se definen\(\rho(x, y)=|x-y|\) y obedecen las tres leyes del Teorema\(5 .\) Dot productos en\(E^{1}\) convertirse en productos ordinarios\(x y .\) (¿Por qué?) De Teoremas\(4\left(\mathrm{b}^{\prime}\right)\left(\mathrm{d}^{\prime}\right),\) tenemos

\[|a||x|=|a x| ;|x+y| \leq|x|+|y| ;|x-y| \geq| | x|-| y| | \quad\left(a, x, y \in E^{1}\right).\]