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# 3.1: El espacio N euclidiano, E

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Por definición, el espacio euclidiano$$n$$$$E^{n}$$ es el conjunto de todas las$$n$$ tuplas ordenadas posibles de números reales, es decir, el producto cartesiano

$E^{1} \times E^{1} \times \cdots \times E^{1}(n \text{ times}).$

En particular$$E^{2}=E^{1} \times E^{1}=\left\{(x, y) | x, y \in E^{1}\right\}$$,

$E^{3}=E^{1} \times E^{1} \times E^{1}=\left\{(x, y, z) | x, y, z \in E^{1}\right\},$

y así sucesivamente. $$E^{1}$$sí mismo es un caso especial de$$E^{n}(n=1).$$ De una manera familiar, los pares se$$(x, y)$$ pueden trazar como puntos del$$x y$$ -plano, o como “vectores” (segmentos de línea dirigidos) uniéndose$$(0,0)$$ a tales puntos. Por lo tanto, los$$(x, y)$$ propios pares se denominan puntos o vectores de manera$$E^{2} ;$$ similar para$$E^{3}$$.

$$\operatorname{In} E^{n}(n>3),$$no hay una representación geométrica real, pero es conveniente usar el lenguaje geométrico en este caso, también. Así, cualquier$$n$$ tupla ordenada$$\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$$ de números reales también se llamará punto o vector en$$E^{n},$$ y los números únicos$$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$$ se llamarán sus coordenadas o componentes. Un punto en a menudo$$E^{n}$$ se denota con una sola letra (preferiblemente con una barra o una flecha encima), y luego sus$$n$$ componentes se denotan con la misma letra, con subíndices (pero sin la barra o flecha). Por ejemplo,

$\overline{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \vec{u}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right), etc.;$

$$\overline{x}=(0,-1,2,4)$$es un punto (vector)$$E^{4}$$ con coordenadas$$0,-1,2,$$ y 4 (en este orden). La fórmula$$\overline{x} \in E^{n}$$ significa que$$\overline{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$$ es un punto (vector) en$$E^{n} .$$ ya que tales “puntos” están ordenados$$n$$ -tuplas,$$\overline{x}$$ y$$\overline{y}$$ son iguales$$(\overline{x}=\overline{y})$$ si las coordenadas correspondientes son las mismas, es decir,$$x_{1}=y_{1}, x_{2}=y_{2}$$$$\ldots, x_{n}=y_{n}$$ (ver Problema 1 a continuación).

El punto cuyas coordenadas son todas 0 se llama el$$z$$ ero-vector o el origen, denotado$$\overrightarrow{0}$$ o$$\overline{0} .$$ El vector cuyo$$k$$ th componente es$$1,$$ y los otros componentes son$$0,$$ se llama el$$k$$ th vector de unidad básica, denotado$$\vec{e}_{k} .$$ Hay exactamente $$n$$tales vectores,

$\vec{e}_{1}=(1,0,0, \ldots, 0), \vec{e}_{2}=(0,1,0, \ldots, 0), \ldots, \vec{e}_{n}=(0, \ldots, 0,1)$

En$$E^{3},$$ a menudo escribimos$$\overline{i}, \overline{j},$$ y$$\vec{k}$$ para$$\vec{e}_{1},$$ y$$(x, y, z)$$ para$$\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) .$$ Similarmente en$$E^{2} .$$ Single los números reales se llaman escalares (a diferencia de vectores).

## Definición

Dado$$\overline{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$$ y$$\overline{y}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$$ en$$E^{n},$$ definimos lo siguiente.

1. La suma de$$\overline{x}$$ y$$\overline{y}$$,

$\overline{x}+\overline{y}=\left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, \ldots, x_{n}+y_{n}\right) (\text{hence } \overline{x}+\overline{0}=\overline{x} ).$

2. El producto de punto, o producto interno, de$$\overline{x}$$ y$$\overline{y},$$

$\overline{x} \cdot \overline{y}=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\cdots+x_{n} y_{n}.$

3. La distancia entre$$\overline{x}$$ y$$\overline{y},$$

$\rho(\overline{x}, \overline{y})=\sqrt{\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-y_{n}\right)^{2}}.$

4. El valor absoluto, o longitud, de$$\overline{x},$$

$|\overline{x}|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}=\rho(\overline{x}, \overline{0})=\sqrt{\overline{x} \cdot \overline{x}}$

(tres fórmulas que son todas iguales por las Definiciones 2 y 3$$)$$.

5. La inversa de$$\overline{x},$$

$-\overline{x}=\left(-x_{1},-x_{2}, \dots,-x_{n}\right).$

6. El producto de$$\overline{x}$$ por un escalar$$c \in E^{1},$$

$c \overline{x}=\overline{x} c=\left(c x_{1}, c x_{2}, \dots, c x_{n}\right);$

en particular,$$(-1) \overline{x}=\left(-x_{1},-x_{2}, \dots,-x_{n}\right)=-\overline{x}, 1 \overline{x}=\overline{x},$$ y$$0 \overline{x}=\overline{0}$$.

7. La diferencia de$$\overline{x}$$ y$$\overline{y},$$

$\overline{x}-\overline{y}=\overrightarrow{y x}=\left(x_{1}-y_{1}, x_{2}-y_{2}, \dots, x_{n}-y_{n}\right).$

En particular,$$\overline{x}-\overline{0}=\overline{x}$$ y$$\overline{0}-\overline{x}=-\overline{x} .$$ (¡Verifica!)

Nota 1. Las definiciones$$2-4$$ producen escalares, mientras que el resto son vectores.

Nota 2. No definiremos desigualdades$$(<)$$$$E^{n}(n \geq 2),$$ ni definiremos productos vectoriales distintos del producto punto$$(2),$$ que es un escalar.

Nota 3. De las Definiciones 3, 4 y 7, obtenemos$$\rho(\overline{x}, \overline{y})=|\overline{x}-\overline{y}| .$$ (¡Verifica!)

Nota 4. A menudo escribimos$$\overline{x} / c$$ para$$(1 / c) \overline{x},$$ dónde$$c \in E^{1}, c \neq 0$$.

Nota 5. En$$E^{1}, \overline{x}=\left(x_{1}\right)=x_{1} .$$ Así, por Definición 4,

$|\overline{x}|=\sqrt{x_{1}^{2}}=\left|x_{1}\right|,$

donde$$\left|x_{1}\right|$$ se define como en el Capítulo 2, §§1, Definición 4. Así concuerdan las dos definiciones.

Llamamos a$$\overline{x}$$ un vector de unidad iff su longitud es$$1,$$ i.e.,$$|x|=1 .$$ Tenga en cuenta que si$$\overline{x} \neq \overline{0}$$, entonces$$\overline{x} / | \overline{x} /$$ es un vector de unidad, ya que

$\left|\frac{\overline{x}}{|\overline{x}|}\right|=\sqrt{\frac{x_{1}^{2}}{|\overline{x}|^{2}}+\cdots+\frac{x_{n}^{2}}{|\overline{x}|^{2}}}=1.$

Los vectores$$\overline{x}$$ y$$\overline{y}$$ se dice que son ortogonales o perpendiculares$$(\overline{x} \perp \overline{y})$$ iff$$\overline{x} \cdot \overline{y}=0$$ e$$\operatorname{parallel}(\overline{x} \| \overline{y})$$ iff$$\overline{x}=t \overline{y}$$ o$$\overline{y}=t \overline{x}$$ para algunos$$t \in E^{1} .$$ Tenga en cuenta que$$\overline{x} \perp \overline{0}$$ y$$\overline{x} \| \overline{0}$$.

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Si$$\overline{x}=(0,-1,4,2)$$ y$$\overline{y}=(2,2,-3,2)$$ son vectores en$$E^{4},$$ entonces

\begin{aligned} \overline{x}+\overline{y} &=(2,1,1,4); \\ \overline{x}-\overline{y} &=(-2,-3,7,0); \\ \rho(\overline{x}, \overline{y}) &=|\overline{x}-\overline{y}|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+7^{2}+0^{2}}=\sqrt{62}; \\(\overline{x}+\overline{y}) \cdot(\overline{x}-\overline{y}) &=2(-2)+1(-3)+7+0=0. \end{aligned}

$$\mathrm{So}(\overline{x}+\overline{y}) \perp(\overline{x}-\overline{y})$$aquí.

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Para cualquier vector$$\overline{x}, \overline{y},$$ y$$\overline{z} \in E^{n}$$ y cualquiera$$a, b \in E^{1},$$ que tengamos

a)$$\overline{x}+\overline{y}$$ y a$$\overline{x}$$ son vectores en$$E^{n}$$ (leyes de cierre);

b)$$\overline{x}+\overline{y}=\overline{y}+\overline{x}$$ (conmutatividad de la adición de vectores);

c)$$(\overline{x}+\overline{y})+\overline{z}=\overline{x}+(\overline{y}+\overline{z})$$ (asociatividad de la adición de vectores);

d)$$\overline{x}+\overline{0}=\overline{0}+\overline{x}=\overline{x},$$ es decir,$$\overline{0}$$ es el elemento neutro de adición;

(e)$$\overline{x}+(-\overline{x})=\overline{0},$$ es decir,$$-\overline{x}$$ es la inversa aditiva de$$\overline{x}$$;

f)$$a(\overline{x}+\overline{y})=a \overline{x}+a \overline{y}$$ y$$(a+b) \overline{x}=a \overline{x}+b \overline{x}$$ (leyes distributivas);

g)$$(a b) \overline{x}=a(b \overline{x})$$;

h)$$1 \overline{x}=\overline{x}$$.

Prueba

La aserción (a) es inmediata de las Definiciones 1 y$$6 .$$ El resto se deriva de las propiedades correspondientes de los números reales.

Por ejemplo, para probar (b), let$$\overline{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \overline{y}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right) .$$ Entonces por definición, tenemos

$\overline{x}+\overline{y}=\left(x_{1}+y_{1}, \dots, x_{n}+y_{n}\right) \text{ and } \overline{y}+\overline{x}=\left(y_{1}+x_{1}, \ldots, y_{n}+x_{n}\right).$

Los lados derechos en ambas expresiones, sin embargo, coinciden ya que la adición es conmutativa$$i n E^{1} .$$ Así$$\overline{x}+\overline{y}=\overline{y}+\overline{x},$$ como se afirma; de manera similar para el resto, que dejamos al lector. $$\square$$

## Teorema$$\PageIndex{2}$$

Si$$\overline{x}=\left(x_{1}, \dots, x_{n}\right)$$ es un vector en$$E^{n},$$ entonces, con$$\overline{e}_{k}$$ como arriba,

$\overline{x}=x_{1} \overline{e}_{1}+x_{2} \overline{e}_{2}+\cdots+x_{n} \overline{e}_{n}=\sum_{k=1}^{n} x_{k} \overline{e}_{k}.$

Por otra parte, si$$\overline{x}=\sum_{k=1}^{n} a_{k} \overline{e}_{k}$$ para algunos$$a_{k} \in E^{1},$$ entonces necesariamente$$a_{k}=x_{k}$$,$$k=1, \ldots, n$$.

Prueba

Por definición,

$\overline{e}_{1}=(1,0, \ldots, 0), \overline{e}_{2}=(0,1, \ldots, 0), \ldots, \overline{e}_{n}=(0,0, \ldots, 1).$

Así

$x_{1} \overline{e}_{1}=\left(x_{1}, 0, \ldots, 0\right), x_{2} \overline{e}_{2}=\left(0, x_{2}, \dots, 0\right), \ldots, x_{n} \overline{e}_{n}=\left(0,0, \ldots, x_{n}\right).$

Sumando componentwise, obtenemos

$\sum_{k=1}^{n} x_{k} \overline{e}_{k}=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\overline{x},$

como se afirma.

Además, si los$$x_{k}$$ son reemplazados por cualquier otro,$$a_{k} \in E^{1},$$ el mismo proceso rinde

$\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right)=\overline{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right),$

es decir, las dos$$n$$ -tuplas coinciden, de donde$$a_{k}=x_{k}, k=1, \ldots, n$$. $$\square$$

Nota 6. Cualquier suma de la forma

$\sum_{k=1}^{m} a_{k} \overline{x}_{k} \quad\left(a_{k} \in E^{1}, \overline{x}_{k} \in E^{n}\right)$

se llama una combinación lineal de los vectores$$\overline{x}_{k}$$ (cuyo número$$m$$ es arbitrario). Así, el Teorema 2 muestra que se$$a n y \overline{x} \in E^{n}$$ puede expresar, de una manera única, como una combinación lineal de los vectores unitarios$$n$$ básicos. En$$E^{3},$$ escribimos

$\overline{x}=x_{1} \overline{i}+x_{2} \overline{j}+x_{3} \overline{k}.$

Nota 7. Si, como anteriormente, algunos vectores están numerados (por ejemplo$$\overline{x}_{1}, \overline{x}_{2}, \ldots, \overline{x}_{m} )$$,, denotamos sus componentes uniendo un segundo subíndice; por ejemplo, los componentes de$$\overline{x}_{1}$$ son$$x_{11}, x_{12}, \ldots, x_{1 n}$$.

## Teorema$$\PageIndex{3}$$

Para cualquier vector$$\overline{x}, \overline{y},$$ y$$\overline{z} \in E^{n}$$ y cualquiera$$a, b \in E^{1},$$ que tengamos

a)$$\overline{x} \cdot \overline{x} \geq 0,$$ e$$\overline{x} \cdot \overline{x}>0$$ iff$$\overline{x} \neq \overline{0}$$;

b)$$(a \overline{x}) \cdot(b \overline{y})=(a b)(\overline{x} \cdot \overline{y})$$;

c)$$\overline{x} \cdot \overline{y}=\overline{y} \cdot \overline{x}$$ (conmutatividad de los productos internos);

d)$$(\overline{x}+\overline{y}) \cdot \overline{z}=\overline{x} \cdot \overline{z}+\overline{y} \cdot \overline{z}($$ distributivo$$\operatorname{law})$$.

Prueba

Para probar estas propiedades, expresar todo en términos de los componentes de$$\overline{x}$$,$$\overline{y},$$$$\overline{z},$$ y proceder como en el Teorema 1. $$\square$$

Obsérvese que (b) implica$$\overline{x} \cdot \overline{0}=0$$ (poner$$a=1, b=0 )$$.

## Teorema$$\PageIndex{4}$$

Para cualquier vector$$\overline{x}$$ y$$\overline{y} \in E^{n}$$ y cualquiera$$a \in E^{1},$$ tenemos las siguientes propiedades:

(a')$$|\overline{x}| \geq 0,$$ e$$|\overline{x}|>0$$ iff$$\overline{x} \neq \overline{0}$$.

(b')$$|a \overline{x}|=|a||\overline{x}|$$.

(c')$$|\overline{x} \cdot \overline{y}| \leq|\overline{x}||\overline{y}|,$$ o, en componentes,

$\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}\right)^{2} \leq\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}\right)\left(\sum_{k=1}^{n} y_{k}^{2}\right) \quad(\text{Cauchy-Schwarz inequality})$

Igualdad,$$|\overline{x} \cdot \overline{y}|=|\overline{x}||\overline{y}|,$$ sostiene iff$$\overline{x} \| \overline{y}$$.

(d')$$|\overline{x}+\overline{y}| \leq|\overline{x}|+|\overline{y}|$$ y$$| | \overline{x}|-| \overline{y}| | \leq|\overline{x}-\overline{y}|$$ (desigualdades triangulares).

Prueba

La propiedad (a') se desprende del Teorema 3$$(\mathrm{a})$$ desde

$|\overline{x}|^{2}=\overline{x} \cdot \overline{x}( \text{see Definition 4}).$

Para (b'), use Teorema$$3(\mathrm{b}),$$ para obtener

$(a \overline{x}) \cdot(a \overline{x})=a^{2}(\overline{x} \cdot \overline{x})=a^{2}|\overline{x}|^{2}.$

$$4,$$Sin embargo, por definición,

$(a \overline{x}) \cdot(a \overline{x})=|a \overline{x}|^{2}.$

Así

$|a \overline{x}|^{2}=a^{2}|x|^{2}$

para que$$|a \overline{x}|=|a||\overline{x}|,$$ como se reclame.

AHORA probamos (c'). Si$$\overline{x} \| \overline{y}$$ entonces$$\overline{x}=t \overline{y}$$ o$$\overline{y}=t \overline{x} ;$$ así$$|\overline{x} \cdot \overline{y}|=|\overline{x}||\overline{y}|$$ sigue por (b'). (¡Verifica!)

De lo contrario,$$\overline{x} \neq t \overline{y}$$ y$$\overline{y} \neq t \overline{x}$$ para todos$$t \in E^{1} .$$ Entonces obtenemos, para todos$$t \in E^{1}$$

$0 \neq|t \overline{x}-\overline{y}|^{2}=\sum_{k=1}^{n}\left(t x_{k}-y_{k}\right)^{2}=t^{2} \sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}-2 t \sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}+\sum_{k=1}^{n} y_{k}^{2}.$

Por lo tanto, establecer

$A=\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}, B=2 \sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}, \text{ and } C=\sum_{k=1}^{n} y_{k}^{2},$

$0=A t^{2}-B t+C$

tiene soluciones$$n o$$ reales en$$t,$$ lo que su discriminante,$$B^{2}-4 A C,$$ debe ser negativo; es decir,

$4\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}\right)^{2}-4\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}\right)\left(\sum_{k=1}^{n} y_{k}^{2}\right)<0,$

demostrando (c').

Para probar (d'), utilizar la Definición 2 y el Teorema 3 (d), para obtener

$|\overline{x}+\overline{y}|^{2}=(\overline{x}+\overline{y}) \cdot(\overline{x}+\overline{y})=\overline{x} \cdot \overline{x}+\overline{y} \cdot \overline{y}+2 \overline{x} \cdot \overline{y}=|\overline{x}|^{2}+|\overline{y}|^{2}+2 \overline{x} \cdot \overline{y}.$

Pero$$\overline{x} \cdot \overline{y} \leq|\overline{x}||\overline{y}|$$ por (c'). Así tenemos

$|\overline{x}+\overline{y}|^{2} \leq|\overline{x}|^{2}+|\overline{y}|^{2}+2|\overline{x}||\overline{y}|=(|\overline{x}|+|\overline{y}| |)^{2},$

de donde$$|\overline{x}+\overline{y}| \leq|\overline{x}|+|\overline{y}|,$$ según se requiera.

Por último, reemplazando aquí$$\overline{x}$$ por$$\overline{x}-\overline{y},$$ tenemos

$|\overline{x}-\overline{y}|+|\overline{y}| \geq|\overline{x}-\overline{y}+\overline{y}|=|\overline{x}|, \text{ or } |\overline{x}-\overline{y}| \geq|\overline{x}|-|\overline{y}|,$

Del mismo modo, reemplazando$$\overline{y}$$ por$$\overline{y}-\overline{x},$$ obtenemos$$|\overline{x}-\overline{y}|-|\overline{y}|-|\overline{x}| .$$ Por lo tanto

$|\overline{x}-\overline{y}| \geq \pm(|\overline{x}|-|\overline{y}|),$

es decir,$$|\overline{x}-\overline{y}| \geq| | \overline{x}|-| \overline{y}| |,$$ probar la segunda fórmula en (d'). $$square$$

## Teorema$$\PageIndex{5}$$

Para cualquier punto$$\overline{x}, \overline{y},$$ y$$\overline{z} \in E^{n},$$ tenemos

i)$$\rho(\overline{x}, \overline{y}) \geq 0,$$ e$$\rho(\overline{x}, \overline{y})=0$$ iff$$\overline{x}=\overline{y}$$;

ii)$$\rho(\overline{x}, \overline{y})=\rho(\overline{y}, \overline{x})$$;

iii) desigualdad$$\rho(\overline{x}, \overline{z}) \leq \rho(\overline{x}, \overline{y})+\rho(\overline{y}, \overline{z})($$ triangular$$)$$;

Prueba

(i) Por Definición 3 y Nota por$$3, \rho(\overline{x}, \overline{y})=|\overline{x}-\overline{y}| ;$$ lo tanto, por Teorema 4$$\left(\mathrm{a}^{\prime}\right)$$,$$\rho(\overline{x}, \overline{y})=|\overline{x}-\overline{y}| \geq 0$$.

También,$$|\overline{x}-\overline{y}|>0$$ iff$$\overline{x}-\overline{y} \neq 0,$$ es decir, iff$$\overline{x} \neq \overline{y} .$$ De ahí$$(\mathrm{i})$$ sigue$$\rho(\overline{x}, \overline{y}) \neq 0$$ iff$$\overline{x} \neq \overline{y},$$ y aserción.

(ii) Por Teorema$$4\left(\mathrm{b}^{\prime}\right),|\overline{x}-\overline{y}|=|(-1)(\overline{y}-\overline{x})|=|\overline{y}-\overline{x}|,$$ así (ii) sigue.

iii) Por teorema 4$$\left(\mathrm{d}^{\prime}\right)$$,

$$\rho(\overline{x}, \overline{y})+\rho(\overline{y}, \overline{z})=|\overline{x}-\overline{y}|+|\overline{y}-\overline{z}| \geq|\overline{x}-\overline{y}+\overline{y}-\overline{z}|=\rho(\overline{x}, \overline{z}) . \square$$

Nota 8. También tenemos$$|\rho(\overline{x}, \overline{y})-\rho(\overline{z}, \overline{y})| \leq \rho(\overline{x}, \overline{z}) .$$ (¡Demuébalo!) Las dos desigualdades triangulares tienen una interpretación geométrica simple (lo que explica su nombre). Si$$\overline{x}, \overline{y},$$ y$$\overline{z}$$ son tratados como los vértices de un triángulo, obtenemos que la longitud de un lado,$$\rho(\overline{x}, \overline{z})$$ nunca supera la suma de los otros dos lados y nunca es menor su diferencia.

Como$$E^{1}$$ es un caso especial de$$E^{n}$$ (en el que los “vectores” son números únicos), toda nuestra teoría$$E^{1}$$ también se aplica a ellos. En particular, las distancias en$$E^{1}$$ se definen$$\rho(x, y)=|x-y|$$ y obedecen las tres leyes del Teorema$$5 .$$ Dot productos en$$E^{1}$$ convertirse en productos ordinarios$$x y .$$ (¿Por qué?) De Teoremas$$4\left(\mathrm{b}^{\prime}\right)\left(\mathrm{d}^{\prime}\right),$$ tenemos

$|a||x|=|a x| ;|x+y| \leq|x|+|y| ;|x-y| \geq| | x|-| y| | \quad\left(a, x, y \in E^{1}\right).$

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