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# 3.2: Líneas y Planos en E

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Para obtener una línea en$$E^{2}$$ o$$E^{3}$$ pasando por dos puntos$$\overline{a}$$ y$$\overline{b},$$ tomamos el vector

$\vec{u}=\overrightarrow{a b}=\overline{b}-\overline{a}$

y, por así decirlo, “estirarlo” indefinidamente en ambas direcciones, es decir, multiplicar$$\vec{u}$$ por todos los escalares posibles$$t \in E^{1} .$$ Luego el conjunto de todos los puntos$$\overline{x}$$ de la forma

$\overline{x}=\overline{a}+t \vec{u}$

es la línea requerida. Es natural adoptar esto como una definición en$$E^{n}$$ también.

Abajo,$$\overline{a} \neq \overline{b}$$.

## Definición: ecuación paramétrica de la línea

La línea$$\overline{a b}$$ a través de los puntos$$\overline{a}, \overline{b} \in E^{n}$$ (también llamada la línea a través$$\overline{a},$$ en la dirección del vector$$\vec{u}=\overline{b}-\overline{a}$$) es el conjunto de todos los puntos$$\overline{x} \in E^{n}$$ de la forma

$\overline{x}=\overline{a}+t \vec{u}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a}),$

donde$$t$$ varía sobre$$E^{1} .$$ Llamamos a$$t$$ un parámetro real variable y$$\vec{u}$$ un vector de dirección para$$\overline{a b} .$$ Así

$\text{Line } \overline{a b}=\left\{\overline{x} \in E^{n} | \overline{x}=\overline{a}+t \vec{u} \text{ for some } t \in E^{1}\right\}, \quad \vec{u}=\overline{b}-\overline{a} \neq \overline{0}.$

La fórmula

$\overline{x}=\overline{a}+t \vec{u}, \text{ or } \overline{x}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a}),$

se llama la ecuación paramétrica de la línea. (Decimos brevemente “la línea$$\overline{x}=\overline{a}+t \vec{u} . "$$) Es equivalente a ecuaciones$$n$$ simultáneas en términos de coordenadas, a saber,

$x_{k}=a_{k}+t u_{k}=a_{k}+t\left(b_{k}-a_{k}\right), \quad k=1,2, \ldots, n.$

Nota 1. Como el vector de todos modos se$$\vec{u}$$ está multiplicando por todos los números reales$$t$$, la línea (como un conjunto de puntos) no cambiará si$$\vec{u}$$ se sustituye por algunos$$c \vec{u}\left(c \in E^{1}\right,$$$$c \neq 0 ) .$$ En particular, tomando$$c=1 /|\vec{u}|,$$ podemos reemplazar$$\vec{u}$$ por vector$$\vec{u} /|\vec{u}|, \quad a$$ unitario. $$.$$También podemos suponer que$$\vec{u}$$ es un vector unitario en sí mismo.

Si dejamos$$t$$ variar no sobre todos$$E^{\perp}$$ sino solo sobre algún intervalo en$$E^{\perp},$$ obtenemos lo que se llama un segmento de línea. En particular, definimos el segmento de línea abierta,$$L(\overline{a}, \overline{b}),$$ el segmento de línea cerrado,$$L[\overline{a}, \overline{b}],$$ el segmento de línea medio abierto$$L(\overline{a}, \overline{b}],$$ y el segmento de línea semicerrado$$L[\overline{a}, \overline{b}),$$ como lo hicimos para$$E^{1}$$.

## Definición: puntos finales del segmento

Dado$$\vec{u}=\overline{b}-\overline{a},$$ nos fijamos

\begin{aligned} \text { (i) } L(\overline{a}, \overline{b})=\{\overline{a}+t \vec{u} | 0<t<1\} ; & \quad \text { (ii) } L[\overline{a}, \overline{b}]=\{\overline{a}+t \vec{u} | 0 \leq t \leq 1\} \\ \text { (iii) } L(\overline{a}, \overline{b}]=\{\overline{a}+t \vec{u} | 0<t \leq 1\} ; & \quad \text { (iv) } L[\overline{a}, \overline{b})=\{\overline{a}+t \vec{u} | 0 \leq t<1\} \end{aligned}

En todos los casos,$$\overline{a}$$ y se$$\overline{b}$$ denominan los puntos finales del segmento;$$\rho(\overline{a}, \overline{b})=|\overline{b}-\overline{a}|$$ es su longitud; y$$\frac{1}{2}(\overline{a}+\overline{b})$$ es su punto medio.

Tenga en cuenta que en los segmentos de$$E^{1},$$ línea simplemente se convierten en intervalos,$$(a, b),[a, b],$$ etc.

Para describir un plano en$$E^{3},$$ fijamos uno de sus puntos,$$\overline{a},$$ y un vector$$\vec{u}=\overrightarrow{a b}$$ perpendicular al plano (imagínese un lápiz vertical parado$$\overline{a}$$ en el plano horizontal de la mesa). Entonces un punto$$\overline{x}$$ yace en el avión iff$$\vec{u} \perp \overrightarrow{a x}$$. Es natural aceptar esto como una definición en$$E^{n}$$ también.

## Definición: plane

Dado un punto$$\overline{a} \in E^{n}$$ y un vector$$u \neq \overrightarrow{0},$$ definimos el plano (también llamado hiperplano si$$n>3$$) a través$$\overline{a}$$, ortogonal$$\vec{u},$$ para ser el conjunto de todos los$$\overline{x} \in E^{n}$$ tales que$$\vec{u} \perp \overrightarrow{a x},$$ es decir,$$\vec{u} \cdot(\overline{x}-\overline{a})=0,$$ o, en términos de componentes,

$\sum_{k=1}^{n} u_{k}\left(x_{k}-a_{k}\right)=0,\text{ where } \vec{u} \neq \overrightarrow{0}\text{ (i.e., not all values } \ u_{k}\text{ are 0). }$

Decimos brevemente

$\text{ "the plane } \vec{u} \cdot(\overline{x}-\overline{a})=0\text{" or "the plane } \sum_{k=1}^{n} u_{k}\left(x_{k}-a_{k}\right)=0\text{"}$

(siendo esta la ecuación del plano). Retirando los soportes en (3), tenemos

$u_{1} x_{2}+u_{2} x_{2}+\cdots+u_{n} x_{n}=c,\text{ or } \vec{u} \cdot \overline{x}=c,\text{ where } c=\sum_{k-1}^{n} u_{k} a_{k}, \vec{u} \neq \overrightarrow{0}.$

Se dice que una ecuación de esta forma es lineal en$$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}.$$

## Teorema$$\PageIndex{1}$$

Un conjunto$$A \subseteq E^{n}$$ es un plano (hiperplano) iff$$A$$ es exactamente el conjunto de todos$$\overline{x} \in E^{n}$$ satisfactorios$$(4)$$ para algunos fijos$$c \in E^{1}$$ y$$\vec{u}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \neq \overline{0}.$$

Prueba

Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará De hecho, como vimos anteriormente, cada plano tiene una ecuación de la forma (4).

Por el contrario, cualquier ecuación de esa forma (con, digamos,$$u_{1} \neq 0 )$$ puede escribirse como

$u_{1}\left(x_{1}-\frac{c}{u_{1}}\right)+u_{2} x_{2}+u_{3} x_{3}+\cdots+u_{n} x_{n}=0.$

Entonces, fijando$$a_{1}=c / u_{1}$$ y$$a_{k}=0$$ para lo$$k \geq 2,$$ transformamos en el$$(3),$$ que es, por definición, la ecuación de un plano a través de$$\overline{a}=\left(c / u_{1}, 0, \ldots, 0\right),$$ ortogonal a$$u=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right). \square$$

Así, brevemente, los planos son exactamente todos los conjuntos con ecuaciones lineales (4). En este sentido, a la ecuación (4) se le llama la ecuación general de un plano. $$\vec{u}$$Se dice que el vector es normal al plano. Claramente, si ambos lados de (4) se multiplican por un escalar distinto de cero se obtiene$$q,$$ una ecuación equivalente (que representa el mismo conjunto). Así podemos sustituir$$u_{k}$$ por$$q u_{k},$$ i.e.,$$\vec{u}$$ por$$q \vec{u},$$ sin afectar al plano. En particular, podemos sustituir$$\vec{u}$$ por el vector unitario$$\vec{u} /|\vec{u}|,$$ ya que en líneas se llama la normalización de la ecuación). Así

$\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} \cdot(\overline{x}-\overline{a})=0$

y

$\overline{x}=\overline{a}+t \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}$

son las ecuaciones normalizadas (o normales) del plano (3) y la línea (1), respectivamente.

Nota 2. La ecuación$$x_{k}=c$$ (para un fijo$$k )$$ representa un plano ortogonal al vector unitario básico$$\vec{e}_{k}$$ o, como diremos, al eje késimo. La ecuación resulta de (4) si tomamos de$$\vec{u}=\vec{e}_{k}$$ manera que$$u_{k}=1,$$ mientras$$u_{i}=0$$$$(i \neq k).$$ Por ejemplo,$$x_{1}=c$$ es la ecuación de un plano ortogonal a$$\vec{e}_{1} ;$$ él consiste en todos$$\overline{x} \in E^{n},$$ con$$x_{1}=c$$ (mientras que las otras coordenadas de$$\overline{x}$$ son arbitrarias $$) .$$En$$E^{2},$$ ella hay una línea. En$$E^{1},$$ ella consiste$$c$$ solo.

Se dice que dos planos (respectivamente, dos líneas) son perpendiculares entre sí si sus vectores normales (respectivamente, vectores de dirección) son ortogonales; de manera similar para el paralelismo. Se dice que un plano$$\vec{u} \cdot \overline{x}=c$$ es perpendicular a una línea$$\overline{x}=\overline{a}+t \vec{v}$$ si$$\vec{u} \| \vec{v} ;$$ la línea y el plano son paralelos iff$$\vec{u} \perp \vec{v}$$.

Nota 3. Al normalizar, como en (5) o (6), en realidad tenemos dos opciones de un vector unitario, a saber,$$\pm \vec{u} /|\vec{u}| .$$ Si se prescribe una de ellas, hablamos de un plano dirigido (respectivamente, línea).

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

(a) Let$$\overline{a}=(0,-1,2), \overline{b}=(1,1,1),$$ y$$\overline{c}=(3,1,-1)$$ in$$E^{3} .$$ Entonces la línea$$\overline{a b}$$ tiene la ecuación paramétrica$$\overline{x}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a})$$ o, en coordenadas, escribiendo$$x, y, z$$ para$$x_{1}, x_{2}, x_{3},$$

$x=0+t(1-0)=t, y=-1+2 t, z=2-t.$

Esto puede ser reescrito

$t=\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-1},$

donde$$\vec{u}=(1,2,-1)$$ está el vector de dirección (compuesto por los denominadores. Normalizando y bajando$$t,$$ tenemos

$\frac{x}{1 / \sqrt{6}}=\frac{y+1}{2 / \sqrt{6}}=\frac{z-2}{-1 / \sqrt{6}}$

(la llamada forma simétrica de las ecuaciones normales).

De igual manera, para la línea$$\overline{b c},$$ obtenemos

$t=\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{0}=\frac{z-1}{-2},$

donde "$$t=(y-1) / 0$$" significa "”$$y-1=0$$.” (Es costumbre usar esta notación.)

(b) Dejar$$\overline{a}=(1,-2,0,3)$$ y$$\vec{u}=(1,1,1,1)$$ en$$E^{4} .$$ Entonces el plano normal a$$\vec{u}$$ través$$\overline{a}$$ tiene la ecuación$$(\overline{x}-\overline{a}) \cdot \vec{u}=0,$$ o

$\left(x_{1}-1\right) \cdot 1+\left(x_{2}+2\right) \cdot 1+\left(x_{3}-0\right) \cdot 1+\left(x_{4}-3\right) \cdot 1=0,$

u$$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=2 .$$ Observe que, por la fórmula (4), los coeficientes de$$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$$ son los componentes del vector normal$$\vec{u}$$ (aquí$$(1,1,1,1) ).$$

Ahora defina una$$f : E^{4} \rightarrow E^{1}$$ configuración de mapa$$f(\overline{x})=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}$$ (el lado izquierdo de la ecuación). Este mapa se llama el funcional lineal correspondiente al plano dado. (Para otro enfoque, ver Problemas 4-6 a continuación.)

(c) La ecuación$$x+3 y-2 z=1$$ representa un plano en$$E^{3},$$ con$$\vec{u}=(1,3,-2)$$. El punto$$\overline{a}=(1,0,0)$$ está en el avión (¿por qué?) , por lo que la ecuación del plano puede escribirse$$(\overline{x}-\overline{a}) \cdot \vec{u}=0$$ o$$\overline{x} \cdot \vec{u}=1,$$ donde$$\overline{x}=(x, y, z)$$$$\overline{a}$$ y y$$\vec{u}$$ son como arriba.

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