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3.2: Líneas y Planos en E

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    113874
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Para obtener una línea en\(E^{2}\) o\(E^{3}\) pasando por dos puntos\(\overline{a}\) y\(\overline{b},\) tomamos el vector

    \[\vec{u}=\overrightarrow{a b}=\overline{b}-\overline{a}\]

    y, por así decirlo, “estirarlo” indefinidamente en ambas direcciones, es decir, multiplicar\(\vec{u}\) por todos los escalares posibles\(t \in E^{1} .\) Luego el conjunto de todos los puntos\(\overline{x}\) de la forma

    \[\overline{x}=\overline{a}+t \vec{u}\]

    es la línea requerida. Es natural adoptar esto como una definición en\(E^{n}\) también.

    Abajo,\(\overline{a} \neq \overline{b}\).

    Definición: ecuación paramétrica de la línea

    La línea\(\overline{a b}\) a través de los puntos\(\overline{a}, \overline{b} \in E^{n}\) (también llamada la línea a través\(\overline{a},\) en la dirección del vector\(\vec{u}=\overline{b}-\overline{a}\)) es el conjunto de todos los puntos\(\overline{x} \in E^{n}\) de la forma

    \[\overline{x}=\overline{a}+t \vec{u}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a}),\]

    donde\(t\) varía sobre\(E^{1} .\) Llamamos a\(t\) un parámetro real variable y\(\vec{u}\) un vector de dirección para\(\overline{a b} .\) Así

    \[ \text{Line } \overline{a b}=\left\{\overline{x} \in E^{n} | \overline{x}=\overline{a}+t \vec{u} \text{ for some } t \in E^{1}\right\}, \quad \vec{u}=\overline{b}-\overline{a} \neq \overline{0}.\]

    La fórmula

    \[\overline{x}=\overline{a}+t \vec{u}, \text{ or } \overline{x}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a}),\]

    se llama la ecuación paramétrica de la línea. (Decimos brevemente “la línea\(\overline{x}=\overline{a}+t \vec{u} . "\)) Es equivalente a ecuaciones\(n\) simultáneas en términos de coordenadas, a saber,

    \[x_{k}=a_{k}+t u_{k}=a_{k}+t\left(b_{k}-a_{k}\right), \quad k=1,2, \ldots, n.\]

    Nota 1. Como el vector de todos modos se\(\vec{u}\) está multiplicando por todos los números reales\(t\), la línea (como un conjunto de puntos) no cambiará si\(\vec{u}\) se sustituye por algunos\(c \vec{u}\left(c \in E^{1}\right,\)\(c \neq 0 ) .\) En particular, tomando\(c=1 /|\vec{u}|,\) podemos reemplazar\(\vec{u}\) por vector\(\vec{u} /|\vec{u}|, \quad a\) unitario. \(.\)También podemos suponer que\(\vec{u}\) es un vector unitario en sí mismo.

    Si dejamos\(t\) variar no sobre todos\(E^{\perp}\) sino solo sobre algún intervalo en\(E^{\perp},\) obtenemos lo que se llama un segmento de línea. En particular, definimos el segmento de línea abierta,\(L(\overline{a}, \overline{b}),\) el segmento de línea cerrado,\(L[\overline{a}, \overline{b}],\) el segmento de línea medio abierto\(L(\overline{a}, \overline{b}],\) y el segmento de línea semicerrado\(L[\overline{a}, \overline{b}),\) como lo hicimos para\(E^{1}\).

    Definición: puntos finales del segmento

    Dado\(\vec{u}=\overline{b}-\overline{a},\) nos fijamos

    \[\begin{aligned} \text { (i) } L(\overline{a}, \overline{b})=\{\overline{a}+t \vec{u} | 0<t<1\} ; & \quad \text { (ii) } L[\overline{a}, \overline{b}]=\{\overline{a}+t \vec{u} | 0 \leq t \leq 1\} \\ \text { (iii) } L(\overline{a}, \overline{b}]=\{\overline{a}+t \vec{u} | 0<t \leq 1\} ; & \quad \text { (iv) } L[\overline{a}, \overline{b})=\{\overline{a}+t \vec{u} | 0 \leq t<1\} \end{aligned}\]

    En todos los casos,\(\overline{a}\) y se\(\overline{b}\) denominan los puntos finales del segmento;\(\rho(\overline{a}, \overline{b})=|\overline{b}-\overline{a}|\) es su longitud; y\(\frac{1}{2}(\overline{a}+\overline{b})\) es su punto medio.

    Tenga en cuenta que en los segmentos de\(E^{1},\) línea simplemente se convierten en intervalos,\((a, b),[a, b],\) etc.

    Para describir un plano en\(E^{3},\) fijamos uno de sus puntos,\(\overline{a},\) y un vector\(\vec{u}=\overrightarrow{a b}\) perpendicular al plano (imagínese un lápiz vertical parado\(\overline{a}\) en el plano horizontal de la mesa). Entonces un punto\(\overline{x}\) yace en el avión iff\(\vec{u} \perp \overrightarrow{a x}\). Es natural aceptar esto como una definición en\(E^{n}\) también.

    Definición: plane

    Dado un punto\(\overline{a} \in E^{n}\) y un vector\(u \neq \overrightarrow{0},\) definimos el plano (también llamado hiperplano si\(n>3\)) a través\(\overline{a}\), ortogonal\(\vec{u},\) para ser el conjunto de todos los\(\overline{x} \in E^{n}\) tales que\(\vec{u} \perp \overrightarrow{a x},\) es decir,\(\vec{u} \cdot(\overline{x}-\overline{a})=0,\) o, en términos de componentes,

    \[\sum_{k=1}^{n} u_{k}\left(x_{k}-a_{k}\right)=0,\text{ where } \vec{u} \neq \overrightarrow{0}\text{ (i.e., not all values } \ u_{k}\text{ are 0). }\]

    Decimos brevemente

    \[\text{ "the plane } \vec{u} \cdot(\overline{x}-\overline{a})=0\text{" or "the plane } \sum_{k=1}^{n} u_{k}\left(x_{k}-a_{k}\right)=0\text{"}\]

    (siendo esta la ecuación del plano). Retirando los soportes en (3), tenemos

    \[u_{1} x_{2}+u_{2} x_{2}+\cdots+u_{n} x_{n}=c,\text{ or } \vec{u} \cdot \overline{x}=c,\text{ where } c=\sum_{k-1}^{n} u_{k} a_{k}, \vec{u} \neq \overrightarrow{0}.\]

    Se dice que una ecuación de esta forma es lineal en\(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}.\)

    Teorema\(\PageIndex{1}\)

    Un conjunto\(A \subseteq E^{n}\) es un plano (hiperplano) iff\(A\) es exactamente el conjunto de todos\(\overline{x} \in E^{n}\) satisfactorios\((4)\) para algunos fijos\(c \in E^{1}\) y\(\vec{u}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) \neq \overline{0}.\)

    Prueba

    Agrega prueba aquí y automáticamente se ocultará De hecho, como vimos anteriormente, cada plano tiene una ecuación de la forma (4).

    Por el contrario, cualquier ecuación de esa forma (con, digamos,\(u_{1} \neq 0 )\) puede escribirse como

    \[u_{1}\left(x_{1}-\frac{c}{u_{1}}\right)+u_{2} x_{2}+u_{3} x_{3}+\cdots+u_{n} x_{n}=0.\]

    Entonces, fijando\(a_{1}=c / u_{1}\) y\(a_{k}=0\) para lo\(k \geq 2,\) transformamos en el\((3),\) que es, por definición, la ecuación de un plano a través de\(\overline{a}=\left(c / u_{1}, 0, \ldots, 0\right),\) ortogonal a\(u=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right). \square\)

    Así, brevemente, los planos son exactamente todos los conjuntos con ecuaciones lineales (4). En este sentido, a la ecuación (4) se le llama la ecuación general de un plano. \(\vec{u}\)Se dice que el vector es normal al plano. Claramente, si ambos lados de (4) se multiplican por un escalar distinto de cero se obtiene\(q,\) una ecuación equivalente (que representa el mismo conjunto). Así podemos sustituir\(u_{k}\) por\(q u_{k},\) i.e.,\(\vec{u}\) por\(q \vec{u},\) sin afectar al plano. En particular, podemos sustituir\(\vec{u}\) por el vector unitario\(\vec{u} /|\vec{u}|,\) ya que en líneas se llama la normalización de la ecuación). Así

    \[\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} \cdot(\overline{x}-\overline{a})=0\]

    y

    \[\overline{x}=\overline{a}+t \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}\]

    son las ecuaciones normalizadas (o normales) del plano (3) y la línea (1), respectivamente.

    Nota 2. La ecuación\(x_{k}=c\) (para un fijo\(k )\) representa un plano ortogonal al vector unitario básico\(\vec{e}_{k}\) o, como diremos, al eje késimo. La ecuación resulta de (4) si tomamos de\(\vec{u}=\vec{e}_{k}\) manera que\(u_{k}=1,\) mientras\(u_{i}=0\)\((i \neq k). \) Por ejemplo,\(x_{1}=c\) es la ecuación de un plano ortogonal a\(\vec{e}_{1} ;\) él consiste en todos\(\overline{x} \in E^{n},\) con\(x_{1}=c\) (mientras que las otras coordenadas de\(\overline{x}\) son arbitrarias \() .\)En\(E^{2},\) ella hay una línea. En\(E^{1},\) ella consiste\(c\) solo.

    Se dice que dos planos (respectivamente, dos líneas) son perpendiculares entre sí si sus vectores normales (respectivamente, vectores de dirección) son ortogonales; de manera similar para el paralelismo. Se dice que un plano\(\vec{u} \cdot \overline{x}=c\) es perpendicular a una línea\(\overline{x}=\overline{a}+t \vec{v}\) si\(\vec{u} \| \vec{v} ;\) la línea y el plano son paralelos iff\(\vec{u} \perp \vec{v}\).

    Nota 3. Al normalizar, como en (5) o (6), en realidad tenemos dos opciones de un vector unitario, a saber,\(\pm \vec{u} /|\vec{u}| .\) Si se prescribe una de ellas, hablamos de un plano dirigido (respectivamente, línea).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    (a) Let\(\overline{a}=(0,-1,2), \overline{b}=(1,1,1),\) y\(\overline{c}=(3,1,-1)\) in\(E^{3} .\) Entonces la línea\(\overline{a b}\) tiene la ecuación paramétrica\(\overline{x}=\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a})\) o, en coordenadas, escribiendo\(x, y, z\) para\(x_{1}, x_{2}, x_{3},\)

    \[x=0+t(1-0)=t, y=-1+2 t, z=2-t.\]

    Esto puede ser reescrito

    \[t=\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{-1},\]

    donde\(\vec{u}=(1,2,-1)\) está el vector de dirección (compuesto por los denominadores. Normalizando y bajando\(t,\) tenemos

    \[\frac{x}{1 / \sqrt{6}}=\frac{y+1}{2 / \sqrt{6}}=\frac{z-2}{-1 / \sqrt{6}}\]

    (la llamada forma simétrica de las ecuaciones normales).

    De igual manera, para la línea\(\overline{b c},\) obtenemos

    \[t=\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{0}=\frac{z-1}{-2},\]

    donde "\(t=(y-1) / 0\)" significa "”\( y-1=0\).” (Es costumbre usar esta notación.)

    (b) Dejar\(\overline{a}=(1,-2,0,3)\) y\(\vec{u}=(1,1,1,1)\) en\(E^{4} .\) Entonces el plano normal a\(\vec{u}\) través\(\overline{a}\) tiene la ecuación\((\overline{x}-\overline{a}) \cdot \vec{u}=0,\) o

    \[\left(x_{1}-1\right) \cdot 1+\left(x_{2}+2\right) \cdot 1+\left(x_{3}-0\right) \cdot 1+\left(x_{4}-3\right) \cdot 1=0,\]

    u\(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=2 .\) Observe que, por la fórmula (4), los coeficientes de\(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\) son los componentes del vector normal\(\vec{u}\) (aquí\((1,1,1,1) ).\)

    Ahora defina una\(f : E^{4} \rightarrow E^{1}\) configuración de mapa\(f(\overline{x})=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\) (el lado izquierdo de la ecuación). Este mapa se llama el funcional lineal correspondiente al plano dado. (Para otro enfoque, ver Problemas 4-6 a continuación.)

    (c) La ecuación\(x+3 y-2 z=1\) representa un plano en\(E^{3},\) con\(\vec{u}=(1,3,-2)\). El punto\(\overline{a}=(1,0,0)\) está en el avión (¿por qué?) , por lo que la ecuación del plano puede escribirse\((\overline{x}-\overline{a}) \cdot \vec{u}=0\) o\(\overline{x} \cdot \vec{u}=1,\) donde\(\overline{x}=(x, y, z)\)\(\overline{a}\) y y\(\vec{u}\) son como arriba.


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