3.2.E: Problemas en Líneas y Planos en\(E^{n}\) (Exercises)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dejar\(\overline{a}=(-1,2,0,-7), \overline{b}=(0,0,-1,2),\) y\(\overline{c}=(2,4,-3,-3)\) ser puntos en\(E^{4} .\) Encuentra las ecuaciones normales simétricas (ver Ejemplo\((\mathrm{a}) )\) de las líneas\(\overline{a b}, \overline{b c},\) y\(\overline{c a} .\) ¿Son dos de las líneas perpendiculares? ¿Paralelo? En la línea\(\overline{a b}\), encuentra algunos puntos dentro\(L(\overline{a}, \overline{b})\) y algunos afuera\(L[\overline{a}, \overline{b}]\). Además, encuentra las ecuaciones simétricas de la línea a través de\(\overline{c}\) que es

\ [\ text {(i) paralela a}\ overline {a b};\ quad\ text {(ii) perpendicular a}\ overline {a b}.
\]

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Con\(\overline{a}\) y\(\overline{b}\) como en Problema\(1,\) encontrar las ecuaciones de los dos planos que trisecan, y son perpendiculares a, el segmento de línea\(L[\overline{a}, \overline{b}] .\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Dada una línea\(\overline{x}=\overline{a}+t \vec{u}(\vec{u}=\overline{b}-\overline{a} \neq \overrightarrow{0})\) en\(E^{n},\) define\(f : E^{1} \rightarrow E^{n}\) por
\ [
f (t) =\ overline {a} +t\ vec {u}\ text {for} t\ in E^ {1}.
\]
Mostrar que\(L[\overline{a}, \overline{b}]\) es exactamente la\(f\) -imagen del intervalo\([0,1]\) en\(E^{1},\) con\(f(0)=a\) y\(f(1)=b,\) while\(f\left[E^{1}\right]\) es la línea completa. Demuestre también que\(f\) es uno a uno.
\(\left[\text { Hint: } t \neq t^{\prime} \text { implies }\left|f(t)-f\left(t^{\prime}\right)\right| \neq 0 . \text { Why? }\right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Un mapa\(f : E^{n} \rightarrow E^{1}\) se llama funcional lineal iff
\ [
\ left (\ forall\ overline {x},\ overline {y}\ en E^ {n}\ right)\ left (\ forall a, b\ in E^ {1}\ right)\ quad f (a\ overline {x} +b\ overline {y}) =a f (\ overline {x}) +b f (\ overline {y}).
\]
Mostrar por inducción que\(f\) conserva combinaciones lineales; es decir,
\ [
f\ left (\ sum_ {k=1} ^ {m} a_ {k}\ overline {x} _ {k}\ derecha) =\ sum_ {k=1} ^ {m} a_ {k} f\ left (\ overline {x} _ _ {k}\ right)
\]
para cualquiera\(a_{k} \in E^{1}\) y \(\overline{x}_{k} \in E^{n}\).

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Del Problema 4 probar que un mapa\(f : E^{n} \rightarrow E^{1}\) es un iff funcional lineal hay\(\vec{u} \in E^{n}\) tal que
\ [
(\ forall\ overline {x}\ in E^ {n}) f (\ overline {x}) =\ vec {u}\ cdot\ overline {x} (“\ text {teorema de representación}”).
\]
[Pista: Si\(f\) es un funcional lineal, escriba cada uno\(\overline{x} \in E^{n}\) como\ (\ overline {x} =\ sum_ {k=1} ^ {n} x_ {k}\ overline {e} _ _ {k} (§§1-3, Teorema 2). Entonces
\ [
f (\ overline {x}) =f\ izquierda (\ suma_ {k=1} ^ {m} x_ {k}\ overline {e} _ {k}\ derecha) =\ suma_ {k=1} ^ {n} x_ {k} f\ izquierda (\ overline {e} _ _ {k}\ derecha).
\]
Configuración\(u_{k}=f\left(\overline{e}_{k}\right) \in E^{1}\) y\(\vec{u}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right),\) obtención\(f(\overline{x})=\vec{u} \cdot \overline{x},\) según sea necesario. Para lo contrario, use el Teorema 3 en §§1-3.]

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Demostrar que un conjunto\(A \subseteq E^{n}\) es un plano si hay un lineal funcional\(f\) (Problema\(4 ),\) no idénticamente cero, y algunos\(c \in E^{1}\) tales que
\ [
A=\ left\ {\ overline {x}\ in E^ {n} | f (\ overline {x}) =c\ right\}.
\]
(Esto podría servir como definición de planos en\(E^{n} . )\)
[Pista:\(A\) es un plano iff\(A=\{\overline{x} | \vec{u} \cdot \overline{x}=c\} .\) Poner\(f(\overline{x})=\vec{u} \cdot \overline{x}\) y usar Problema\(5 .\) Mostrar que\(f \neq 0\) iff\(\vec{u} \neq \overrightarrow{0}\) por Problema 10 de §§1-3.]

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Demostrar que la distancia perpendicular de un punto\(\overline{p}\) a un plano\(\vec{u} \cdot \overline{x}=c\) en\(E^{n}\) es

\ [\ rho\ izquierda (\ overline {p},\ overline {x} _ {0}\ derecha) =\ frac {|\ vec {u}\ cdot\ overline {p} -c|} {|\ vec {u} |}.
\]
\(\left(\overline{x}_{0} \text { is the orthogonal projection of } \overline{p}, \text { i.e., the point on the plane such }\right.\) que\(\overrightarrow{p x_{0}} \| \vec{u} . )\)
[Pista: Poner\(\vec{v}=\vec{u} /|\vec{u}| .\) Considera la línea\(\overline{x}=\overline{p}+t \vec{v} .\) Find\(t\) para la que\(\overline{p}+t \vec{v}\) se encuentra tanto en la línea como en el plano. Encuentra\(|t| . ]\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Un globo (esfera sólida) adentro\(E^{n},\) con centro\(\overline{p}\) y radio\(\varepsilon>0,\) es el conjunto\(\{\overline{x} | \rho(\overline{x}, \overline{p})<\varepsilon\},\) denotado\(G_{\overline{p}}(\varepsilon) .\) Probarlo si\(\overline{a}, \overline{b} \in G_{\overline{p}}(\varepsilon),\) entonces también lo\(L[\overline{a}, \overline{b}] \subseteq G_{\tilde{p}}(\varepsilon) .\) desacredita para la esfera\(S_{\overline{p}}(\varepsilon)=\{\overline{x} | \rho(\overline{x}, \overline{p})=\varepsilon\}\). [Pista: Tome una línea a través\(\overline{p} . ]\)