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3.3.E: Problemas en Intervalos en E( Ejercicios)

  • Page ID
    113943
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    ( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

    \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)

    \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)

    \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)

    \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)

    \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)

    \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)

    \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}}      % arrow\)

    \( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)

    \( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)

    \( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)

    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)

    \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)

    (Aquí\(A\) y\(B\) denotar intervalos.)

    Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

    Demostrar Corolarios 1-3.

    Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

    Demostrar que si\(A \subseteq B,\) entonces\(d A \leq d B\) y\(v A \leq v B\).

    Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

    Dar una definición apropiada de un “rostro” y un “vértice” de\(A\).

    Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

    Encuentra las longitudes de borde de\(A=(\overline{a}, \overline{b})\) in\(E^{4}\) if
    \ [
    \ overline {a} =( 1, -2,4,0)\ text {y}\ overline {b} =( 2,0,5,3).
    \]
    ¿Es\(A\) un cubo? Encuentra algunos puntos racionales en él. Encontrar\(d A\) y\(v A\).

    Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

    Demostrar que los conjuntos\(P\) y\(Q\) como se define en la nota 1 son intervalos, efectivamente. En particular, se pueden hacer semiabiertos (medio cerrados) si\(A\) están medio abiertos (medio cerrados).
    \([\text { Hint: Let } A=(\overline{a}, \overline{b}]\),
    \ [
    P=\ left\ {\ overline {x}\ in A | x_ {k}\ leq c\ right\},\ text {y} Q=\ left\ {\ overline {x}\ in A | x_ {k} >c\ right\}.
    \]
    Para arreglar ideas, vamos\(k=1,\) i.e., cortar el primer borde. Entonces vamos
    \ [
    \ overline {p} =\ left (c, a_ {2},\ ldots, a_ {n}\ right)\ text {and}\ overline {q} =\ left (c, b_ {2},\ ldots, b_ {n}\ right)\ text {(ver Figura} 2),
    \]
    y verificar eso\(P=(\overline{a}, \overline{q}]\) y\(Q=(\overline{p}, \overline{b}] .\) Dar una prueba. \(]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

    En Problema\(5,\) asumir que\(A\) está cerrado, y hacer\(Q\) cerrado. (¡Demuéstralo!)

    Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

    En Problema 5 muestran que\((\text { with } k \text { fixed })\) las longitudes de borde\(k\) th de\(P\) e\(Q\) iguales\(c-a_{k}\) y\(b_{k}-c,\) respectivamente, mientras que para\(i \neq k\) la longitud del borde\(\ell_{i}\) es la misma en\(A, P,\) y es\(Q,\) decir,,\(\ell_{i}=b_{i}-a_{i}\).
    [Pista: Si\(k=1,\) define\(\overline{p}\) y\(\overline{q}\) como en Problema\(5 . ]\)

    Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

    Demostrar que si un intervalo\(A\) se divide en subintervalos\(P\) y\(Q(P \cap Q=\emptyset)\), luego\(v A=v P+v Q .\)
    [Pista: Use Problema 7 para calcular\(v A, v P,\) y\(v Q .\) Sumar. \(]\)
    Dé un ejemplo. (Toma\(A\) como en el Problema 4 y divídalo por el avión\(x_{4}=1 . )\)

    Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

    *9. Demostrar la aditividad del volumen de intervalos,\(A\) es decir, si se subdivide, de cualquier manera, en subintervalos\(m\) mutuamente disjuntos\(A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m}\)\(i n E^{n},\) entonces
    \ [
    v A=\ sum_ {i=1} ^ {m} v A_ {i}.
    \]
    (Esto es cierto también si algunos\(A_{i}\) contienen caras comunes).
    [Esquema de prueba: Para\(m=2,\) uso Problema 8.
    Entonces por inducción, supongamos que la aditividad se mantiene para cualquier número de intervalos menor que un cierto\(m\)\((m>1) .\) Ahora vamos
    \ [
    A=\ bigcup_ {i=1} ^ {m} A_ {i}\ quad\ left (A_ {i}\ text {disjoint}\ right).
    \]
    Uno de los\(A_{i}\) (digamos,\(A_{1}=[\overline{a}, \overline{p}] )\) debe tener alguna longitud de borde más pequeña que la longitud de borde correspondiente de\(A\left(\operatorname{say}, \ell_{1}\right) .\) Ahora corta todo\(A\) en\(P=[\overline{a}, \overline{d}]\) y\(Q=A-P(\text { Figure } 4)\) por el plano para\(x_{1}=c\left(c=p_{1}\right)\) que\(A_{1} \subseteq P\) mientras\(A_{2} \subseteq Q .\) Por simplicidad, asumir que el plano corta cada uno\(A_{i}\) en dos subintervalos\(A_{i}^{\prime}\) y\(A_{i}^{\prime \prime} .\) (Uno de ellos puede estar vacío.)
    Entonces
    \ [
    P=\ bigcup_ {i=1} ^ {m} A_ {i} ^ {\ prime}\ text {y} Q=\ bigcup_ {i=1} ^ {m} A_ {i} ^ {\ prime\ prime}.
    \]
    En realidad, sin embargo,\(P\) y\(Q\) se dividen en intervalos menores que\(m\) (no vacíos) ya que\(A_{1}^{\prime \prime}=\emptyset=A_{2}^{\prime}\) por construcción. Así, por nuestra suposición inductiva,
    \ [
    v P=\ sum_ {i=1} ^ {m} v A_ {i} ^ {\ prime}\ text {y} v Q=\ suma_ {i=1} ^ {m} v A_ {i} ^ {\ prime\ prime},
    \]
    donde\(v A_{1}^{\prime \prime}=0=v A_{2}^{\prime},\) y\(v A_{i}=v A_{i}^{\prime}+v A_{i}^{\prime \prime}\) por Problema\(8 .\) Completa la prueba inductiva mostrando que
    \ [
    v a=V P+v Q=\ suma_ {i=1} ^ {m} v A_ {i}.]
    \]


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