3.4.E: Problemas en Números Complejos (Ejercicios)
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Completar la prueba del Teorema 1 (asociatividad, distributividad, etc.).
Verificar que los “puntos reales” en\(C\) forma de un campo ordenado.
\(z \overline{z}=|z|^{2} .\)Demostrar que Deducir que\(z^{-1}=\overline{z} /|z|^{2}\) si\(z \neq 0 .^{4}\)
Demostrar que
\ [\ overline {z+z^ {\ prime}} =\ overline {z} +\ overline {z^ {\ prime}}\ text {y}\ overline {z z^ {\ prime}} =\ overline {z}\ cdot\ overline {z^ {\ prime}}
\]
De ahí mostrar por inducción que
\(\overline{z^{n}}=(\overline{z})^{n}, n=1,2, \ldots,\) y\(\quad \overline{\sum_{k=1}^{n} a_{k} z^{k}}=\sum_{k=1}^{n} \overline{a}_{k} \overline{z}^{k}\)
Definir
\ [
e^ {\ theta i} =\ cos\ theta+i\ sin\ theta.
\]
Describir\(e^{\theta i}\) geométricamente. Es\(\left|e^{\theta i}\right|=1 ?\)
Calcular
(a)\(\frac{1+2 i}{3-i}\);
(b)\((1+2 i)(3-i) ;\) y
(c)\(\frac{x+1+i}{x+1-i}, x \in E^{1}\).
Hazlo de dos maneras: (i) usando solo definiciones y la notación\((x, y)\) para\(x+y i ;\) y\((\text { ii) using all laws valid in a field. }\)
Resolver la ecuación\((2,-1)(x, y)=(3,2)\) para\(x\) y\(y\) en\(E^{1}\).
Que
\ [
\ comience {alineado} z &=r (\ cos\ theta+i\ sin\ theta)\\ z^ {\ prime} &=r^ {\ prime}\ left (\ cos\ theta^ {\ prime} +i\ sin\ theta^ {\ prime}\ right),\ text {y}\\ z^ {\ prime\ prime} &=r^ {prime\ prime}\ left (\ cos\ theta^ {\ prime\ prime} +i\ sin\ theta^ {\ prime\ prime}\ derecha)\ end { alineado}
\]
como en Corolario\(2 .\) Probar que\(z=z^{\prime} z^{\prime \prime}\) si
\ [
r=|z|=r^ {\ prime} r^ {\ prime\ prime},\ text {es decir,}\ izquierda|z^ {\ prime} z^ {\ prime\ prime}\ derecha|=\ izquierda|z^ {\ prime}\ derecha|\ izquierda|z^ {\ prime\ prime}\ derecha|,\ text {y}\ theta=\ theta^ {\ prime} + \ theta^ {\ prime\ prime}.
\]
Discutir la siguiente afirmación: Multiplicar\(z^{\prime}\) por\(z^{\prime \prime}\) medios para rotar en\(\overrightarrow{0 z^{\prime}}\) sentido antihorario por el ángulo\(\theta^{\prime \prime}\) y multiplicarlo por el escalar\(r^{\prime \prime}=\)\(\left|z^{\prime \prime}\right| .\) Considere los casos\(z^{\prime \prime}=i\) y\(z^{\prime \prime}=-1\).
[Pista: Eliminar corchetes en
\ [
r (\ cos\ theta+i\ sin\ theta) =r^ {\ prime}\ left (\ cos\ theta^ {\ prime} +i\ sin\ theta^ {\ prime}\ derecha)\ cdot r^ {\ prime\ prime}\ left (\ cos\ theta^ {\ prime\ prime} +i\ sin\ theta^ a^ {\ prime\ prime}\ derecha)
\]
y aplicar las leyes de la trigonometría.]
Por inducción, extienda el Problema 7 a productos de números\(n\) complejos, y derive la fórmula de Moivre, es decir, si\(z=r(\cos \theta+i \sin \theta),\) entonces
\ [
z^ {n} =r^ {n} (\ cos (n\ theta) +i\ sin (n\ theta)).
\]
Úselo para encontrar, para\(n=1,2, \ldots\)
\ [
(a) i^ {n};\ hskip 12pt (b) (1 + i) ^ {n};\ hskip 12pt (c)\ frac {1} {(1 + i) ^ {n}}.
\]
De Problem\(8,\) probar que por cada número complejo\(z \neq 0,\) hay exactamente números\(n\) complejos\(w\) tales que
\ [
w^ {n} =z;
\] se
llaman las raíces\(n\) th de\(z\)
[Pista: Si
\ [
z=r (\ cos\ theta+i\ sin\ theta)\ text {y} w=r^ {\ prime}\ left (\ cos\ theta^ {\ prime} +i\ sin\ theta^ {\ prime}\ right),
\]
la ecuación\(w^{n}=z\) rinde, por Problema 8
\ [
\ left (r^ {\ prime}\ derecha) ^ {n} =r\ text {y} n\ theta^ {\ prime} =\ theta,
\]
y a la inversa.
Si bien esto determina de\(r^{\prime}\) manera única,\(\theta\) puede ser reemplazado por\(\theta+2 k \pi\) sin afectar\(z .\) Así
\ [\ theta^ {\ prime} =\ frac {\ theta+2 k\ pi} {n},\ quad k=1,2,\ ldots
\]\(w\) Resultado de puntos
distintos sólo de\(k=0,1, \ldots, n-1\) (entonces repiten cíclicamente).
Así\(w\) se obtienen\(n\) valores de.]
Usa el Problema 9 para encontrar en\(C\)
\ [
\ text {(a) todas las raíces cubicas de} 1;\ quad\ text {(b) todas las cuartas raíces de} 1
\]
Describe todas las raíces\(n\) th de 1 geométricamente.