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# 3.5.E: Problemas en los Espacios Lineales (Ejercicios)

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

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$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Demostrar que$$F^{n}$$ en Ejemplo$$(\mathrm{b})$$ es un espacio vectorial, es decir, que satisface todas las leyes establecidas en el Teorema 1 en §§1-3; de manera similar para$$W$$ en el Ejemplo (d).

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Verificar que los productos punteados en$$C^{n}$$ obedecer las leyes ¿$$(\mathrm{i})-\left(\mathrm{v}^{\prime}\right) .$$Cuál de estas leyes fallaría si estos productos fueran definidos por
\ [
x\ cdot y=\ sum_ {k=1} ^ {n} x_ {k} y_ {k}\ text {en lugar de} x\ cdot y=\ sum_ {k=1} ^ {n} x_ {k}\ overline {y} _ {k}?
\]
¿Cómo afectaría esto a las propiedades de los valores absolutos dados en$$\left(\mathrm{a}^{\prime}\right)-\left(\mathrm{d}^{\prime}\right) ?$$

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Completar el comprobante de fórmulas$$\left(\mathrm{a}^{\prime}\right)-\left(\mathrm{d}^{\prime}\right)$$ para espacios euclidianos. ¿Qué cambio resultaría si la propiedad (ii) de los productos punto se replantara como
\ [
"x\ cdot x\ geq 0\ text {and}\ overrightarrow {0}\ cdot\ overrightarrow {0} =0^ {\ prime\ prime}?
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Definir ortogonalidad, paralelismo y ángulos en un espacio euclídeano general siguiendo el patrón de §§1-3 (texto y Problema 7 ahí). Mostrar que$$u=\overrightarrow{0}$$ iff$$u$$ es ortogonal a todos los vectores del espacio.

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Definir los vectores$$e_{k}$$ unitarios básicos$$C^{n}$$ exactamente como en$$E^{n},$$ y probar el
Teorema 2 en §§1-3 para$$C^{n}\left(\text { replacing } E^{1} \text { by } C\right).$$ También, hacer Problema 5$$(\mathrm{a})$$ de §§1-3 para$$C^{n}$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

Definir hiperplanos en$$C^{n}$$ como en la Definición 3 de §§4-6, y probar el Teorema 1 establecido ahí, para$$C^{n} .$$ Hacer también Problemas$$4-6$$ ahí para$$C^{n}$$ (reemplazando$$E^{1}$$ por$$C )$$ y Problema 4 ahí para espacios vectoriales en general (reemplazando$$E^{1}$$ por el campo escalar$$F ) .$$

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Hacer Problema 3 de §§4-6 para espacios euclídeos generales (reales o complejos). Nota: No sustituir$$E^{1}$$ por$$C$$ en la definición de una línea y un segmento de línea.

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Un conjunto finito de vectores$$B=\left\{x_{1}, \ldots, x_{m}\right\}$$ en un espacio lineal$$V$$ sobre se dice que$$F$$ es independiente iff
\ [
\ left (\ forall a_ {1}, a_ {2},\ ldots, a_ {m}\ in F\ right)\ quad\ left (\ suma_ {i=1} ^ {m} a_ {i} x_ {i} =\ overrightarrow {0}\ Longrightarrow a_ _ {1} =a_ {2} =\ cdots=a_ {m} =0\ derecha).
\]
Demostrar que si$$B$$ es independiente, entonces
(i)$$\overrightarrow{0} \notin B$$;
(ii) cada subconjunto de$$B$$ es independiente$$(\emptyset \text { counts as independent }) ;$$ y
(iii) si para algunos escalares$$a_{i}, b_{i} \in F$$,
\ [
\ sum_ {i=1} ^ {m} a_ {i} x_ {i} =\ suma_ {i=1} ^ {m} b_ {i} x_ {i},
\]
entonces$$a_{i}=b_{i}, i=1,2, \ldots, m$$.

## Ejercicio$$\PageIndex{9}$$

Let$$V$$ be a vector space over$$F$$ and let$$A \subseteq V .$$ Por el lapso de$$A$$ in$$V$$, denotado$$\operatorname{span}(A),$$ se entiende el conjunto de todas las “combinaciones lineales” de vectores de$$A,$$ i.e., todos los vectores de la forma

\ [\ sum_ {i=1} ^ {m} a_ {i} x_ {i},\ quad a_ {i}\ in F, x_ {i}\ en A, m\ en N.
\]
Mostrar que$$\operatorname{span}(A)$$ es en sí mismo un espacio vectorial$$V^{\prime} \subseteq V$$ (un subespacio de$$V )$$ sobre el mismo campo$$F,$$ con las operaciones definidas en$$V .$$ (Decimos que A abarca$$V^{\prime} .$$ Mostrar eso en$$E^{n}$$ y$$C^{n},$$ lo básico los vectores unitarios abarcan todo el espacio.

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