3.5.E: Problemas en los Espacios Lineales (Ejercicios)
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Demostrar que\(F^{n}\) en Ejemplo\((\mathrm{b})\) es un espacio vectorial, es decir, que satisface todas las leyes establecidas en el Teorema 1 en §§1-3; de manera similar para\(W\) en el Ejemplo (d).
Verificar que los productos punteados en\(C^{n}\) obedecer las leyes ¿\((\mathrm{i})-\left(\mathrm{v}^{\prime}\right) .\)Cuál de estas leyes fallaría si estos productos fueran definidos por
\ [
x\ cdot y=\ sum_ {k=1} ^ {n} x_ {k} y_ {k}\ text {en lugar de} x\ cdot y=\ sum_ {k=1} ^ {n} x_ {k}\ overline {y} _ {k}?
\]
¿Cómo afectaría esto a las propiedades de los valores absolutos dados en\(\left(\mathrm{a}^{\prime}\right)-\left(\mathrm{d}^{\prime}\right) ?\)
Completar el comprobante de fórmulas\(\left(\mathrm{a}^{\prime}\right)-\left(\mathrm{d}^{\prime}\right)\) para espacios euclidianos. ¿Qué cambio resultaría si la propiedad (ii) de los productos punto se replantara como
\ [
"x\ cdot x\ geq 0\ text {and}\ overrightarrow {0}\ cdot\ overrightarrow {0} =0^ {\ prime\ prime}?
\]
Definir ortogonalidad, paralelismo y ángulos en un espacio euclídeano general siguiendo el patrón de §§1-3 (texto y Problema 7 ahí). Mostrar que\(u=\overrightarrow{0}\) iff\(u\) es ortogonal a todos los vectores del espacio.
Definir los vectores\(e_{k}\) unitarios básicos\(C^{n}\) exactamente como en\(E^{n},\) y probar el
Teorema 2 en §§1-3 para\(C^{n}\left(\text { replacing } E^{1} \text { by } C\right).\) También, hacer Problema 5\((\mathrm{a})\) de §§1-3 para\(C^{n}\).
Definir hiperplanos en\(C^{n}\) como en la Definición 3 de §§4-6, y probar el Teorema 1 establecido ahí, para\(C^{n} .\) Hacer también Problemas\(4-6\) ahí para\(C^{n}\) (reemplazando\(E^{1}\) por\(C )\) y Problema 4 ahí para espacios vectoriales en general (reemplazando\(E^{1}\) por el campo escalar\(F ) .\)
Hacer Problema 3 de §§4-6 para espacios euclídeos generales (reales o complejos). Nota: No sustituir\(E^{1}\) por\(C\) en la definición de una línea y un segmento de línea.
Un conjunto finito de vectores\(B=\left\{x_{1}, \ldots, x_{m}\right\}\) en un espacio lineal\(V\) sobre se dice que\(F\) es independiente iff
\ [
\ left (\ forall a_ {1}, a_ {2},\ ldots, a_ {m}\ in F\ right)\ quad\ left (\ suma_ {i=1} ^ {m} a_ {i} x_ {i} =\ overrightarrow {0}\ Longrightarrow a_ _ {1} =a_ {2} =\ cdots=a_ {m} =0\ derecha).
\]
Demostrar que si\(B\) es independiente, entonces
(i)\(\overrightarrow{0} \notin B\);
(ii) cada subconjunto de\(B\) es independiente\((\emptyset \text { counts as independent }) ;\) y
(iii) si para algunos escalares\(a_{i}, b_{i} \in F\),
\ [
\ sum_ {i=1} ^ {m} a_ {i} x_ {i} =\ suma_ {i=1} ^ {m} b_ {i} x_ {i},
\]
entonces\(a_{i}=b_{i}, i=1,2, \ldots, m\).
Let\(V\) be a vector space over\(F\) and let\(A \subseteq V .\) Por el lapso de\(A\) in\(V\), denotado\(\operatorname{span}(A),\) se entiende el conjunto de todas las “combinaciones lineales” de vectores de\(A,\) i.e., todos los vectores de la forma
\ [\ sum_ {i=1} ^ {m} a_ {i} x_ {i},\ quad a_ {i}\ in F, x_ {i}\ en A, m\ en N.
\]
Mostrar que\(\operatorname{span}(A)\) es en sí mismo un espacio vectorial\(V^{\prime} \subseteq V\) (un subespacio de\(V )\) sobre el mismo campo\(F,\) con las operaciones definidas en\(V .\) (Decimos que A abarca\(V^{\prime} .\) Mostrar eso en\(E^{n}\) y\(C^{n},\) lo básico los vectores unitarios abarcan todo el espacio.