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LibreTexts Español

3.6: Espacios lineales normados

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Por un espacio lineal normado (espacio brevemente normado) se entiende un espacio vectorial real o complejoE en el que cada vectorx está asociado a un número real|x|, llamado su valor absoluto o norma, de tal manera que se mantienen las propiedades(a)(c) de §9. Es decir, para cualquier vectorx,yE y escalara, tenemos

(i)|x|0;

(i)|x|=0iffx=0;

(ii)|ax|=|a||x|;y

(iii)|x+y||x|+|y| (triangle inequality). 

Matemáticamente, la existencia de valores absolutos enE cantidades a la de un mapa (llamado mapa de normas)x|x| enE, es decir, un mapaφ:EE1, con valores de funciónφ(x) escritos como|x|, satisfactorios de las leyes (i) - (iii) anteriores. A menudo, dicho mapa se puede elegir de muchas maneras (no necesariamente a través de productos de puntos, que pueden no existir enE, dando lugar así a diferentes normas enE. A veces escribimosx para|x| o usamos otros símbolos similares.

Nota 1. De (iii), también obtenemos|xy|||x||y|| exactamente como enEn.

Ejemplo3.6.1

(A) Cada espacio euclidiano (§9) tal comoEn oCn, es un espacio normado, con norma definida por

|x|=xx,

como se desprende de las fórmulas (a') - (c') en §9. EnEn y tambiénCn, se puede definir de manera equivalente

|x|=nk=1|xk|2,

dondex=(x1,,xn). Esta es la llamada norma estándar, generalmente presupone enEn(Cn).

(B) También se pueden definir otras normas “no estándar” sobreEn yCn. Por ejemplo, fijar algunos realesp1 y poner

|x|p=(nk=1|xk|p)1p.

Se puede demostrar que|x|p así definido satisface(i)( iii) y así es una norma (ver Problemas 5-7 más adelante).

(C) DejarW ser el conjunto de todos los mapas delimitados

f:AE

de un conjuntoA a un espacio normado,E, es decir, tal que

(tA)|f(t)|c

para alguna constante realc>0 (dependientef pero no det). Definirf+g yaf como en el Ejemplo (d) de §9 para queW se convierta en un espacio vectorial. Además, pon

f=sup

es decir, el supremo de todos|f(t)|, cont \in A . Debido a la generalidad, este supremo existe en E^{1}, tan\|f\| \in E^{1}.

Es fácil demostrar que\|f\| es una norma en PorW . ejemplo, verificamos (iii) de la siguiente manera.

Por definición, tenemos paraf, g \in W yx \in A,

\begin{aligned}|(f+g)(x)| &=|f(x)+g(x)| \\ & \leq|f(x)|+|g(x)| \\ & \leq \sup _{t \in A}|f(t)|+\sup _{t \in A}|g(t)| \\ &=\|f\|+\|g\|. \end{aligned}

(La primera desigualdad es cierta porque (iii) se sostiene en el espacio normalizadoE al queg(x) pertenecenf(x) y pertenecen.) Por (1),\|f\|+\|g\|+\|g\| es un límite superior de todas las expresiones|(f+g)(x)|, x \in A . Así

\|f\|+\|g\| \geq \sup _{x \in A}|(f+g)(x)|=\|f+g\|.

Nota 2. La fórmula (1) también muestra que el mapaf+g está acotado y por lo tanto es miembro deW . Bastante similar vemos quea f \in W para cualquier escalara yf \in W . así tenemos las leyes de cierre paraW . El resto es fácil.

En cada espacio normalizado (en particular, en cada euclidiano)E, definimos las distancias por

\rho(x, y)=|x-y| \quad\text{ for all x, y } \in E.

Tales distancias dependen, por supuesto, de la norma elegida paraE ; así las llamamos distancias inducidas por la norma. En particular, usando la norma estándar enE^{n} yC^{n} (Ejemplo (A)), tenemos

\rho(x, y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{2}}.

Usando la norma del Ejemplo (B), obtenemos

\rho(x, y)=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}

en su lugar. En el espacioW del Ejemplo (C) tenemos

\rho(f, g)=\|f-g\|=\sup _{x \in A}|f(x)-g(x)|.

Procediendo exactamente como en la prueba del Teorema 5 en los §§1-3, vemos que las distancias inducidas por la norma obedecen a las tres leyes allí señaladas. (¡Verifica!) Además, por definición,

\rho(x+u, y+u)=|(x+u)-(y+u)|=|x-y|=\rho(x, y).

Así tenemos

\rho(x, y)=\rho(x+u, y+u)\text{ for norm-induced distances;}

es decir, la distancia\rho(x, y) no cambia si ambosx yy son “traducidos” por uno y el mismo vectoru . Llamamos a tales distancias traducción-invariante.

Una teoría más general de las distancias se dará en §§11ff.


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