3.6: Espacios lineales normados
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Por un espacio lineal normado (espacio brevemente normado) se entiende un espacio vectorial real o complejoE en el que cada vectorx está asociado a un número real|x|, llamado su valor absoluto o norma, de tal manera que se mantienen las propiedades(a′)−(c′) de §9. Es decir, para cualquier vectorx,y∈E y escalara, tenemos
(i)|x|≥0;
(i′)|x|=0iffx=→0;
(ii)|ax|=|a||x|;y
(iii)|x+y|≤|x|+|y| (triangle inequality).
Matemáticamente, la existencia de valores absolutos enE cantidades a la de un mapa (llamado mapa de normas)x→|x| enE, es decir, un mapaφ:E→E1, con valores de funciónφ(x) escritos como|x|, satisfactorios de las leyes (i) - (iii) anteriores. A menudo, dicho mapa se puede elegir de muchas maneras (no necesariamente a través de productos de puntos, que pueden no existir enE, dando lugar así a diferentes normas enE. A veces escribimos‖x‖ para|x| o usamos otros símbolos similares.
Nota 1. De (iii), también obtenemos|x−y|≥||x|−|y|| exactamente como enEn.
(A) Cada espacio euclidiano (§9) tal comoEn oCn, es un espacio normado, con norma definida por
|x|=√x⋅x,
como se desprende de las fórmulas (a') - (c') en §9. EnEn y tambiénCn, se puede definir de manera equivalente
|x|=√n∑k=1|xk|2,
dondex=(x1,…,xn). Esta es la llamada norma estándar, generalmente presupone enEn(Cn).
(B) También se pueden definir otras normas “no estándar” sobreEn yCn. Por ejemplo, fijar algunos realesp≥1 y poner
|x|p=(n∑k=1|xk|p)1p.
Se puede demostrar que|x|p así definido satisface(i)−( iii) y así es una norma (ver Problemas 5-7 más adelante).
(C) DejarW ser el conjunto de todos los mapas delimitados
f:A→E
de un conjuntoA≠∅ a un espacio normado,E, es decir, tal que
(∀t∈A)|f(t)|≤c
para alguna constante realc>0 (dependientef pero no det). Definirf+g yaf como en el Ejemplo (d) de §9 para queW se convierta en un espacio vectorial. Además, pon
‖f‖=sup
es decir, el supremo de todos|f(t)|, cont \in A . Debido a la generalidad, este supremo existe en E^{1}, tan\|f\| \in E^{1}.
Es fácil demostrar que\|f\| es una norma en PorW . ejemplo, verificamos (iii) de la siguiente manera.
Por definición, tenemos paraf, g \in W yx \in A,
\begin{aligned}|(f+g)(x)| &=|f(x)+g(x)| \\ & \leq|f(x)|+|g(x)| \\ & \leq \sup _{t \in A}|f(t)|+\sup _{t \in A}|g(t)| \\ &=\|f\|+\|g\|. \end{aligned}
(La primera desigualdad es cierta porque (iii) se sostiene en el espacio normalizadoE al queg(x) pertenecenf(x) y pertenecen.) Por (1),\|f\|+\|g\|+\|g\| es un límite superior de todas las expresiones|(f+g)(x)|, x \in A . Así
\|f\|+\|g\| \geq \sup _{x \in A}|(f+g)(x)|=\|f+g\|.
Nota 2. La fórmula (1) también muestra que el mapaf+g está acotado y por lo tanto es miembro deW . Bastante similar vemos quea f \in W para cualquier escalara yf \in W . así tenemos las leyes de cierre paraW . El resto es fácil.
En cada espacio normalizado (en particular, en cada euclidiano)E, definimos las distancias por
\rho(x, y)=|x-y| \quad\text{ for all x, y } \in E.
Tales distancias dependen, por supuesto, de la norma elegida paraE ; así las llamamos distancias inducidas por la norma. En particular, usando la norma estándar enE^{n} yC^{n} (Ejemplo (A)), tenemos
\rho(x, y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{2}}.
Usando la norma del Ejemplo (B), obtenemos
\rho(x, y)=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}
en su lugar. En el espacioW del Ejemplo (C) tenemos
\rho(f, g)=\|f-g\|=\sup _{x \in A}|f(x)-g(x)|.
Procediendo exactamente como en la prueba del Teorema 5 en los §§1-3, vemos que las distancias inducidas por la norma obedecen a las tres leyes allí señaladas. (¡Verifica!) Además, por definición,
\rho(x+u, y+u)=|(x+u)-(y+u)|=|x-y|=\rho(x, y).
Así tenemos
\rho(x, y)=\rho(x+u, y+u)\text{ for norm-induced distances;}
es decir, la distancia\rho(x, y) no cambia si ambosx yy son “traducidos” por uno y el mismo vectoru . Llamamos a tales distancias traducción-invariante.
Una teoría más general de las distancias se dará en §§11ff.