3.6: Espacios lineales normados

Por un espacio lineal normado (espacio brevemente normado) se entiende un espacio vectorial real o complejo\(E\) en el que cada vector\(x\) está asociado a un número real\(|x|\), llamado su valor absoluto o norma, de tal manera que se mantienen las propiedades\(\left(\mathrm{a}^{\prime}\right)-\left(\mathrm{c}^{\prime}\right)\) de §9. Es decir, para cualquier vector\(x, y \in E\) y escalar\(a,\) tenemos

\(\left(\mathrm{i}\right) |x| \geq 0;\)

\(\left(\mathrm{i}^{\prime}\right)|x|=0\)iff\(x=\overrightarrow{0};\)

\(\left(\mathrm{ii}\right) |a x|=|a||x| ;\)y

\(\left(\mathrm{iii}\right)|x+y| \leq|x|+|y|\text{ (triangle inequality). }\)

Matemáticamente, la existencia de valores absolutos en\(E\) cantidades a la de un mapa (llamado mapa de normas)\(x \rightarrow|x|\) en\(E,\) es decir, un mapa\(\varphi : E \rightarrow E^{1},\) con valores de función\(\varphi(x)\) escritos como\(|x|,\) satisfactorios de las leyes (i) - (iii) anteriores. A menudo, dicho mapa se puede elegir de muchas maneras (no necesariamente a través de productos de puntos, que pueden no existir en\(E\), dando lugar así a diferentes normas en\(E .\) A veces escribimos\(\|x\|\) para\(|x|\) o usamos otros símbolos similares.

Nota 1. De (iii), también obtenemos\(|x-y| \geq| | x|-| y| |\) exactamente como en\(E^{n}.\)

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

(A) Cada espacio euclidiano (§9) tal como\(E^{n}\) o\(C^{n},\) es un espacio normado, con norma definida por

\[|x|=\sqrt{x \cdot x},\]

como se desprende de las fórmulas (a') - (c') en §9. En\(E^{n}\) y también\(C^{n},\) se puede definir de manera equivalente

\[|x|=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}\right|^{2}},\]

donde\(x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) .\) Esta es la llamada norma estándar, generalmente presupone en\(E^{n}\left(C^{n}\right) .\)

(B) También se pueden definir otras normas “no estándar” sobre\(E^{n}\) y\(C^{n} .\) Por ejemplo, fijar algunos reales\(p \geq 1\) y poner

\[|x|_{p}=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}.\]

Se puede demostrar que\(|x|_{p}\) así definido satisface\((\mathrm{i})-(\) iii) y así es una norma (ver Problemas 5-7 más adelante).

(C) Dejar\(W\) ser el conjunto de todos los mapas delimitados

\[f : A \rightarrow E\]

de un conjunto\(A \neq \emptyset\) a un espacio normado,\(E,\) es decir, tal que

\[(\forall t \in A) \quad|f(t)| \leq c\]

para alguna constante real\(c>0\) (dependiente\(f\) pero no de\(t ) .\) Definir\(f+g\) y\(a f\) como en el Ejemplo (d) de §9 para que\(W\) se convierta en un espacio vectorial. Además, pon

\[\|f\|=\sup _{t \in A}|f(t)|,\]

es decir, el supremo de todos\(|f(t)|,\) con\(t \in A .\) Debido a la generalidad, este supremo existe en\( E^{1},\) tan\(\|f\| \in E^{1}.\)

Es fácil demostrar que\(\|f\|\) es una norma en Por\(W .\) ejemplo, verificamos (iii) de la siguiente manera.

Por definición, tenemos para\(f, g \in W\) y\(x \in A,\)

\(\begin{aligned}|(f+g)(x)| &=|f(x)+g(x)| \\ & \leq|f(x)|+|g(x)| \\ & \leq \sup _{t \in A}|f(t)|+\sup _{t \in A}|g(t)| \\ &=\|f\|+\|g\|. \end{aligned}\)

(La primera desigualdad es cierta porque (iii) se sostiene en el espacio normalizado\(E\) al que\(g(x)\) pertenecen\(f(x)\) y pertenecen.) Por (1),\(\|f\|+\|g\|+\|g\|\) es un límite superior de todas las expresiones\(|(f+g)(x)|, x \in A .\) Así

\[\|f\|+\|g\| \geq \sup _{x \in A}|(f+g)(x)|=\|f+g\|.\]

Nota 2. La fórmula (1) también muestra que el mapa\(f+g\) está acotado y por lo tanto es miembro de\(W .\) Bastante similar vemos que\(a f \in W\) para cualquier escalar\(a\) y\(f \in W .\) así tenemos las leyes de cierre para\(W .\) El resto es fácil.

En cada espacio normalizado (en particular, en cada euclidiano)\(E,\) definimos las distancias por

\[\rho(x, y)=|x-y| \quad\text{ for all x, y } \in E.\]

Tales distancias dependen, por supuesto, de la norma elegida para\(E ;\) así las llamamos distancias inducidas por la norma. En particular, usando la norma estándar en\(E^{n}\) y\(C^{n}\) (Ejemplo (A)), tenemos

\[\rho(x, y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{2}}.\]

Usando la norma del Ejemplo (B), obtenemos

\[\rho(x, y)=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\]

en su lugar. En el espacio\(W\) del Ejemplo (C) tenemos

\[\rho(f, g)=\|f-g\|=\sup _{x \in A}|f(x)-g(x)|.\]

Procediendo exactamente como en la prueba del Teorema 5 en los §§1-3, vemos que las distancias inducidas por la norma obedecen a las tres leyes allí señaladas. (¡Verifica!) Además, por definición,

\[\rho(x+u, y+u)=|(x+u)-(y+u)|=|x-y|=\rho(x, y).\]

Así tenemos

\[\rho(x, y)=\rho(x+u, y+u)\text{ for norm-induced distances;}\]

es decir, la distancia\(\rho(x, y)\) no cambia si ambos\(x\) y\(y\) son “traducidos” por uno y el mismo vector\(u .\) Llamamos a tales distancias traducción-invariante.

Una teoría más general de las distancias se dará en §§11ff.