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Por un espacio lineal normado (espacio brevemente normado) se entiende un espacio vectorial real o complejo$$E$$ en el que cada vector$$x$$ está asociado a un número real$$|x|$$, llamado su valor absoluto o norma, de tal manera que se mantienen las propiedades$$\left(\mathrm{a}^{\prime}\right)-\left(\mathrm{c}^{\prime}\right)$$ de §9. Es decir, para cualquier vector$$x, y \in E$$ y escalar$$a,$$ tenemos

$$\left(\mathrm{i}\right) |x| \geq 0;$$

$$\left(\mathrm{i}^{\prime}\right)|x|=0$$iff$$x=\overrightarrow{0};$$

$$\left(\mathrm{ii}\right) |a x|=|a||x| ;$$y

$$\left(\mathrm{iii}\right)|x+y| \leq|x|+|y|\text{ (triangle inequality). }$$

Matemáticamente, la existencia de valores absolutos en$$E$$ cantidades a la de un mapa (llamado mapa de normas)$$x \rightarrow|x|$$ en$$E,$$ es decir, un mapa$$\varphi : E \rightarrow E^{1},$$ con valores de función$$\varphi(x)$$ escritos como$$|x|,$$ satisfactorios de las leyes (i) - (iii) anteriores. A menudo, dicho mapa se puede elegir de muchas maneras (no necesariamente a través de productos de puntos, que pueden no existir en$$E$$, dando lugar así a diferentes normas en$$E .$$ A veces escribimos$$\|x\|$$ para$$|x|$$ o usamos otros símbolos similares.

Nota 1. De (iii), también obtenemos$$|x-y| \geq| | x|-| y| |$$ exactamente como en$$E^{n}.$$

## Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

(A) Cada espacio euclidiano (§9) tal como$$E^{n}$$ o$$C^{n},$$ es un espacio normado, con norma definida por

$|x|=\sqrt{x \cdot x},$

como se desprende de las fórmulas (a') - (c') en §9. En$$E^{n}$$ y también$$C^{n},$$ se puede definir de manera equivalente

$|x|=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}\right|^{2}},$

donde$$x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) .$$ Esta es la llamada norma estándar, generalmente presupone en$$E^{n}\left(C^{n}\right) .$$

(B) También se pueden definir otras normas “no estándar” sobre$$E^{n}$$ y$$C^{n} .$$ Por ejemplo, fijar algunos reales$$p \geq 1$$ y poner

$|x|_{p}=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}.$

Se puede demostrar que$$|x|_{p}$$ así definido satisface$$(\mathrm{i})-($$ iii) y así es una norma (ver Problemas 5-7 más adelante).

(C) Dejar$$W$$ ser el conjunto de todos los mapas delimitados

$f : A \rightarrow E$

de un conjunto$$A \neq \emptyset$$ a un espacio normado,$$E,$$ es decir, tal que

$(\forall t \in A) \quad|f(t)| \leq c$

para alguna constante real$$c>0$$ (dependiente$$f$$ pero no de$$t ) .$$ Definir$$f+g$$ y$$a f$$ como en el Ejemplo (d) de §9 para que$$W$$ se convierta en un espacio vectorial. Además, pon

$\|f\|=\sup _{t \in A}|f(t)|,$

es decir, el supremo de todos$$|f(t)|,$$ con$$t \in A .$$ Debido a la generalidad, este supremo existe en$$E^{1},$$ tan$$\|f\| \in E^{1}.$$

Es fácil demostrar que$$\|f\|$$ es una norma en Por$$W .$$ ejemplo, verificamos (iii) de la siguiente manera.

Por definición, tenemos para$$f, g \in W$$ y$$x \in A,$$

\begin{aligned}|(f+g)(x)| &=|f(x)+g(x)| \\ & \leq|f(x)|+|g(x)| \\ & \leq \sup _{t \in A}|f(t)|+\sup _{t \in A}|g(t)| \\ &=\|f\|+\|g\|. \end{aligned}

(La primera desigualdad es cierta porque (iii) se sostiene en el espacio normalizado$$E$$ al que$$g(x)$$ pertenecen$$f(x)$$ y pertenecen.) Por (1),$$\|f\|+\|g\|+\|g\|$$ es un límite superior de todas las expresiones$$|(f+g)(x)|, x \in A .$$ Así

$\|f\|+\|g\| \geq \sup _{x \in A}|(f+g)(x)|=\|f+g\|.$

Nota 2. La fórmula (1) también muestra que el mapa$$f+g$$ está acotado y por lo tanto es miembro de$$W .$$ Bastante similar vemos que$$a f \in W$$ para cualquier escalar$$a$$ y$$f \in W .$$ así tenemos las leyes de cierre para$$W .$$ El resto es fácil.

En cada espacio normalizado (en particular, en cada euclidiano)$$E,$$ definimos las distancias por

$\rho(x, y)=|x-y| \quad\text{ for all x, y } \in E.$

Tales distancias dependen, por supuesto, de la norma elegida para$$E ;$$ así las llamamos distancias inducidas por la norma. En particular, usando la norma estándar en$$E^{n}$$ y$$C^{n}$$ (Ejemplo (A)), tenemos

$\rho(x, y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{2}}.$

Usando la norma del Ejemplo (B), obtenemos

$\rho(x, y)=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}$

en su lugar. En el espacio$$W$$ del Ejemplo (C) tenemos

$\rho(f, g)=\|f-g\|=\sup _{x \in A}|f(x)-g(x)|.$

Procediendo exactamente como en la prueba del Teorema 5 en los §§1-3, vemos que las distancias inducidas por la norma obedecen a las tres leyes allí señaladas. (¡Verifica!) Además, por definición,

$\rho(x+u, y+u)=|(x+u)-(y+u)|=|x-y|=\rho(x, y).$

Así tenemos

$\rho(x, y)=\rho(x+u, y+u)\text{ for norm-induced distances;}$

es decir, la distancia$$\rho(x, y)$$ no cambia si ambos$$x$$ y$$y$$ son “traducidos” por uno y el mismo vector$$u .$$ Llamamos a tales distancias traducción-invariante.

Una teoría más general de las distancias se dará en §§11ff.

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