3.6: Espacios lineales normados

Por un espacio lineal normado (espacio brevemente normado) se entiende un espacio vectorial real o complejo$E$ en el que cada vector$x$ está asociado a un número real$|x|$, llamado su valor absoluto o norma, de tal manera que se mantienen las propiedades$\left(\mathrm{a}^{\prime}\right)-\left(\mathrm{c}^{\prime}\right)$ de §9. Es decir, para cualquier vector$x, y \in E$ y escalar$a,$ tenemos

$\left(\mathrm{i}\right) |x| \geq 0;$

$\left(\mathrm{i}^{\prime}\right)|x|=0$iff$x=\overrightarrow{0};$

$\left(\mathrm{ii}\right) |a x|=|a||x| ;$y

$\left(\mathrm{iii}\right)|x+y| \leq|x|+|y|\text{ (triangle inequality). }$

Matemáticamente, la existencia de valores absolutos en$E$ cantidades a la de un mapa (llamado mapa de normas)$x \rightarrow|x|$ en$E,$ es decir, un mapa$\varphi : E \rightarrow E^{1},$ con valores de función$\varphi(x)$ escritos como$|x|,$ satisfactorios de las leyes (i) - (iii) anteriores. A menudo, dicho mapa se puede elegir de muchas maneras (no necesariamente a través de productos de puntos, que pueden no existir en$E$, dando lugar así a diferentes normas en$E .$ A veces escribimos$\|x\|$ para$|x|$ o usamos otros símbolos similares.

Nota 1. De (iii), también obtenemos$|x-y| \geq| | x|-| y| |$ exactamente como en$E^{n}.$

Ejemplo$\PageIndex{1}$

(A) Cada espacio euclidiano (§9) tal como$E^{n}$ o$C^{n},$ es un espacio normado, con norma definida por

$$|x|=\sqrt{x \cdot x},$$

como se desprende de las fórmulas (a') - (c') en §9. En$E^{n}$ y también$C^{n},$ se puede definir de manera equivalente

$$|x|=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}\right|^{2}},$$

donde$x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) .$ Esta es la llamada norma estándar, generalmente presupone en$E^{n}\left(C^{n}\right) .$

(B) También se pueden definir otras normas “no estándar” sobre$E^{n}$ y$C^{n} .$ Por ejemplo, fijar algunos reales$p \geq 1$ y poner

$$|x|_{p}=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}.$$

Se puede demostrar que$|x|_{p}$ así definido satisface$(\mathrm{i})-($ iii) y así es una norma (ver Problemas 5-7 más adelante).

(C) Dejar$W$ ser el conjunto de todos los mapas delimitados

$$f : A \rightarrow E$$

de un conjunto$A \neq \emptyset$ a un espacio normado,$E,$ es decir, tal que

$$(\forall t \in A) \quad|f(t)| \leq c$$

para alguna constante real$c>0$ (dependiente$f$ pero no de$t ) .$ Definir$f+g$ y$a f$ como en el Ejemplo (d) de §9 para que$W$ se convierta en un espacio vectorial. Además, pon

$$\|f\|=\sup _{t \in A}|f(t)|,$$

es decir, el supremo de todos$|f(t)|,$ con$t \in A .$ Debido a la generalidad, este supremo existe en$E^{1},$ tan$\|f\| \in E^{1}.$

Es fácil demostrar que$\|f\|$ es una norma en Por$W .$ ejemplo, verificamos (iii) de la siguiente manera.

Por definición, tenemos para$f, g \in W$ y$x \in A,$

$\begin{aligned}|(f+g)(x)| &=|f(x)+g(x)| \\ & \leq|f(x)|+|g(x)| \\ & \leq \sup _{t \in A}|f(t)|+\sup _{t \in A}|g(t)| \\ &=\|f\|+\|g\|. \end{aligned}$

(La primera desigualdad es cierta porque (iii) se sostiene en el espacio normalizado$E$ al que$g(x)$ pertenecen$f(x)$ y pertenecen.) Por (1),$\|f\|+\|g\|+\|g\|$ es un límite superior de todas las expresiones$|(f+g)(x)|, x \in A .$ Así

$$\|f\|+\|g\| \geq \sup _{x \in A}|(f+g)(x)|=\|f+g\|.$$

Nota 2. La fórmula (1) también muestra que el mapa$f+g$ está acotado y por lo tanto es miembro de$W .$ Bastante similar vemos que$a f \in W$ para cualquier escalar$a$ y$f \in W .$ así tenemos las leyes de cierre para$W .$ El resto es fácil.

En cada espacio normalizado (en particular, en cada euclidiano)$E,$ definimos las distancias por

$$\rho(x, y)=|x-y| \quad\text{ for all x, y } \in E.$$

Tales distancias dependen, por supuesto, de la norma elegida para$E ;$ así las llamamos distancias inducidas por la norma. En particular, usando la norma estándar en$E^{n}$ y$C^{n}$ (Ejemplo (A)), tenemos

$$\rho(x, y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{2}}.$$

Usando la norma del Ejemplo (B), obtenemos

$$\rho(x, y)=\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}$$

en su lugar. En el espacio$W$ del Ejemplo (C) tenemos

$$\rho(f, g)=\|f-g\|=\sup _{x \in A}|f(x)-g(x)|.$$

Procediendo exactamente como en la prueba del Teorema 5 en los §§1-3, vemos que las distancias inducidas por la norma obedecen a las tres leyes allí señaladas. (¡Verifica!) Además, por definición,

$$\rho(x+u, y+u)=|(x+u)-(y+u)|=|x-y|=\rho(x, y).$$

Así tenemos

$$\rho(x, y)=\rho(x+u, y+u)\text{ for norm-induced distances;}$$

es decir, la distancia$\rho(x, y)$ no cambia si ambos$x$ y$y$ son “traducidos” por uno y el mismo vector$u .$ Llamamos a tales distancias traducción-invariante.

Una teoría más general de las distancias se dará en §§11ff.