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# 3.6.E: Problemas en los Espacios Lineales Normados (Ejercicios)

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

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## Ejercicio$$\PageIndex{1}$$

Demostrar que las distancias en espacios normalizados obedecen a las leyes establecidas en el Teorema 5 de §§1-3.

## Ejercicio$$\PageIndex{2}$$

Completar la prueba de aseveraciones hechas en el Ejemplo (C) y Nota 2.

## Ejercicio$$\PageIndex{3}$$

Definir$$|x|=x_{1}$$ para$$x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$$ en$$C^{n}$$ o$$E^{n} .$$ ¿Es esto una norma? ¿Cuál (en su caso) de las leyes i) a iii) obedece? ¿Qué tal la fórmula$$(2) ?$$

## Ejercicio$$\PageIndex{4}$$

Hacer el Problema 3 en §§4-6 para un espacio normalizado general$$E,$$ con líneas definidas como en$$E^{n}$$ (ver también Problema 7 en §9). También, mostrar que las secuencias contrayentes de segmentos de línea en$$E$$ son$$f$$ -imágenes de secuencias de contracciones de intervalos en$$E^{1} .$$ Usando este hecho, deducir del Problema 11 en el Capítulo 2 §§8-9, un análogo para segmentos de línea en$$E$$, es decir, si
\ [
L\ left [a_ {n}, b_ {n }\ derecha]\ supseteq L\ izquierda [a_ {n+1}, b_ {n+1}\ derecha],\ quad n=1,2,\ puntos
\]
luego
\ [
\ bigcap_ {n=1} ^ {\ infty} L\ izquierda [a_ {n}, b_ {n}\ derecha]\ neq\ emptyset.
\]

## Ejercicio$$\PageIndex{5}$$

Dar por sentado el lema que
\ [
a^ {1/p} b^ {1/q}\ leq\ frac {a} {p} +\ frac {b} {q}
\]
si$$a, b, p, q \in E^{1}$$ con$$a, b \geq 0$$ y$$p, q>0,$$ y
\ [
\ frac {1} {p} +\ frac {1} {1} {q} =1.
\]
(Se sugerirá una prueba en el Capítulo 5, §6, Problema$$11 . )$$ Utilízala para probar la desigualdad de Hölder, es decir, si$$p>1$$ y$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,$$ luego

\ [\ sum_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|x_ {k} y_ {k}\ derecha|\ leq\ left (\ sum_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|x_ {k}\ derecha|^ {p}\ derecha) ^ { \ frac {1} {p}}\ izquierda (\ sum_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|y_ {k}\ derecha|^ {q}\ derecha) ^ {\ frac {1} {q}}\ texto {para cualquier} x_ {k}, y_ {k}\ en C.
\]
[Sugerencia: Vamos
\ [
A=\ left (\ sum_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|x_ {k}\ derecha|^ {p}\ derecha) ^ {\ frac {1} {p}}\ texto {y} B=\ izquierda (\ suma_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|y_ {k}\ derecha|^ {q}\ derecha) ^ {\ frac {1} {q}}.
\]
Si$$A=0$$ o$$B=0,$$ entonces todos$$x_{k}$$ o todos$$y_{k}$$ desaparecen, y la desigualdad requerida es trivial. Así asume$$A \neq 0$$ y$$B \neq 0 .$$ Entonces, configurando
\ [
a=\ frac {\ izquierda|x_ {k}\ derecha|^ {p}} {A^ {p}}\ text {y} b=\ frac {\ izquierda|y_ {k}\ derecha|^ {q}} {B^ {q}}
\]
en el lema, obtener
\ [
\ frac {\ izquierda|x_ {k} y_ {k}\ derecha|} {A B}\ leq\ frac {\ izquierda|x_ {k}\ derecha|^ {p}} {p A^ {p}} +\ frac {\ izquierda|y_ {k}\ derecha|^ {q}} {q} {q}}, k=1,2,\ ldots, n.
\]
Ahora sume estas$$n$$ desigualdades, sustituya los valores de$$A$$ y$$B,$$ y simplifique. $$]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{6}$$

\ [\ left (\ sum_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|x_ {k} +y_ {k}\ derecha|^ {p}\ derecha) ^ {\ frac {1} {p} {p}\ leq\ left (\ sum_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|x_ {k}\ derecha|^ {p}\ derecha) ^ {\ frac {1} {p}} +\ izquierda (\ suma_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|y_ {k}\ derecha|^ {p}\ derecha) ^ {\ frac {1} {p}}
\]
para cualquier real $$p \geq 1$$y$$x_{k}, y_{k} \in C$$.
[Sugerencia: Si$$p=1,$$ esto sigue por la desigualdad del triángulo en$$C .$$ Si$$p>1$$, vamos
\ [
A=\ sum_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|x_ {k} +y_ {k}\ derecha|^ {p}\ neq 0.
\]
(Si$$A=0$$, todo es trivial.) Luego verifica (escribiendo "$$\sum$$" para ""$$\sum_{k=1}^{n}$$ "" por simplicidad)
\ [
A=\ suma\ izquierda|x_ {k} +y_ {k}\ derecha|\ izquierda|x_ {k} +y_ {k}\ derecha|^ {p-1}\ leq\ sum\ izquierda|x_ {k}\ derecha|\ izquierda|x_ {k} +y_ {k}\ derecha|^ {p-1} +\ suma\ izquierda|y_ {k}\ derecha|\ izquierda|x_ {k} +y_ {k}\ derecha|^ {p-1}
\]
Ahora aplica la desigualdad de Hölder (Problema 5) a cada una de las dos últimas sumas, con$$q=$$$$p /(p-1),$$ así que$$(p-1) q=p$$ y$$1 / p=1-1 / q .$$ así obtener
\ [
A\ leq\ left (\ sum\ left (\ sum\ left |x_ {k}\ right|^ {p}\ right) ^ {\ frac {1} {p}\ left (\ sum\ izquierda|x_ {k} +y_ {k}\ derecha|^ {p}\ derecha) ^ {\ frac {1} {q}} +\ izquierda (\ suma\ izquierda|y_ {k}\ derecha|^ {p}\ derecha) ^ {\ frac {1} {p}}\ izquierda (\ suma\ izquierda|x_ {k} +y_ {k}\ derecha|^ {p}\ derecha) ^ {\ frac {1} {q}}.
\]
Luego divídalo$$A^{\frac{1}{q}}=\left(\sum\left|x_{k}+y_{k}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{q}}$$ y simplifica. $$]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{7}$$

Mostrar que el Ejemplo (B) de hecho arroja una norma para$$C^{n}$$ y$$E^{n}$$.
[Pista: Para la desigualdad triangular, use Problema$$6 .$$ El resto es fácil. $$]$$

## Ejercicio$$\PageIndex{8}$$

Se dice que una secuencia$$\left\{x_{m}\right\}$$ de vectores en un espacio normado$$E\left(\text { e.g. }, \text { in } E^{n} \text { or } C^{n}\right)$$ está delimitada iff
\ [
\ left (\ exists c\ in E^ {1}\ right) (\ forall m)\ quad\ left|x_ {m}\ right|<c,
\]
es decir, iff$$\sup _{m}\left|x_{m}\right|$$ es finito.
Denote tales secuencias por letras simples,$$x=\left\{x_{m}\right\}, y=\left\{y_{m}\right\},$$ etc. y define
\ [
x+y=\ left\ {x_ {m} +y_ {m}\ right\},\ text {and} a x=\ left\ {a x_ {m}\ right\}\ text {para cualquier escalar} a.
\]
También deje
\ [
|x|=\ sup _ {m}\ izquierda|x_ {m}\ derecha|.
\]
Mostrar que, con estas definiciones, el conjunto$$M$$ de todas las secuencias infinitas delimitadas en$$E$$ se convierte en un espacio normado (en el que cada secuencia debe tratarse como un solo vector, y el campo escalar es el mismo que el de$$E$$).

3.6.E: Problemas en los Espacios Lineales Normados (Ejercicios) is shared under a CC BY 1.0 license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.