3.6.E: Problemas en los Espacios Lineales Normados (Ejercicios)
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Demostrar que las distancias en espacios normalizados obedecen a las leyes establecidas en el Teorema 5 de §§1-3.
Completar la prueba de aseveraciones hechas en el Ejemplo (C) y Nota 2.
Definir\(|x|=x_{1}\) para\(x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\) en\(C^{n}\) o\(E^{n} .\) ¿Es esto una norma? ¿Cuál (en su caso) de las leyes i) a iii) obedece? ¿Qué tal la fórmula\((2) ?\)
Hacer el Problema 3 en §§4-6 para un espacio normalizado general\(E,\) con líneas definidas como en\(E^{n}\) (ver también Problema 7 en §9). También, mostrar que las secuencias contrayentes de segmentos de línea en\(E\) son\(f\) -imágenes de secuencias de contracciones de intervalos en\(E^{1} .\) Usando este hecho, deducir del Problema 11 en el Capítulo 2 §§8-9, un análogo para segmentos de línea en\(E\), es decir, si
\ [
L\ left [a_ {n}, b_ {n }\ derecha]\ supseteq L\ izquierda [a_ {n+1}, b_ {n+1}\ derecha],\ quad n=1,2,\ puntos
\]
luego
\ [
\ bigcap_ {n=1} ^ {\ infty} L\ izquierda [a_ {n}, b_ {n}\ derecha]\ neq\ emptyset.
\]
Dar por sentado el lema que
\ [
a^ {1/p} b^ {1/q}\ leq\ frac {a} {p} +\ frac {b} {q}
\]
si\(a, b, p, q \in E^{1}\) con\(a, b \geq 0\) y\(p, q>0,\) y
\ [
\ frac {1} {p} +\ frac {1} {1} {q} =1.
\]
(Se sugerirá una prueba en el Capítulo 5, §6, Problema\(11 . )\) Utilízala para probar la desigualdad de Hölder, es decir, si\(p>1\) y\(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,\) luego
\ [\ sum_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|x_ {k} y_ {k}\ derecha|\ leq\ left (\ sum_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|x_ {k}\ derecha|^ {p}\ derecha) ^ { \ frac {1} {p}}\ izquierda (\ sum_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|y_ {k}\ derecha|^ {q}\ derecha) ^ {\ frac {1} {q}}\ texto {para cualquier} x_ {k}, y_ {k}\ en C.
\]
[Sugerencia: Vamos
\ [
A=\ left (\ sum_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|x_ {k}\ derecha|^ {p}\ derecha) ^ {\ frac {1} {p}}\ texto {y} B=\ izquierda (\ suma_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|y_ {k}\ derecha|^ {q}\ derecha) ^ {\ frac {1} {q}}.
\]
Si\(A=0\) o\(B=0,\) entonces todos\(x_{k}\) o todos\(y_{k}\) desaparecen, y la desigualdad requerida es trivial. Así asume\(A \neq 0\) y\(B \neq 0 .\) Entonces, configurando
\ [
a=\ frac {\ izquierda|x_ {k}\ derecha|^ {p}} {A^ {p}}\ text {y} b=\ frac {\ izquierda|y_ {k}\ derecha|^ {q}} {B^ {q}}
\]
en el lema, obtener
\ [
\ frac {\ izquierda|x_ {k} y_ {k}\ derecha|} {A B}\ leq\ frac {\ izquierda|x_ {k}\ derecha|^ {p}} {p A^ {p}} +\ frac {\ izquierda|y_ {k}\ derecha|^ {q}} {q} {q}}, k=1,2,\ ldots, n.
\]
Ahora sume estas\(n\) desigualdades, sustituya los valores de\(A\) y\(B,\) y simplifique. \(]\)
Demostrar la desigualdad Minkowski,
\ [\ left (\ sum_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|x_ {k} +y_ {k}\ derecha|^ {p}\ derecha) ^ {\ frac {1} {p} {p}\ leq\ left (\ sum_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|x_ {k}\ derecha|^ {p}\ derecha) ^ {\ frac {1} {p}} +\ izquierda (\ suma_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|y_ {k}\ derecha|^ {p}\ derecha) ^ {\ frac {1} {p}}
\]
para cualquier real \(p \geq 1\)y\(x_{k}, y_{k} \in C\).
[Sugerencia: Si\(p=1,\) esto sigue por la desigualdad del triángulo en\(C .\) Si\(p>1\), vamos
\ [
A=\ sum_ {k=1} ^ {n}\ izquierda|x_ {k} +y_ {k}\ derecha|^ {p}\ neq 0.
\]
(Si\(A=0\), todo es trivial.) Luego verifica (escribiendo "\(\sum\)" para ""\(\sum_{k=1}^{n}\) "" por simplicidad)
\ [
A=\ suma\ izquierda|x_ {k} +y_ {k}\ derecha|\ izquierda|x_ {k} +y_ {k}\ derecha|^ {p-1}\ leq\ sum\ izquierda|x_ {k}\ derecha|\ izquierda|x_ {k} +y_ {k}\ derecha|^ {p-1} +\ suma\ izquierda|y_ {k}\ derecha|\ izquierda|x_ {k} +y_ {k}\ derecha|^ {p-1}
\]
Ahora aplica la desigualdad de Hölder (Problema 5) a cada una de las dos últimas sumas, con\(q=\)\(p /(p-1),\) así que\((p-1) q=p\) y\(1 / p=1-1 / q .\) así obtener
\ [
A\ leq\ left (\ sum\ left (\ sum\ left |x_ {k}\ right|^ {p}\ right) ^ {\ frac {1} {p}\ left (\ sum\ izquierda|x_ {k} +y_ {k}\ derecha|^ {p}\ derecha) ^ {\ frac {1} {q}} +\ izquierda (\ suma\ izquierda|y_ {k}\ derecha|^ {p}\ derecha) ^ {\ frac {1} {p}}\ izquierda (\ suma\ izquierda|x_ {k} +y_ {k}\ derecha|^ {p}\ derecha) ^ {\ frac {1} {q}}.
\]
Luego divídalo\(A^{\frac{1}{q}}=\left(\sum\left|x_{k}+y_{k}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{q}}\) y simplifica. \(]\)
Mostrar que el Ejemplo (B) de hecho arroja una norma para\(C^{n}\) y\(E^{n}\).
[Pista: Para la desigualdad triangular, use Problema\(6 .\) El resto es fácil. \(]\)
Se dice que una secuencia\(\left\{x_{m}\right\}\) de vectores en un espacio normado\(E\left(\text { e.g. }, \text { in } E^{n} \text { or } C^{n}\right)\) está delimitada iff
\ [
\ left (\ exists c\ in E^ {1}\ right) (\ forall m)\ quad\ left|x_ {m}\ right|<c,
\]
es decir, iff\(\sup _{m}\left|x_{m}\right|\) es finito.
Denote tales secuencias por letras simples,\(x=\left\{x_{m}\right\}, y=\left\{y_{m}\right\},\) etc. y define
\ [
x+y=\ left\ {x_ {m} +y_ {m}\ right\},\ text {and} a x=\ left\ {a x_ {m}\ right\}\ text {para cualquier escalar} a.
\]
También deje
\ [
|x|=\ sup _ {m}\ izquierda|x_ {m}\ derecha|.
\]
Mostrar que, con estas definiciones, el conjunto\(M\) de todas las secuencias infinitas delimitadas en\(E\) se convierte en un espacio normado (en el que cada secuencia debe tratarse como un solo vector, y el campo escalar es el mismo que el de\(E\)).